第03讲因式分解精讲（解析版）2022年初三升高中数学完美升级衔接精讲精练

第03讲因式分解(精讲）目录一、知识衔接二、典型例题题型一：提公因式法因式分解题型二：运用公式法分解因式题型三：利用平方差，完全平方和（差）公式巧计算题型四：首项系数为“1”的二次三项式因式分解题型五：首项系数“不为1”的二次三项式因式分解题型六：含参数的十字相乘法题型七：十字相乘法的综合应用题型八：分组分解法（四项式，五项式，六项式等）题型九：利用求根法分解因式题型十：利用因式分解解决实际问题一、知识衔接一、初中知识再现1、因式分解定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算叫做因式分解.2、提公因式法（1）如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如:（2）概念内涵:①因式分解的最后结果应当是“积”；②公因式可能是单项式,也可能是多项式；③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:3、公式法：3.1公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.3.2公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.4、十字相乘法4.1十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则,同号(若，则,异号)，然后依据一次项系数的正负再确定,的符号（2）若中的,为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.4.2首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.5、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.6、求根公式法对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个实数根，记为：.此时对应的二次三项式可分解为：.二、高中相关知识1、乘法公式中的立方和、立方差公式：①②2、因式分解中的立方和、立方差公式①②二、典型例题题型一：提公因式法因式分解1．（2022·福建省漳州第一中学八年级期中）因式分解：______．【答案】解：a2b+ab2=．故答案为：．2．（2022·上海市西南模范中学九年级期中）分解因式：_________________【答案】解：原式，故答案为：．3．（2022·吉林白山·一模）分解因式：______．【答案】解：a2b−ab3=ab(a−b2).故答案为：ab(a−b2).4．（2022·广东汕头·一模）已知，，则________．【答案】∵m+n=4，mn=-5，∴m2n+mn2=mn（m+n）=-5×4=-20．故答案为：-20．5．（2022·湖南娄底·七年级期中）因式分解：；【答案】解：；题型二：运用公式法分解因式1．（2021·河南许昌·八年级阶段练习）由多项式与多项式相乘的法则可知：即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式．请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝___．【答案】﹣64x3＋y3故答案为：2．（2022·重庆南开中学八年级期中）因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：原式＝(2)解：原式＝3．（2022·江苏扬州·七年级期中）因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】(1)解：(2)解：4．（2022·江苏盐城·七年级期中）因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：(2)解：．5．（2022·江苏盐城·七年级期中）分解因式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)解：(2)解：(3)解：6．（2021·上海·七年级期中）利用多项式乘法法则计算：（1）=；=．在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式．已知，利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：（2）；（直接写出答案）（3）；（直接写出答案）（4）；（写出解题过程）【答案】（1），；（2）6；（3）14；（4）198【详解】解：（1）====，故答案为：，；（2）===6；（3）====14；（4）====1987．（2019·上海外国语大学尚阳外国语学校七年级阶段练习）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：立方差公式：如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.根据以上材料，请完成下列问题：（1）因式分解：（2）因式分解：（3）已知：的值【答案】（1）（a＋b）（a2−ab＋b2）（a6−a3b3＋b6）；（2）（a−b）（a＋b）（a4＋a2b2＋b4）．（3）322【详解】（1）因式分解：a9＋b9＝（a3）3＋（b3）3＝（a3＋b3）（a6−a3b3＋b6）＝（a＋b）（a2−ab＋b2）（a6−a3b3＋b6）；（2）因式分解：a6−b6＝（a2）3−（b2）3＝（a2−b2）（a4＋a2b2＋b4）＝（a−b）（a＋b）（a4＋a2b2＋b4）；（3）∵a＋b＝3，ab＝1，∴a2＋b2＝（a＋b）2−2ab＝7，∴a6＋b6=（a2＋b2）（a4−a2b2＋b4）＝[（a＋b）2−2ab][（a2＋b2）2−2a2b2−a2b2]＝7×（49−3×1）＝322．题型三：利用平方差，完全平方和（差）公式巧计算1．（2022·浙江金华·二模）下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】C解：A、故不符合题意．B、故不符合题意．C、，不能分解，故符合题意．D、故不符合题意．故选：C．2．（2022·江苏徐州·模拟预测）分解因式：___．【答案】（4a+3b）（4a﹣3b）解：16a2﹣9b2＝(4a+3b)(4a﹣3b）．故答案为：(4a+3b)(4a﹣3b)．3．（2022·湖南永州·一模）分解因式：__________．【答案】解：故答案为：．4．（2022·山东济南·二模）分解因式：_________．