高考数学总复习直通车课件平面向量

数学---平面向量知识体系第一节平面向量的概念及其线性运算基础梳理1.向量的有关概念及表示法名称定义表示法向量既有

又有

的量;向量的大小叫做向量的长度(或模)向量

.模

.

零向量长度为

的向量,其方向是任意的记作

.单位向量长度等于

的向量常用

表示平行向量方向

或

的非零向量与共线可记为

.与任一向量

.

共线向量

向量又叫做共线向量相等向量长度

且方向

的向量与相等记作

.相反向量长度

且方向

的向量与为相反的向量,则

.(2)的相反向量为

.大小方向01相同相反平行共线相等相反相等相同2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算

法则

法则(1)交换律:

a+b=

.(2)结合律:(a+b)+c=

.减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差

法则数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|=

.(2)当λ>0时,λa与a的方向

;当λ<0时,λa与a的方向

;当λ=0时,λa=

.λ(μa）=

；(λ+μ)a=

;λ(a+b)=

.三角形平行四边形b+aa+(b+c)|λ||a|相同相反0(λμ)aλa+μaλa+λb三角形3.共线向量定理非零向量a与向量b共线的充要条件:存在唯一一个实数λ,使b=λa.题型一平面向量的有关概念典例分析【例1】给出下列五个命题:①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;②若|a|=|b|,则a=b;③在ABCD中,一定有;④若m=n,n=p,则m=p;⑤若a∥b,b∥c,则a∥c.⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段；⑦非零向量的单位向量是唯一的其中不正确的个数是()A.2B.3C.4D.5分析在正确理解有关概念的基础上,注意特殊情况是解决本题的关键.解

选B.两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点,故①不正确;|a|=|b|,但a,b方向不确定,所以a,b不一定相等,故②不正确;③、④正确；零向量与任一非零向量都平行,当b=0时,a与c不一定平行,故⑤不正确.学后反思(1)着重理解向量以下几个方面:①向量的模;②向量的方向;③向量的几何表示;④向量的起点和终点.(2)判定两个向量的关系时,特别注意以下两种特殊的情况:①零向量与任何向量共线;②单位向量的长度为1，方向不固定.举一反三

1.已知下列命题:①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a、b中的一个方向相同;②在△ABC中,必有;③若,则A、B、C为一个三角形的三个顶点;④若a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析：①错误,a+b=0时,就不满足结论;②正确,∵;③错误,A、B、C三点还可以共线;④错误,只有a与b同向时才相等.答案：B题型二平面向量的线性运算分析根据所求证的等式，将EF用含AB、DC的和、差形式表示，充分运用加、减法的运算法则完成.证明方法一：在四边形CDEF中，EF+FC+CD+DE=0.①在四边形ABFE中，EF+FB+BA+AE=0.②①+②，得【例2】如图，已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点.求证：.（EF+EF）+（FC+FB）+（CD+BA）+（DE+AE）=0.∵E、F分别是AD、BC的中点，∴FC+FB=0，DE+AE=0，∴2EF=-CD-BA=AB+DC，即.方法二：取以A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图.∵E为AD的中点，∴∵F是BC的中点，∴.又举一反三2.如图，在△OAB中,延长BA到C,使AC=BA;在OB上取点D,使,DC与OA交于E;设试用a,b表示向量和向量.解析：∵A是BC的中点,∴OA=(OB+OC),即OC=2OA-OB=2a-b.DC=OC-OD=OC-OB=2a-b-b=2a-b.学后反思平面向量的线性运算常与平面几何图形相结合,求解此类问题应注意:(1)结合图形,选择关系明确的一组不共线向量来表示其他向量,选择恰当的运算关系.(2)注意特殊点的应用.如F点是BC的中点，则（其中A可以是任意一点）.（3）在方法二中，向量的起点A可改取平面内的任意一点O，用同样的方法亦可证出.对于本题结论,要和梯形的中位线定理区分开，梯形的中位线定理只有在AB∥CD时才成立，且得出的是长度关系；而本题结论对于任意平面四边形均成立，且得出的是向量关系，对于长度关系不一定成立（只有在AB与DC共线时成立）.【例3】设两非零向量a和b不共线,如果AB=a+b,CD=3(a-b),BC=2a+8b.求证:A、B、D三点共线.题型三向量的共线问题分析用向量法证明A、B、D三点共线,可以利用向量共线定理，得到BD=λAB(或AD=λAB等).BD∥AB说明直线BD和AB平行或重合;因为有公共点B,所以只能重合,从而由向量共线推出三点共线.证明∵BC=2a+8b,CD=3(a-b),∴BD=BC+CD=2a+8b+3a-3b=5(a+b),∴BD=5AB.由向量共线定理得BD∥AB.又因为直线AB和BD有公共点B,所以A、B、D三点共线.学后反思(1)向量共线的充要条件中,要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量;要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.解题中应强调“直线AB和BD有公共点B”这一步骤.3.设两个非零向量不共线,已知,若A、B、D三点共线,试求k的值.解析：若A、B、D三点共线,则AB∥BD,从而存在唯一实数λ,使AB=λBD，即∵不共线,∴举一反三即当k=-8时,A、B、D三点共线.题型四向量知识的综合应用分析运用向量共线的条件,确定是否存在实数k,使得d=kc.【例4】(12分)已知向量其中为两个非零不共线向量.问:是否存在这样的实数λ,μ,使向量d=λa+μb与c共线?解

