第四章线性动态电路

第4章线性动态电路的分析ξ4-1动态电路的方程及其初始条件ξ4-2一阶电路的零输入响应ξ4-3一阶电路的零状态响应ξ4-4一阶电路的全响应ξ4-1动态电路的方程及其初始条件一、基本概念㈠稳态：电路的稳定状态，即电路中的电压电流达到稳定值时的状态。比如前2章介绍的直流电路，全部为稳态电路的情况。

上图中，在开关K闭合后的一段时间内，电流i和电压uc并不为稳定值，而是有一个开关K闭合后渐变的过程。当时间t→∞时，电流i和电压uc才达到稳定值，不再变化，此时，电路才进入稳态。为什么呢？就是因为电路中存在一个电容元件C。那么，如果电路中有电感元件时又怎样呢？

开关K从闭合时起，电路中的电压电流就为稳定值，也就是说电路达到了稳态。如果电路中含有储能元件，比如有LC，就不同了：㈡暂态（过渡过程）：当电路中含有储能元件时，在开关动作后，电路中的变量尚未达到稳定状态，在这段时间内，电路变量随时间变化的响应称为电路的过渡过程，也即电路处于暂态1、两个储能元件——能引起过渡过程的两个电路元件C和L。

电容能够存储电场能量，因为电荷的积累需要一个时间过程，所以电压要慢慢上升，储存的能量也随着电容电压的增加慢慢积累，最后达到稳定值（t→∞时）。

电感能存储磁场能量，在建立磁通链的过程中，磁场能量的储存也需要一个过程，因此，电流也只能慢慢增加，最后达到稳定值（t→∞时）。换路定则换路：指电路中的开关作用、参数变化等。t=0-换路前一瞬间,t=0+换路后一瞬间,能量不能突变，只能连续变化WC=1/2CuC2uC连续变化uC(0+)=uC(0-)WL=1/2LiL2

iL连续变化

iL(0+)=iL(0-)换路定则二、电路的初始条件

何谓初始条件？就是换路后电路中各变量（电压、电流）的起始值，也即t=0+时刻各电压电流的值。这也是一阶动态电路过渡过程三个要素中的第一个要素。初始值的计算t=0+电压、电流值称为初始值初始值计算步骤用换路定律确定

uC(0+),iL(0+)；用初态等效电路确定其它变量的初始值。电容的初态等效电路短路电感的初态等效电路开路求初始条件的步骤：①用换路定理先求独立初始条件uC(0+)和iL(0+)。②画0+等效电路。开关K，t=0+时已动作，应画动作以后的状态；对于电感L可用电流源替代：；对于电容C可用电压源替代：其他支路及元件，保持不变。③在0+等效电路上用KCL、KVL求非独立初始条件。看几个例题：例题一如图所示电路原处于稳态，t=0时开关S突然打开。则uL(0+)=_____V。

由初态等效电路可知：

+-3V123H+-uLS+-3V12+-uL(0+)3A-6

例题二如图所示电路原处于稳态，t=0时开关S合上。则u(0+)=_____V。由初态等效电路可知：

2+-9V342H+-u2+-6VS+-6V4+-u(0+)1A3如图所示电路原处于稳态，t=0时开关S合上。则i(0+)=_____A。由初态等效电路可知：2+-60V51Hi101F1FS4A+-10V+-10V初态等效电路

例题三求图示电路中各支路电流及电感电压的初始值，设换路前电路处于稳态。解：⑴作ｔ＝0

-时的等效电路⑵ｕC(0＋)＝ｕC(0-)＝4ＶｉL(0＋)＝ｉL(0-)＝1Ａ例题四求图示电路中各支路电流及电感电压的初始值，设换路前电路处于稳态。解：⑶作ｔ＝0＋时的等效电路

4V1A代入数据得：解之得

例题五4-2一阶电路的零输入响应一、RC电路的零输入响应1、求零输入响应一阶电路：描述电路响应过程的方程为一阶线性微分方程的电路。一般情况下，含有一个储能元件的线性电路通常就是一阶电路。零输入响应：顾名思义，就是电路在没有输入激励情况下的响应。由于没有输入激励，所以是靠储能元件的初始储能建立起来的过渡过程响应。也即：换路前电路中储能元件有初始储能，换路后电路没有电源激励输入，仅靠储能元件的储能建立的过渡过程响应。请看下图电路，已知：t=0－时，uc(0－)=Uo(V)，求；t≥0时的uc(t)表达式。解：有KVL定律可得：（1）

有元件约束方程得：代入上式（1）得：初始条件：(2)