【答案】解：，故答案为：．5．（2022·上海·七年级期末）阅读理解：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：＝＝＝＝，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”进行因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】(1)原式＝＝＝＝；(2)＝＝．6．（2022·陕西·西安市曲江第一中学八年级期中）因式分解(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)解：原式＝(2)解：原式＝(3)解：原式＝(4)解：原式＝7．（2022·江苏南京·七年级期中）把下列各式因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)解：，＝，＝；(2)解：，，，8．（2022·河北唐山·八年级期末）观察下列因式分解的过程：（先加入，再减去）（运用完全平方公式）（运用平方差公示）．像上面这样通过加减项配出完全平方式，把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法．请你用配方法分解因式：．【答案】解：．题型四：首项系数为“1”的二次三项式因式分解1．（2022·甘肃武威·三模）因式分解：______________．【答案】解：采取十字相乘因式分解法直接分解，，故答案为：．2．（2022·山东淄博·八年级期末）分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：(2)．3．（2022·贵州遵义·八年级期末）（1）计算：；（2）分解因式：．【答案】（1）；（2）．【详解】解：（1）原式．（2）原式＝（x＋2）（x＋3）．4．（2022·四川泸州·八年级期末）阅读下面材料，并回答相应的问题：通过学习，我们了解了因式分解的两种基本方法：提公因式法，公式法．下面我们将探索因式分解的其它方法．(1)请运用多项式乘以多项式的法则填空：__________，____________，__________，__________．从特殊到一般，探索规律进行推导，过程如下：________________．(2)因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用（1）中的规律，我们可以得到一种因式分解的新方法：_________________（用字母等式表示）．利用这种方法，请将下列各式因式分解：__________，___________，【答案】(1)；(2)，【解析】(1)∴故答案为：，故答案为：，，，题型五：首项系数“不为1”的二次三项式因式分解1．（2022·山东淄博·一模）分解因式：______．【答案】##解：原式=；故答案为：；2．（2022·山东济宁·八年级期末）【知识背景】八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：．【方法探究】对于多项式我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数．所以例如，分解因式：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．所以）．类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．例如，分解因式：．分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6（或－6与1，－2与3，－3与2）的积，但只有当－2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1．所以．【方法归纳】一般地，在分解形如关于x的二次三项式时，二次项系数a分解成与的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成与的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把，，，按如图4所示方式排列，当且仅当（一次项系数）时，可分解因式．即．我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．【方法应用】利用上面的方法将下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)【答案】(1)（x－2）（x－3）(2)（2x＋3）（5x－7）(3)（x－1）（x－3）【解析】(1)=（x－2）（x－3）．(2)=（2x＋3）（5x－7）．(3)==（x－1）（x－3）．3．（2022·上海宝山·七年级期末）分解因式：【答案】【解析】解：==．（2022·江西·南昌市外国语学校八年级期末）（1）分解因式：；

（2）【答案】（1）（2）【解析】解：（1）原式；（2）原式=－2a(a2－6a＋5)=题型六：含参数的十字相乘法1．（2022·上海·八年级专题练习）二元二次方程x2﹣2xy﹣3y2＝0分解为两个一次方程的结果为_______．【答案】x﹣3y＝0；x+y＝0【详解】解：∵x2﹣2xy﹣3y2＝0，∴（x﹣3y）（x+y）＝0．∴x﹣3y＝0或x+y＝0．故答案为：x﹣3y＝0；x+y＝0．2．（2022·湖北武汉·八年级期末）因式分解：；【答案】-2（x-2y）2；(2)解：=-2（x2-4xy+4y2）=-2（x-2y）2；3．（2021·上海·七年级期中）因式分解：【答案】试题解析：原式==.题型七：十字相乘法的综合应用1．（2022·上海·七年级期末）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：，例如：，再如：，按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：(1)＝；（只填最后结果）(2)当x＝时，；（只填最后结果）(3)将下面式子进行因式分解：．（写出解题过程）【答案】(1)(2)(3)(1)解：，故答案为：．(2)解：，解得，即当时，，故答案为：．(3)解：，设，则，即．2．（2022·河南洛阳·八年级期末）阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值．解：设另一个因式是，根据题意，得，展开，得，所以，解得，所以，另一个因式是，a的值是-6．请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．