要使c∥d,则应存在实数k,使d=kc..............6′即∵不共线,∴∴λ=-2μ.............................10′故存在这样的实数λ,μ,满足λ=-2μ,能使d与c共线............12′学后反思设不共线,若本题正是利用这一结论构造方程组来求解的.举一反三4.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PA+PB+PC=0,若实数λ满足AB+AC=λAP,求λ的值.解析：∵AB+AC=λAP,∴PB-PA+PC-PA=λAP,即PB+PC-2PA=λAP.又∵PA+PB+PC=0,∴PB+PC=-PA,∴-3PA=λAP=-λPA,∴-3=-λ,即λ=3.【例】下列命题正确的是（）A.向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线B.向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线C.向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线D.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量易错警示错解一因为向量a与b共线，所以a=b,又因为向量b与c共线，所以b=c，则a=c,向量a与c共线，故选A.错解二因为向量a与b不共线，向量b与c不共线，根据传递性，向量a与c不共线，故选B.错解三因为向量AB与CD是共线向量，所以A、B、C、D四点共线，所以应选C.正解解此类题需紧扣定义、条件进行排除，才能快速得到正确结论.选项A中用了非零向量共线的传递性，而条件中没有非零向量的条件，若b=0，结论显然不成立.选项B中向量的不共线是无传递性的，故结论不成立.选项C中向量AB与CD共线，直线AB与CD可能平行，故推不出A、B、C、D四点共线，结论不成立.由此正确选项是D.错解分析错解一中对零向量的认识不到位，忽略了零向量与任意向量共线；错解二中错因是a与c有可能共线；错解三的错因是对向量与点共线在认知上的错位.考点演练已知直线x+y=a与圆交于A、B两点,且|OA+OB|=|OA-OB|,其中O为坐标原点,则实数a的值为.解析:如图所示,以OA、OB为边作平行四边形OACB,则由|OA+OB|=|OA-OB|得,OACB为矩形,OA⊥OB.由图象得,直线y=-x+a在y轴上的截距为±2答案:±211借.中国铲象棋征中规识定：斗马走粪“日箭”字干，象解走“勿田”钓字.如图盲所示阁，在妄中国休象棋的妄半个初棋盘庭（4×率8个矩精形中讽，每释个小拿方格激都是览单位碰正方榆形）沟中，辨若马在A处，递可跳足到陶处进，也哭可跳涝到碎处房诚，用热向量贿表六示马点走了“一溉步”.试在挖图中释画出叫马在B、C处走仆了一坑步的毙所有尚情况.解析美：如图察，以夸点C为起榴点作档向量务（共8个）冶，以济点B为起寨点作室向量勾（共3个）.12瓦.一艘饼船以km贝/h的速劲度向逆垂直抚于岸盒的方盟向行杯驶，搬而船盖的实伸际速度浪是10叙k穴m/侧h，求柏水流礼的速掏度和朴船行听驶的旷方向垦（用航与水富流方萍向间的夹仰角表踢示）.解析：如右图所示，设AD表示船垂直于对岸行驶的速度，AB表示水流的速度，以AD、AB为边作ABCD，则AC表示的就是船实际航行的速度.在Rt△ABC中，|AC|=10，|BC|=，∴|AB|=∵tan∠CAB=,且∠CAB为锐角,∴∠CAB=60°.答：水流你速度底为5育km耐/h，船免行驶呀方向按与水暴流方请向的演夹角萄为60两°.第二雁节呜平暮面向祸量的显基本误定理剑及坐监标表柄示基础醒梳理1.两个难向量酸的夹横角(1呈)定义已知打两个向量a和b,作OA仰=a,迟OB=b菌,则∠AO粘B=因θ叫做允向量a与b的夹丢角.(2跨)范围向量涂夹角θ的范厅围是,a与b同向检时,夹角θ=;a与b反向渗时,夹角θ=.(3霸)向量垃垂直如果棋向量a与b的夹股角是,则a与b垂直,记作.2.平面候向量缺基本绍定理等及坐筹标表火示(1考)平面贵向量证基本陕定理定理:如果必是同瞧一平婶面内饰的两稠个向量,那么凯对于平这一角平面乐内的析任意不向量a,一对孟实数,使.其中,叫做谎表示像这一镇平面扰内所箭有向柱量的都一组挽基底.(2匪)平面密向量孤的正晌交分析解把一瓶个向劫量分陶解为可两个的向裤量,叫做寻把向谣量正遍交分蓬解.(3感)平面塑向量委的坐铲标表雕示①在煎平面亮直角圾坐标腹系中,分别唉取与x轴、y轴方咽向相担同的斗两个颈单位纺向量i,却j作为盗基底.对于凤平面破内的欧一个岸向量a,有且呼只有加一对障实数x、y,使a=xi舍+y茫j.把有云序数澡对叫做达向量a的坐凶标,记作a=,其中叫a在x轴上与的坐宫标,叫a在y轴上址的坐冈标.②设OA并=xi浪+y造j,则就是错终点A的坐槐标,即若OA搞=(x,怒y),则A点坐建标为,反之国亦成锹立(O是坐敲标原申点).3.平面娘向量硬的坐鬼标运绿算(1霜)加法板、减庙法、委数乘祝运算(2钞)向量狮坐标土的求采法已知A目,B犬,则AB语,即一假个向点量的爹坐标犯等于尤该向尝量的坐斥标减贼去的坐造标.(3件)平面浪向量龄共线贿的坐迹标表碑示设a=棵,b搁=披,其中b≠罗0,则a与b共线肃向量aba+ba-b坐标题型稳一穗平傍面向嘉量基陕本定坡理【例1】如图,在△OA五B中,O贱C=锯OA她,O蔽D=赔12浪OB妥,A邀D与BC交于炸点M,设OA新=a,O贷B=b,以a、b为基痕底表乒示OM宴.分析本题缎可用烦待定予系数沙法,设OM仰=ma+nb(m致,n帆∈R),再利育用向执量的型运算裹及共碧线向治量的武条件泼列出冒方程涝组,确定m,屿n的值.解设OM=ma+nb(m,n∈R),则AM=OM-OA=(m-1)a+nb,因为A,M,D三点共线,所以,即m+2n=1.而CB=OB-OC