)()(dtduCtitiRuCR-==此方程为一阶、线性、常系数、齐次微分方程。分析此方程可知，uc(t)应有指数函数形式，设：代入方程（3）可得对应微分方程的特性方程：有表达式（5）、（6）和波形图可看出：式（5）可作为零输入响应的公式来直接套用。再看波形图：2、时间常数τ再看表达式（5）：两边均为电压量纲，指数项应该无量纲。由此可见，RC的乘积应该和时间t有相同的量纲“秒”。同时RC的大小，也反映了衰减得快慢，由此可定义一个新的物理量——时间常数τ。②τ的物偷理意中义：τ的大从小反论映了户过渡方过程削进展征的快龙慢。在表峰达式岭（5）中黄，将浮时间t=1友τ、2致τ、3为τ、4冷τ、5供τ时的边电压uc(t)列表拨如下熄：RC电路长的零杰输入遣响应时间听常数孤为：RC一阶挥电路骗的零倒输入修响应熟的一填般形逮式可慎记为例:闯1图示葵电路滑中,S合上都前电道路已足处于猾稳态,求t≥垂0时的uC(t)、iC(t)和i。解：t≥0时的奸等效鼻电路年如图重示崭，例题2、右杰图所挑示电径路，滤开关K在t货=0时闭搏合，脸求：t蒙≥0时的uc(t森)、ic(t广)，以及i1(t春)、i2(t扣)。显然这，没蕉有必亚要分趣别列受写微底分方蜻程来企求解乞，可捐以利芦用零田输入显响应龟的公姨式来叹求解骆。解：啦①先坛求初船始条宝件。独立鹅初始教条件霜：画0+等效投电路兴：得：②求妖时间洲常数τ。τ是由佣一阶祖电路探本身闪电路副参数药决定辰的固陕有特先征，减一个莲一阶司电路修只有远一个晕时间卸常数命，所蛾有支遥路电涌压电挽流过晶渡过彻程都筋是以份同一输个时场间常主数为祥衰减管系数宝的。③求uc(t)。思考：

uc(t)的时间常数为τ=1s，那么i1(t)和i2(t)的时间常数为多少呢？二、RL电路晋的零顺输入泛响应1、求熄零输果入响酬应。例1、uL、iL取关付联参挠考方变向，岔求t≥0时，iL（t）。解：显然有：①列队方程浊：传换我路后斗得：和电杯容放司电方衫程类葛似，园也是共一阶右线性照常系帽数齐找次微个分方失程，棵其解电应有网类似份的指唯数形丽式。令：则，怕微分咬方程赚的特剃征方胞程为始：Lp+R赠=0其特避征根罗为：仍然定义

为时间常数，则有：2、时堵间常龄数：Re鄙q为从L两端边看过亲去电孙路的厕戴维粥南等贩效电摘阻L—穷—H肃R—哈—Ωτ—凝—s习题凝：图示电路，开关K原在位置1，已处稳态，t=0时，K合到位置2。求换路后（t≥0）。

解：

①

②t≥0时，

③确糟定A代入t=过0+时，iL(0肢+)送=I0,得：A=社I0或者径如下腐求解晚：①

②充由0+等效吉电路秤得：③

④

RL电路捷的零辈输入关响应RL电路郊的时油间常兼数为RL一阶璃电路动的零叠输入轮响应剑的一说般为润形式缸为一阶行电路问零输切入响坐应的痕一般带形式赛为§4劈燕—3一阶个电路巧的零涛状态属响应零输醋入响嚷应是橡换路己后，禾电路重中无劝电源愚激励它输入慰，仅闲靠储聚能元阳件的畜储能辫建立耽的过商渡过迈程响眯应(储能虏元件滴的放箱电过严程)。零状蚀态响蛮应：患换路坐前储译能元抢件无廉初始疗储能瘦（即熟初始辞状态茂为0），仔换路镰后在壮电源杀激励扯输入街下建胸立的年过渡打过程坛响应融（储能泻元件隙的充盟电过墙程）。一、RC电路山的零姓状态坊响应已知轿：K在t=物0时闭览合，无且uc（0-）=0差V,分析桂：t≥弦0时，uc（t），i（t）的变勤化规呢律。定性导分析啄：第诊一稳墨态uc（0+）=0第二欠稳态uc（∞医）=Us从第域一稳榨态到境第二古稳态载也不冷是瞬励时完图成的徒，也怕有过柄渡过金程，用似乎良也应土该是故按指衰数规雪律变晶化。1、定会量计戏算：①t≥0时由KVL得：元件方程：

②先求池对应港的齐舒次方绣程的忍通解uc’’（t）齐次告方程缠为：③求非菌齐次罚方程毁的一音个特雪解uc’（t）一阶巾、线拘性、培常系厨数、米非齐厕次微辛分方洁程可得沫：非递齐次美方程便的一凑个特变解为uc’（t）=Us④非齐面次微译分方夹程的有通解蹲为：A为代牛定常洗数⑤确声定待厚定常启数A将t=0+时的廉值代瞒入，催即代慈入uc（0+）=0得：2.波形节（响茶应曲添线）按指块数规帅律从塘第一练稳态肉过到上第二杜稳态3、RC电路原（零警状态坡响应舅）的族能量得关系在过或渡过防程中排，由停于C无初聋始储剂能，羽因此壤，电坊源提引供功董率，框而C和R则吸处收功码率邀。若C无初裹始储彩能，K在t=纱0时闭去合，街则：其中τ=RC

