第六章不等式推理与证明

第六章不等式、推理与证明第一节

不等关系与不等式第二节

一元二次不等式及其解法

第三节

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题第四节

基本不等式第五节

合情推理与演绎推理第六节

直接证明与间接证明第七节

数学归纳法专家讲坛目录[备考方向要明了]本节内容在高考中多与其他知识进行综合命题，一般是以选择题或填空题的形式出现：(1)依据不等式的性质，判断不等式或有关结论是否成立；(2)利用不等式的性质进行大小关系的比较．(3)不等式的性质在不等式的证明或求解中的应用.1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．2.了解不等式(组)的实际背景．3.掌握不等式的性质及应用．怎么考考什么[归纳·知识整合]1．比较两个实数大小的法则设a，b∈R，则(1)a＞b⇔

；(2)a＝b⇔

；(3)a＜b⇔

.2．不等式的基本性质a－b＞0a－b＝0a－b＜0性质性质内容注意对称性a>b⇔_____⇔传递性a>b，b>c⇒______⇒可加性a>b⇔___________⇔b<aa>ca＋c>b＋cac>bcac>bca＋c>b＋dac>bdan>bn[探究]

1.同向不等式相加与相乘的条件是否一致？提示：不一致．同向不等式相加，对两边字母无条件限制，而同向不等式相乘必须两边字母为正，否则不一定成立．提示：(1)不成立，当a，b同号时成立，异号时不成立．

(2)不对，若n为奇数，成立，若n为偶数，则不一定成立．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)给出下列命题：①a>b⇒ac2>bc2；②a>|b|⇒a2>b2；③a>b⇒a3>b3；④|a|>b⇒a2>b2.其中正确的命题是 (

)A．①② B．②③C．③④

D．①④解析：当c＝0时，①不成立；当|a|＝1，b＝－2时，④不成立．答案：B

2．如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是 (

)A．a2>a>－a2>－a B．－a>a2>－a2>aC．－a>a2>a>－a2 D．a2>－a>a>－a2答案：B

3．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是 (

)A．ad>bc B．ac>bdC．a－c>b－d D．a＋c>b＋d解析：由不等式的性质知，a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.答案：D

5．已知12<x<60,15<y<36，则x－y的取值范围是________．解析：∵15<y<36，∴－36<－y<－15.又∵12<x<60∴12－36<x－y<60－15，即－24<x－y<45.答案：(－24,45)用不等式(组)表示不等关系[例1]

某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言><≥≤实际应用中不等关系与数学语言间的关系将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换，常见的文字语言及其转换关系如下表：1．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时和2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时和1小时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．比较大小

[例2]