,

又因为C,M,B三点共线,所以,即4m+n=1.由,解得,所以学后衣反思(1浊)在平敲面向双量基扒本定奥理的城应用垃中,当基蹦底确区定后,向量腥的表率示是沙唯一折的.合理川地选漏取基中底会减给解瓶题带临来方文便.(2耽)解决胳该类扯问题,用基贴底表挎示向盟量是若基本府方法,还应滴注意甜三角锦形法王则、漂中点选坐标偿公式脉的熟厚练应样用.举一全反三已知=(后1,银2)疗,孟=院(-勤2,落3)惜,a佣=(降-1望,2沸),以窗为基限底将a分解包为的形垃式.解析更：题型满二旱平侵面向量量的程坐标容运算【例2】已知点A(桶-1料,2记),阔B(此2,婚8)以及,求点C、D的坐渠标和CD的坐貌标.分析根据题意吉可设摔出点C、D的坐匆标,然后央利用寺已知絮的两它个关禽系式偏列方垮程组,求出成坐标.解设点C、D的坐标航分别做为连由仿题意登得因为甩所以狮有脚和坛解号得恒和间所揉以点C、D的坐灭标分誓别是(0竭,4京),各(-鸦2,败0)件,从而CD旬=(组-2百,-签4)未.学后绢反思向量夺的坐猎标是生向量潮的另袋一种项表示角形式,它只贵与起北点、睁终点固、相汁对位锤置有减关,三者贡中给巡寿出任且意两世个,可求侍第三姐个.在求佳解时,应将到向量蚂坐标脂看作祝一个饶“整恭体”唯，运犬用方固程的拒思想恢求解.向量宅的坐惕标运古算是筝向量串中最抛常用带也是狱最基蝴本的帜运算,必须渣熟练违掌握.2.已知A(茄-2越,4孤),罚B(妄3,扬-1迁),扛C(咳-3凡,-福4)热,且CM但=3粥CA音,C柱N=掉2C霜B,求M、N及MN的坐悠标.举一素反三解析偶：∵A(价-2技,4智),念B(叹3,难-1纵),缴C(泄-3扮,-毅4)源,∴CA浙=(熊1,民8)觉,C异B=惨(6福,3赶),∴CM助=3姑CA众=(盖3,验24辞),煌CN升=2崖CB稼=(岔12解,6医).设M(撤x,抓y),则CM途=(披x+雅3,寨y+惕4)孟=(局3,南24振),∴沿∴∴M支(0受,2山0)牵.同理任可求N(毯9,松2)子,因此MN祖=(宅9,供-1暮8)推.∴M微(0和,2雨0)浊,N叮(9扛,2炊),爽MN鸦=(钻9,趟-1坑8)它.题型早三义平议面向帐量的蚀坐标擦表示【例3】平面粘内给安定三柿个向伐量a=(耳3,监2)垂,b=(窑-1躁,2昼),c=(巴4,惨1)遮.(1没)若(a+kc)∥骨(2b-a),求实疤数k;(2某)设d=(x,车y),满足(d-c)∥饰(a+b),且|d-c|=腰1,求d.分析(1最)由两锈向量碌平行捏的条尘件得翻出关鄙于k的方事程,从而翼求出丙实数k的值.(2粱)由两毫向量笋平行浮及|d-c|=积1得出疮关于x,忽y的两积个方荷程,解方侵程组径即可嫂得出x,颂y的值,从而塌求出d.解(1欲)∵梯(a咏+k绑c)界∥(浮2b居-a晨),又a+豪kc=(芝3+继4k润,2先+k选),棋2b砖-a还=(渣-5迫,2吓),∴2秒×(阵3+闭4k亲)-帐(-旁5)吧×(畏2+姥k)亮=0赖,∴勉k.(2喊)∵鼻d-蜘c=材(x胡-4有,y膝-1益),布a+延b=些(2牧,4椅),又(d-伞c)源∥(粉a+喊b)且|d-魔c|=亏1,∴解得坏或∴d=或学后性反思(1冻)与平依行有校关的加问题,一般非地,可考络虑运旦用向浴量平焦行的胳充要村条件项，用拘待定其系数略法求庆解.(2蔽)向量旨共线堆定理纠的坐驱标表赤示提秀供了腿通过受代数阀运算救来解沙决向暴量共席线的凝方法,也为御点共滑线、猾线平衔行问肆题的绍处理疑提供攀了简朋单易假行的黎方法.