【答案】另一个因式是，m的值是-8．解：设另一个因式是，根据题意，得，展开，得，所以，解得，所以，另一个因式是，m的值是-8．3．（2022·河南开封·八年级期末）阅读下列材料：材料1：将一个形如的二次三项式分解因式时，如果能满足，且，则可以把分解因式成．例如：①；②．材料2：因式分解：．解：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“m”还原，得原式．上述解题用到了整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题．(1)根据材料1，分解因式：．(2)结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：；②分解因式：．【答案】(1)(2)①；②(1)解：原式；(2)解：①令A=x-y，则原式=A2+4A+3=（A+1）（A+3），所以（x-y）2+4（x-y）+3=（x-y+1）（x-y+3）；②令B=x（x+2）=x2+2x，则原式=B（B-2）-3=B2-2B-3，=（B+1）（B-3），∴原式=（x2+2x+1）（x2+2x-3）=（x+1）2（x-1）（x+3）．4．（2022·湖北十堰·八年级期末）阅读理解题：已知二次三项式x2﹣4x＋m有一个因式是x＋3，求另一个因式及m的值．解：设另一个因式为x＋n，依题意得x2﹣4x＋m＝（x＋3）（x＋n）．即x2﹣4x＋m＝x2＋（n＋3）x＋3n，比较系数得：，解得．∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21仿照上述方法解答下列问题：(1)已知二次三项式2x2＋3x﹣k有一个因式是2x﹣1，求另一个因式及k的值；(2)已知2x2﹣13x＋p有一个因式x﹣4，则p＝．【答案】(1)另一个因式为x+2，k的值为2(2)20(1)解：（1）设另一个因式为x+m，则2x2+3x—k＝（2x—1）（x+m），即2x2+3x—k＝2x2+（2m—1）x—m，比较系数得：，解得，∴另一个因式为x+2，k的值为2；(2)解：设另一个因式为（2x+m），由题意，得：2x2﹣13x+p＝（x﹣4）（2x+m），则2x2﹣13x+p＝2x2+（m﹣8）x﹣4m，∴，解得，故答案为：20．题型八：分组分解法（四项式，五项式，六项式等）1．（2022·江苏·无锡市东林中学七年级期末）若，则_________．【答案】2022∵∴∴故填“2022”．2．（2022·广东揭阳·一模）分解因式：________________．【答案】解：故答案为：．3．（2022·山东济宁·八年级期末）观察探究性学习小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：甲：（分成两组）（直接提公因式）乙：（分成两组）（直接运用公式）请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)(1)解：，，；(2)解：，，，．4．（2022·上海·七年级期末）因式分解：．【答案】解：原式====．5．（2022·甘肃省兰州市教育局八年级期中）【阅读学习】课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：（1）；（2）．【学以致用】请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：（1）；（2）．【拓展应用】已知：，．求：的值．【答案】（1）；（2）；【拓展应用】．【详解】（1）（2）【拓展应用】∵，，代入得：原式=．6．（2022·上海·七年级开学考试）分解因式：．【答案】（2x+y+1）（2x+y﹣3）解：原式=（4x2+4xy+y2）﹣（4x+2y）﹣3=（2x+y）2﹣2（2x+y）﹣3=（2x+y+1）（2x+y﹣3）．题型九：利用求根法分解因式1．（2021·上海市第四中学八年级阶段练习）在实数范围内因式分解3x2+6x﹣2＝____．【答案】解：令所以2．（2021·上海浦东新·七年级期末）在实数范围内分解因式的结果是_____．【答案】．【详解】解：∵方程=0中，∴原方程的根是：，即：，，∴分解因式得：故答案是：．题型十：利用因式分解解决实际问题1．（2022·河南南阳·八年级期末）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，x﹣1，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：你，爱，邓，数，学，州，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．你爱数学 B．你爱学 C．爱邓州 D．邓州爱你【答案】D解：

==3(x+1)(x−1)(a−b)，∵a﹣b，x﹣1，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：你，爱，邓，数，学，州，∴结果呈现的密码信息可能是：邓州爱你，故选：D．2．（2021·广东江门·一模）小慧在课外阅读时遇到了一个与勾股定理有关的故事：古希腊哲学家柏拉图对勾股定理很有研究，曾得到勾股数的一个结论：如果m表示大于1的整数，则，，构成勾股数，你能证明柏拉图这个结论吗？并利用这个结论写出两组勾股数．（勾股数定义：若三角形三边长a、b、c都是正整数，且满足，那么a、b、c称为一组勾股数）【答案】证明见解析；，答案不唯一．证明：∴2m，，构成勾股数．答案不唯一，符合条件的两组数都行，如，，特别要留意数字较大的答案．3．（2022·山西晋中·八年级期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：（1）探究发现；小明计算下面几个题目①；②；③；④后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律：．（2）面积说明：上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算发现这个规律是正确的，小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律．（3）逆用规律：学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面因式分解的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：．（4）拓展提升现有足够多的正方形和矩形卡片（如图），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重复，也无空隙，拼出的图