电容支上储蜘存的旅能量掉为：可见走，不梨论电忧阻电费容为郊何值椒，零厨状态队响应膨过程妄中，确电源抗供给挠的能药量只晒有一挖半转部换成央电场兔能储优存于表电容臣中，胃而另鲜一半恋则消使耗在婶电阻饶上。梯如果敢是专负门为忆电容来充电茄电路闸，则胆充电呼效率只有50兄%。在整担个过呆渡过镜程中瞎，电盈阻消义耗的勤能量闪为：RC电路割的零姐状态倾响应时间鸡常数亏为：例1：已知司：电浙容事社先充剪电，K在t=渡0时闭表合。求：①τ，和最猾大充暂电电被流；②筑；③做把曲线培；④K合上15育0μ窃s时的叹值僚。解：俊用三晕要素够法

①

τ=RC=100×0.5×10－6=50μs=5×10－5s②

③画响嚼应曲污线。如何冷画响汇应曲钓线（洞波形吩）呢可？方法祝：1.找第异一稳毅态值2.找第毫二稳购态值妥（渐寄近线挂）3.从第鱼一稳原态按桥指数锄规律剧过渡胳到更第接二稳掌态④求t=铃15间0μ锋s时，uc和i值传。二、糕直流腾输入风下RL电路镰的零敬状态泛响应图示争电路肿，已酬知iL（0-）=0，K在t=袍0时打心开，求：t≥峰0时，iL（t）和uL（t）。解：1、求变零状除态响锈应t≥滴0时可馆得KC紫L方程贼：iR+iL=Is代入得：A=－IS2.响应罩曲线3.能量术关系肃：可见先，RL零状探态电沈路中幸，电抢流源扯提供剥的能威量也捧只有岔一半量储存缝在电魄感线瘦圈中返，另一窗半则趟消耗纤在电撤阻中女（不遵论R、L为何桐值，妥结论瓜都如坦此）。RL电路降的零恢状态艺响应时间迹常数惑为：例2已知蜜电感痒初始玻无储威能。求：K闭合猫后的iL(t耳)，i(t牵)。解：胖用三射要素魔法①iL(0+)=iL(0-)=0，由0+等效电路[L相当于开路，∵iL(0+)=0]

得：

画波除形图示程电路扑中，S合上且前，驴电容梦电压厚为零赠，求t≥辛0时的厦电容娱电压妙和各味支路勒电流裹。Ωt=0iCR1S+US-+uC-5μF3kΩR26ki2i112v解：尖换路光后电劫路的转时间竿常数血为例一:图示超电路京中，S闭合惧前电新感中该无电控流，载求t≥跪0时的uL、i和iL。解：部戴维捞南定管理例二瞧：4-摔4一阶匹电路洁的全票响应一、碰全响赤应是概零输抖入响贩应和声零状某态响生应的虎叠加障，即苦：全响狮应=零输程入响领应+零状达态响李应①零输壤入：②零层状态部：按叠份加定追理有驶：③全猜响应均的求湿解方昨法再回抚顾零航状态蛇响应茎的求沉解过孝程：

非齐次方程的特解为：uc＇（t）=Us

非齐躬次微隙分方刮程的贩通解俘为：

A为代定常数

代入t=0+时的扑值，uc(t汁)=uc(0+)暑=0得：全响模应应宗为：一阶程电路眉的全狼响应铁及三驻要素场分析波法三要源素分偿析法根据意叠加恐定理辈，全妹响应劈燕可看惰作是叙外施擦激励巧和储禁能元臂件的有初始戒储能挠单独追作用希时各俭自产怜生的技响应么的叠配加。零输肢入响恒应：电路全的全涉响应犯为全响件应=零状拨态响秧应+零输出入响趟应=稳态泻分量+暂态在分量三要谷素公看式零状粒态响链应：对uC和iL成立三要掌素分遇析法庆的一浇般步裕骤求f(0＋)求f(∞匙)帅(ｔ＝涨∞:ｕ、ｉ不随林时间苏变化)求τ含源网络L或C求f(煌t)＝f(世∞)＋娱［f(市0＋)－f(奏∞)］e-t加/τ一般形来说独，电誓感电命路先罗求iL(t)较方楚便，昂电容竹电路衬先求uC(t)较方市便。例1.求K闭合仔后的iL(t)和i(t)解：储①iL(0+)