解题妖时要馅注意被向量炉共线具定理锹的坐勇标表固示本坐身具偶有公土式特演征,应学娱会利添用这耽一点卸来构蜂造函拍数和叛方程,以便齐用函脸数与临方程热的思垂想解袖题.举一灯反三3.伐a拜=(黎1,垫2)们,b鸣=(旗-3耽,2询)，当k为何巷值时争，ka床+b与a-烛3b平行民？平屠行时兄它们灭是同向还类是反端向？解析浪：ka兼+b=k脊(1粒,2均)+碰(-色3,董2)抵=(刊k-布3,珠2k甩+2肃),a-六3b驻=(嘴1,慌2)扒-3械(-大3,害2)桐=(策10锤,-菊4)剑.当ka否+b与a-匪3b平行袋时，跟存在就唯一亚实数λ，使ka稀+b=λ旁(a裙-3再b)缩慧,即（k-新3,援2k姨+2）=λ霞(1华0,考-4亲)，得∴当k=暴-时，ka挣+b与a-案3b平行甚，此时ka笼+b=-a+劈燕b=-浙(a探-3袖b)焦.∵λ炊=-执<0探,∴漂ka象+b与a-火3b反向.题型悄四拥向量尿的综典合应落用问缠题【例4】（12分）防已知O(育0,予0)、A(般1,贤2)、B(窃4,矛5)及OP针=OA镇+t齐AB,试问:(1据)t为何善值时,P在x轴上?在y轴上?P在第辉二象牌限?(2压)四边踏形OA根BP能否挨成为趴平行烫四边占形?若能,求出纳相应茄的t值;若不饶能,请说鼻明理染由.分析利用柔向量劈燕相等,建立绸点P(朽x,薪y)与已夏知向盒量之葵间的沉关系,表示灾出P点的甜坐标,然后华根据纱实际馒问题学确定P点坐喂标的左符号暑特征,从而涌解决脆问题.解(1脊)∵拍O(手0,肺0)像,A艘(1奇,2券),有B(避4,筋5)晶,∴胆OA昼=(接1,威2)蚕,A至B=(培3,昨3)起,∴O紧P=OA遭+t妄AB=(悬1+工3t日,2筹+3判t)舅……县……林……自……真……浴……己……赚….心2′若P在x轴上,则2+夫3t组=0视,解得t;若P在y轴上,则1+镰3t师=0,解得;…稠……载……捧……编……肾……珠….4′若P在第劣二象硬限,则岔解得……通….遮.…摩……趣……6′(2染)∵屋OA戏=(喜1,鼓2)纽奉,P亡B=房诚PO移+O身B=(忌3-敞3t汽,3喘-3帜t)右,…拥……洪……贞……贫……替8′若四结边形OA部BP为平封行四纠边形,则OA腔=P炉B,而洲无解,…泊……铸……章……父……倡……塑……饺……停……疤….裳.1北0′∴四边呼形OA冰BP不能衬成为捷平行厘四边僻形……搁……摇……研……撒……甩….碧..证12′学后行反思(1姿)向量施的坐挺标表显示,实际码上是巩把向危量的段运算啄代数命化,从而要实现残了数钟与形级的有裹机结盼合.这样,很多刑的几锦何问涨题都授可以牢转化揉为代缝数的种运算,体现凳了向店量的砖优越孝性.(2禽)利用婆设出稻参数湖求参度数是顷解决命向量挥坐标系运算圆问题牌的常刮用方嫂法,而利也用方裙程(组)是求邪解的芹重要阴工具,这一慈方法半需灵耐活应字用.4.已知贿点A（2，3），B（5，4），C（7，10），背若AP赌=AB央+λ逝AC慈(λ颜∈R).(1耳)试求λ为何浓值时蹄，点P在第摇一、汗三象蝴限的绳角平走分线魔上;（2）试利求λ为何尤值时投，点P在第立三象甩限内.举一幼反三解析浪：设点P的坐洽标为小（x,健y），萝则AP诞=(音x,娇y)蝇-(政2,及3)什=(污x-沫2,特y-苏3)争,AB示+λ价AC=(俭5,符4)亮-(黄2,皮3)漂+λ［(7薄,1邻0)辽-(际2,柿3)］=(箱3,古1)里+λ弊(5涉,7抓)=赤(3并+5匀λ,耻1+询7λ影).由AP叨=AB俩+λ根AC，得唐（x-芳2,腥y-译3）=（3+木5λ撤,1取+7趁λ）,（1）若若点P在第检一、罗三象兵限的率角平径分线清上，则5+痛5λ转=4战+7贯λ,解得λ=京.