(1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是 (

)A．M<N

B．M>NC．M＝N D．不确定

(2)甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则 (

)A．甲先到教室

B．乙先到教室

C．两人同时到教室

D．谁先到教室不确定[自主赌解答](1百)M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)青(a2－1)，又∵a1∈(0孩,1底)，a2∈(0真,1解)，∴a1－1<竖0，a2－1<姿0.∴(a1－1)障(a2－1)自>0，即M－N>0袄.∴M>N.[答案](1罩)B(2爽)B若将大本例(1惩)中“a1，a2∈(0悲,1浊)”改为“a1，a2∈(1，＋∞)”，试赚比较M与N的大扭小．解：攻∵M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝(a1－1)档(a2－1)，∴当a1，a2∈(1，＋∞)时，a1－1>光0，a2－1>扫0.∴(a1－1)曲·(a2－1)除>0姨.∴M－N>0，即M>N.比较微大小筐的常身用方兼法(1豪)作差嫁法一般揉步骤殃是：池①作熊差；件②变铸形；浙③定俘号；尚④结仿论．袍其中托关键腰是变胸形，叠常采浩用配踢方、码因式判分解斧、有访理化赚等方贱法把载差式培变成燥积式叨或者喊完全赠平方锁式．惑当两并个式桶子都厨为正竭数时察，有木时也辫可以纸先平多方再透作差酒．(2尾)作商禾法一般宁步骤蔑是：役①作震商；学②变脾形；楚③判塑断商铅与1的大似小；现④结颂论(注意碑所比及较的慎两个婶数的图符号).(3妖)特值册法若是郑选择搜题、抄填空另题可慰以用堤特值痕法比跑较大尚小；删若是裹解答睬题，急可以堪用特辅值法纺探究枯思路.2．比博较下战列各坦组中担两个芳代数种式的困大小糕：(1艇)3x2－x＋1与2x2＋x－1；(2阅)当a>0，b>0且a≠b时，aabb与abba.解：(1置)∵3x2－x＋1－2x2－x＋1＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>挺0，∴3x2－x＋1>津2x2＋x－1.不等蚕式性惯质的贺简单气应用A．①B．①扭②C．②待③D．①南②③A．0首B．1赛C．2骂D．3[答案](1阵)D(2典)D与不嗓等式或有关硬的命爆题的占真假茄判断在判愉断一恰个关燃于不邻等式仗的命庆题真裕假时时，先疏把要纲判断男的命元题和斑不等集式性能质联五系起然来考货虑，恨找到蓝与命早题相笨近的爆性质宰，并始应用碗性质坚判断只命题生真假毕，当摧然判原断的骄同时颠还要什用到遗其他锄知识脚，比蹈如对传数函据数、波指数熔函数油的性甚质等.A．1求B．2C．3陆D．4答案迫：C不等岸关系柳强调毙的是照关系凳，可之用符殿号“>”，“<”，“≠疼”，“≥观”，“≤松”表示蛙，而四不等表式则咽是表委示两诞者的倾不等沉关系亭，可脉用“a>b”，“a<b”，“a≠b”，“a≥b”，“a≤b”等式钥子表继示，旧就像休相等许关系值可以晋用等祝式体锣现一佣样，婆不等进关系塑可以湿用不银等式枝体现顽．(1泪)在应冷用传续递性碑时，凡如果幕两个浑不等刻式中尘有一旅个带篇等号该而另崭一个形不带狭等号滴，那爆么等炼号是姿传递弓不过郑去的肺．如a≤b，b<c⇒a<c.(2漠)在乘出法法化则中那，要侨特别厘注意“乘数c的符贿号”，例毛如当c≠0时，印有a>b⇒ac2>bc2；若借无c≠0这个感条件侧，a>b⇒ac2>bc2就是睁错误芦结论(当c＝0时，林取“＝”)．(3例)“a>b>0⇒an>bn(n∈N，n>1碌)”成立芽的条饰件是“n为大糖于1的自猪然数销，a>b>0插”，假觉如去梢掉“n为大闪于1的自衬然数”这个净条件录，取n＝－1，a＝3，b＝2，那甚么就对会出烧现“3－1>2－1”的错都误结听论；拳假如贵去掉“b>0朋”这个蒙条件度，取a＝3，b＝－4，n＝2，那漠么就乎会出夹现“32>(－4)2”的错晋误结堵论.易误通警示——解题插时忽透视不产等式垫的隐捉含条牵件而步致误[例](2项01漠3·盐城冰模拟)已知馋－1<a＋b<3；2<a－b<4，则2a＋3b的取玩值范鲜围为__储__肝__锐__．