因此葡，当λ=时，叨点P在第盐一、粗三象千限的狼角平冈分线绿上.（2）若绵点P在第饰三象鹿限内腹，则裕有∴λ<殿-1托.因此以，当λ<嗽-1时，午点P在第块三象叶限内.易错就警示【例1】已知迷点A(庄1,神2)栏,点B(线3,钞6)床,则与AB共线座的单材位向搏量为.错解由A(解1,死2)吨,B逃(3搭,6栏)知AB蚕=(垃2,辜4)框,∴错解绢分析与AB共线有循两种脏情况:一是将同向贵共线,一是隙反向稀共线,“错解匠”中峰忽略鼠了反造向共厅线这驰一情盈况.正解与AB同向音时为浙与AB反向当时为【例2】已知A(员-1搞,-积1)箱,B延(1拿,3栽),扣C(爪1,千5)黑,D昆(2脾,7秀),向量AB与CD平行扮吗?直线AB平行王于直鹅线CD吗?错解∵AB帽=(苍1-膀(-珍1)旱,3妙-(清-1享))宁=(拣2,壮4)水,C喘D=载(2张-1回,7词-5零)=崇(1刺,2旁),又∵2×盗2-诞4×石1=误0,歼∴A暮B∥斧CD尤,∴岔AB亦∥C秋D.错解息分析在证适三点势共线围或直闲线平广行时,直接刘由AB集∥C昼D得AB乱∥C狠D,这是逃不正太确的,因为前向量扎平行酱与直棚线平意行存宿在一潜定的尿差异:向量拔平行炎不等歼于对翠应的疾直线恨平行,还可枕能出咏现直禁线的租重合;而直域线平贫行时,对应疯的向磨量平爪行.所以址解题镰时应诞区分乘开这传一点.正解∵AB削=(芳1-临(-义1)转,3松-(页-1涂))扣=(退2,驼4)寻,C具D=谎(2且-1奋,7旅-5便)=详(1滨,2耐),又∵2×队2-蛇4×乡丰1=备0,镇∴A掠B∥狭CD走.又∵AC耗=(赵1-斧(-革1)数,5出-(悔-1绩))葱=(光2,开6)乖,A族B=救(2丹,4趟),∴A听,B舱,C三点雨不共餐线,∴直线AB与直勿线CD不重吗合,振∴A夫B∥胃CD规.10五.孙(2瞎00亿9·安徽)给定帝两个树长度慎为1的平脚面向夕量OA和OB，它弯们的云夹角桂为12盘0°亲.如图屑所示偷，点C在以O为圆横心的镜圆弧AB上变估动，慰若OC扰=xO叹A+穷yO奥B,其中x,相y∈斑R,则x+叙y的最繁大值冤是.考点袜演练解析:建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos120°,sin120°），即设∠AOC=α，则OC=（cosα，sinα）.∵OC=xOA+yOB=(x,0)+=(cosα,sinα)，∵0°≤α≤120°，∴30°≤α+30°≤150°.则当α=60°时，x+y取最大值，最大值为2.11西.若对渡几个景向量董存在n个不叮全为室零的潮实数室使丸得句成槽立,则称浑这几超个向喇量为垃“线遍性相语关”.依此题规定,求“线北性相文关”男的实骑数.(写出快一组脖数值灭即可,不必滨考虑婆所有尿情况)解析抽：由“摩线性诊相关放”定慎义可望知即所以医取,则因此,即为社所求维的一挺组值.答案:212废.已知援△AB妹C中,A晒(7倡,8宁),脂B(获3,丧5)求,C旧(4率,3诸),境M、N分别离是AB、AC的中轧点,D是BC的中貌点,M妙N与AD交于F.求DF情.解析：如图所示,∵A(7,8),B(3,5),C(4,3),∴AB=(3-7,5-8)=(-4,-3),AC=(4-7,3-8)=(-3,-5).∵D是BC的中点,∴AD=(AB+AC)=(-,-4).又∵M、N分别为AB、AC的中点,∴F为AD的中点,∴DF=-AD=(,2).第三评节撒平面宴向量闻的数绕量积淋及平贵面向村量的慎应用援举例基础控梳理1.平面药向量罪的数间量积(1采)平面你向量希数量荣积的谎定义已知蝇两个而非零坟向量a和b,它们巩的夹侵角为θ,把数殖量叫做a和b的数哪量积(或内球积),记作a·扣b,即a·恨b=,并规宪定零忽向量五与任酒一向故量的亡数量咏积为.(2遵)一向乳量在向另一咳向量亭方向饶上的火投影①定回义设θ是a和b的夹爸角,则叫做a在b的方庄向上环的投练影,|b|糠co育sθ叫做的投订影.b在a的方份向上映的投迈影是歼一个杀实数,而不义是向辆量.当0°论≤θ侵<9计0°时,它是;当90沟°<束θ≤满18寺0°时,它是;当θ=型90帆°时,它是.②a·糊b的几闪何意蝇义数量古积a·添b等于a的长抱度|a乐|与的投悦影|b|爬co他sθ的乘蒜积.002.向量然的数蔑量积灶的性稍质设a,峰b都是螺非零渠向量,e是与b方向圾相同稿的单壳位向视量,θ是a与e的夹苦角,则(1码)e包·a还=a·纺e=.(2腊)a葵⊥b耍a肝·b挪=0.(3刘)当a与b同向缓时,a·红b=.当a与b反向列时,a·思b=.特别寸地:或(4星)|赞a·话b||a梨||迷b|尽.(5测)c仍os尊α影=不(α是a与b的夹盟角)..3.向量享数量超积的艇运算况律(1袖)a皇·b店=(交换窝律);(2草)(糊λa荡)·器b==(数乘锣结合既律);(3率)(插a+传b)茧·c戒=(分配过律).4.平面挽向量负数量煮积的符坐标势表示(1掀)a吸·b画=，(2逐)|剩a|宫=,|拘b|伟=;(3评)a沙⊥b浊;(4顽)若a与b夹角在为θ,则co咱sθ=重;.逃.(5脊)若c的起发点坐帖标和泼终点达坐标剧分别默为爷则︱c︱洽=.5.平面山向量熟在平俭面几档何中跨的应新用用向稀量方肃法解固决几闻何问档题一恢般分狂四步:(1严)选好铁基向篮量；(2睁)建立彼平面义几何计与向壮量的,用向扔量表终示问咐题中帖涉及制的几藏何元躺素,将平俱面几妈何问灿题转孔化为;(3条)通过研究跟几何翼元素摇之间穗的关枣系,如距剃离、踩夹角外等问外题;(4背)把运扎算结学果“安翻译引”成.典例刊分析题型露一加数诸量积振的运已算【例1】已知鸡向量视且x∈姜.求a·融b及|a+叛b|.分析利用剃数量术积的茧坐标高运算俩及性巷质,注意x的取驱值范翁围，枯回忆蜓三角窝函数欲的公欢式变健换.解又∵x∈裳,∴|a+兆b|=学后她反思与三夜角函警数相摊结合薪考查铲向量瓶的数荡量积洽的坐屯标运扁算及警其应办用是滤高考胆热点端题型.解答惩此类树问题,除了湿要熟腾练掌斧握向弱量数丙量积耕的坐曲标运肢算公举式、拥向量招模、倡夹角谢的坐狠标运摸算公贤式外,还应夹掌握烦三角辉恒等激变换夺的相侦关知录识,分析申求模阀类型.举一陕反三1.（2009·厦门市高中毕业班适应性考试）已知直线y=3x上一点P的横坐标为a，有两个点A（-1，1），B（2，2），那么使向量与的夹角为钝角的一个充分不必要条件是（）A.0＜a＜B.0＜a＜C.0＜a＜1D.0＜a＜2解析：依题意P(a,3a)，∴=(-1-a,1-3a)，=（2-a,2-3a），故向量与的夹角为钝角的一个充分必要条件是，∴(-1-a,1-3a)•(2-a,2-3a)＜0且(-1-a)(2-3a)≠(1-3a)(2-a)，且与不共线，解得0＜a＜1且a≠.∴依四个选项，选A.答案：A题型陶二狼模与申垂直骆问题【例2】已知|a|=械4,究|b|=皆8,a与b的夹乎角是12柔0°写.(1立)计算|a+馋b|,隆|4a-2b|;(2台)当k为何堵值时,(a+2b)⊥诊(ka-b)?分析

(1)利用公式求解;(2)利用向量垂直的充要条件,通过坐标表示列方程求k.解由已知,a·b=4×8×=-16.(1)(2勉)若(a哑+2弟b)享⊥(添ka露-b亭),则(a外+2祸b)障·(唉ka师-b负)=鲜0,∴即16勤k-奇16张(2奶k-庙1)祥-2糊×6芝4=万0,讲∴k涂=-沾7.学后碗反思(1肥)利用数歉量积们求模带问题卖是数烂量积到的重尊要应洪用,根据赵实际讲合理夏选择桑以下坦公式:①=a·伐a;②|a±喉b|=;③若a=伸(x,画y),则|a犁|=.(2驻)非零亏向量a⊥则ba·抛b=0是非隐常重桂要的岭性质,它对快于解偷决平变面几纹何图规形中反有关垂主直问悉题十兼分有沟效,应熟触练掌猪握;若稀则a⊥捧b举一叮反三2.（20禁09翅·江苏转改编渗）设立向量a=侦(4朗co斯sα,贱si推nα)阔,b=(朴si员n禁β,辩4c失os缓β找),c=（co次sβ,土-4通si胜n摆β）.（1）若a与b-揭2c垂直华，求ta未n(抓α+瞒β)的值饥；（2）求|b+巾c|的最冶大值.解析区：∵a与b-代2c垂直丽，∴a·腔(b时-2仆c)料=a锁·b婚-2吗a·茶c(2逝)由b+镜c=(胞si狮nβ+旁co脊sβ,杆4c旧os开β企-4震si治n胆β)拘,得又当雪时狗，等直号成乔立，狗所以|b+质c|的最午大值蓄为.=4戴co押sαs旺inβ+蝇4s昂inαc卖osβ-舱8c凤osαc虑osβ+谷8s趴inαs常inβ=4远si业n(魂α+碍β)抵-8贡co岂s(轻α+邮β)拔=0慨,∴ta荣n(错α+晨β)=佛2.题型早三革夹性角问肾题【例3】务(1灯2分)已知a、b都是领非零领向量,且|a|=|b|=|a-借b|.求a与a+潜b的夹成角.分析由公耗式钳可知,求两繁个向字量的竞夹角第关键狭是求是数量嗽积及模的漠积.本题您中|a穿|=拖|b傻|=姻|a中-b锤|的充分利失用是兄求数眯量积所的关稠键,考虑同怎样勤对条访件进币行转研化.解方法纹一:由|a浇|=脑|b道|=创|a戚-b誉|得,络,所以.…泪……加……绣……尺………侄……访……乓……搜……额……封.4腹′而,所以|a+弹b|=译|a臣|…奶……稀……屋……贼……稼……谎……渴……辆……筐……错……用…8增′设a与a+扰b的夹御角为θ,则,…造….庆……捐……达……父……落….添……倦..犹10努′由于0°龟≤θ挺≤1列80茄°,所以θ=长30并°…傅……捡……臣……角……足……皆….局..贝.1顽2′方法夏二:设疏由|a玻|=户|b扛|=膛|a斗-b兽|得所以即所以故焦设a与a+孕b的夹珍角为θ，……塑……毅……包……割……钻8′则,…并……辰……获……抗..膏……药……痛….扮10固′由于0°篇≤θ暮≤1啊80犬°,所以θ=踏30擦°…秋..多..脸..扰..胜..榆..仆..赶..海..永..钩..味..缩慧..秘..晨..延12沸′学后宏反思(1派)求两柜个向斩量的淋夹角,需求那得a·须b及|a|杜,|姑b|或得秘出它训们的遍关系,注意苗夹角或的取脸值范惯围是[0物°,值18浩0°驱].正确记理解袄公式夺是关弓键.(2诸)向量拼有两僚种表德示形悠式,即坐篮标法摘和几呼何法,解题愧时要施灵活欺选择.本题拿通过则比较只两种纤方法饥发现,利用获向量费的几傍何形垦式解偏答此句类题社目显翁得更步加简祖捷和爆直观.举一哭反三3.已知|a叨|=呆,|福b|章=3键,a和b的夹偶角为45卧°,求当昏向量a+匙λb与λa也+b的夹屠角是懒锐角萌时,λ的取堆值范揭围.解析：a·形b=|竭a|煮|b|龙co凤s45求°=∵a+女λb与λa酬+b的夹磨角为蜡锐角,∴耀(a+柳λb蛙)·赖(λ勿a+状b)>池0,即把a·殿b=3索,代入西上式当得,解得λ或λ厌,又a+反λb与λa艘+b的夹萝角为尿锐角,所以,即λ≠群±1份,所以题型始四抹综嘱合应破用问敢题【例4】已知谣向量伟若磁函数f(摔x)=a·妄b在区钩间(-佳1,骆1)上是苹增函弱数,求t的取值汉范围.分析先求括出f(皇x)的表将达式,然后沾利用社导数嚼与函禾数单幻玉调性拉的关轿系及劈燕增函很数的姐性质蔑求解,注意x的取谊值范晒围.解因为f(傅x)=a·战b=棋,所以.若f(全x)在(-筛1,余1)上是葬增函库数,则在(-堡1,困1)上款≥0,所以而当t≥躁5时,在(-兼1,茄1)上满母足>0充,即若f(筹x)在(-慎1,证1)上是款增函郑数,则t的取覆值范低围为[5村,+艇∞)避.学后吵反思新课宴标强惭调向集量的负工具岂性,要求窃加强顷向量兵与三泡角函映数、抗函数毛、解据析几塞何、辛立体社几何昂等知躬识的赶联系,因此,把函还数、冻向量镰、导掀数等蜓知识座综合田的问本题必致将是杨高考淡的趋忠势.本题失实质业上是皆应用僵导数丛解决白函数艺的单绢调性杂问题,向量恒起到脑构造砌函数轿关系哗的作提用,一旦搏求出炼函数捷解析佩式,就可霞以用才导数黎等知种识解垮决.解题狭时应廊分清婚层次,明确殃向量宗在综绸合问逗题中凑的作跟用,把复醋杂问接题分毕解为锅多个食简单财问题荒来解武决.举一但反三4.已知斥向量OA柱=(巷3,肉-4沾),呀OB舌=(嫩6,剥-3许),宴OC恨=(甜5-治m,低-(哀3+享m)第).(1爆)若点A、B、C能构绣成三房诚角形,求实堂数m应满升足的村条件;(2辨)若△AB支C为直桃角三雕角形,且∠A为直路角,求实舅数m的值.解析:(1厦)O手A=权(3悦,-剃4)主,O左B=卖(6昨,-常3)物,O估C=底(5壮-m遍,-初(3醋+m四))芹.若点A、B、C能构估成三胡角形,则这含三点鸽不共锤线,∵A法B=秃(3尊,1颈),渣AC狗=(价2-周m,鞠1-垃m)印,故知3(琴1-桥m)器≠2毒-m德.∴实数m≠时,满足支条件.(2寸)若△AB情C为直速角三克角形,且∠A为直坝角,则AB堂⊥A师C,∴3栋(2喷-m盲)+讨(1桌-m感)=伸0,解得易错越警示【例】在△AB同C中，BC阶=a,糠CA=b,叼AB=c象,已知a·桶b=b·币c=c·勉a,则△AB怀C的形略状是.错解熊一∵a·拜b=b·逃c=c·阶a,∴|a·冰b|=倍|b·桨c|=走|c·涉a|,趁①由此铜得②即∵a,沟b,捏c均为闻非零摄向量顺，∴|a平|=冷|b毕|=独|c抹|,故△AB蹄C是正炎三角壳形.错解却分析上述兼解法蹦得到悔的结默论是控对的告，但打推理肉过程惑是错芽误的堪，错世误的国原因为是由拍①不誓能推帅出②垒成立.由向晶量的撒数量纺积的滔定义皇可知苏，a·取b=|a|顶|b弟|c可osθ,由于-1练≤c颗os棵θ捆≤1，所女以|a·笨b|傻≤|沾a|师|b|，当挥且仅窜当θ=挺0或θ=恢π，即a与b共线资时等跪号成挤立，带题目盈中的佛向量a,捷b,德c之间惊均不巧是共朗线向油量，请因此铲，不停能由弓①冒②成塌立.错解如二面∵b·乳c=c·撕a,段∴c哄·(县b-a测)=固0,∵c常≠0鞭,∴低b=搏a.同理淹可得b=可c，因此吓，△AB康C是正数三角尽形.错解益分析上述阁解法线得到榜的结造论是想对的头，但亚推理户过程挠是错妙误的菜，错陷误的姐原因哑在于将：由c·猫(b-a溉)=衬0,雷c≠修0不能庭推出b=餐a.由向饥量的蛙数量孤积的湿性质角可知燃，当a，b都是膝非零瓣向量童时，置有a⊥朱b铺a·屠b=0散,所以势，由c·单(b-a直)=督0,好c≠傅0不能研得到b-披a=驻0,即b=群a.错解伤三浮∵b·臭c=c·芹a,曲∴|助b|议|c尤|c怜osA=探|c|蛇|a其|c商osB,∵|怪c|岂≠0畏,∴截|b爷|c饿os亮A泽=|a|蜡co例sB.由正筝弦定无理得si望nBc仍osA-co奔sBs酿inA=异0,即si荷n(财A-B照)=耍0，∴A=尺B.同理竭可得B=污C，故嘉△AB家C为正