(1柔)本题膀易忽予视题盯目中胡字母a，b相互慰制约李的条猎件，险片面朋地将a，b分割丑开来拜考虑横，导树致字五母的赖范围攀发生鸡变化妙，从揪而造析成解遍题的很错误蓝．(2怎)当利贸用不烤等式压的性艇质和携运算孝法则攻求某贯些代获数式裂取值岛范围授的问守题时享，若柏题目盒中出扣现的失两个重变量倒是相诉互制惹约的杏，不弓能分罩割开受来，或则应扫建立乒待求干整体腹与已亩知变坝量之糖间的丘关系观，然荐后根阔据不饲等式厌的性谈质求臣待求伯整体互的范股围，拢以免拿扩大容范围止．已知勾函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)辉≤2取,2迷≤f(1届)≤套4.求f(－2)的取界值范食围．“演致练知嚼能检怖测”委见霜“限艳时集割训（叠三十剂五）拆”1．限禾速40同k叮m/州h的路味标，侦指示辉司机请在前旦方路坚段行磨驶时翻，应使痒汽车薄的速胸度v不超胃过40哲k芒m/档h，写奋成不妥等式非就是()A．v<4捉0步km炸/hB．v>4福0作km计/hC．v≠4忆0兽km隐/h盘D．v≤40霜k平m/叫h解析队：速锁度v不超吹过40糟k钞m/弯h，即v≤40降k益m/记h.答案宿：选D2．已症知a，b，c∈R，则“a>b”是“ac2>bc2”的()A．充慰分而撕不必络要条旷件B．必占要而距不充栗分条谷件C．充静要条移件D．既狭不充捉分也零不必功要条碰件解析僚：a>bac2>bc2，因疾为当c2＝0时，ac2＝bc2；反帽之，ac2>bc2⇒a>b.答案疑：BA．a2<b2B．ab<b2C．a＋b<0绝D．|a|＋|b|>孩|a＋b|答案赌：D[备考罪方向霸要明谢了]1.以选惯择题野或填培空题辅的形第式考查一杰元二桑次不响等式括的解烧法．如20寨12年重稳庆T2等．2.已知沈二次泉函数斑的零熊点的变分布，橡求一尚元二东次方畅程中剃未知参数坛的取杂值范炸围．3.与函烫数等码知识咬综合递考查刮一元二次商不等取式的毁相关盏知识.1.会从世实际著情境额中抽趁象出蓄一元二揉次不备等式膊模型座；2.通过坏函数西图象电了解斥一元洪二次不盗等式那与相异应的姑二次睡函数、旨一元脱二次现方程昂的关系；3.会解述一元贷二次缘瑞不等腹式，索对给定南的一后元二匆次不斩等式暮，会设件计求甚解的芳程序祥框图.怎么考考什么[归纳·知识塞整合]一元流二次泪不等皇式与蓄相应璃的二徐次函瞒数及纳一元顶二次阔方程预的关酱系如堪下表判别式Δ＝b2－Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象{x|x<x1或x>x2}{x|x1＜x＜x2}∅∅R[探究]1.ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0线(a≠0强)对一络切x∈R都成弹立的悬条件顾是什材么？[自测·牛刀巩小试]1．(教材屿习题纵改编)已知喘集合A＝{x|x2－16殊<0舟}，B＝{x|x2－4x＋3>检0}，则A∩B＝()A．{x|－4<x<1碰}B．{x|－4<x<3准}C．{x|－4<x<1或3<x<4花}旬D．{x|1棒<x<4脾}解析半：由x2－16妹<0，得齐－4<x<4，故A＝{x|－4<x<4惑}．由x2－4x＋3>垃0，得x>3或x<1，故B＝{x|x>3或x<1签}．故A∩B＝{x|－4<x<1或3<x<4楚}．答案株：C答案甩：CA．{x|x<1或x≥3俗}旦B．{x|1局≤x≤3苹}C．{x|1＜x≤3雹}泊D．{x|1拆<x<3趟}A．－6籍B．－5誉C．6良D．5答案俗：C4．(教材押习题滩改编)若关灶于x的一逗元二煤次方字程x2－(m＋1)x－m＝0有两日个不类相等晚的实集数根游，则m的取费值范狸围为__阀__信__完__．5．不匠等式x2＋ax＋4<唐0的解芬集不零是空由集，勤则实属数a的取女值范围付是__因__耀__泄__．解析财：∵江不等签式x2＋ax＋4<尼0的解印集不团是空收集，∴Δ＝a2－4×雄4>发0，即a2>1居6.∴a>4或a<－4.答案棋：(－∞，－4)∪(4，＋∞)一元分二次来不等甜式的撑解法若将肤本例(2彩)改为“x2＋4x＋5≤误0”呢？解：的∵Δ＝42－4×星5＝16－20＝－4<俊0，∴不眼等式x2＋4x＋5≤室0的解书集为塞∅.一元祸二次新不等摩式的宪解法(1场)对于滚常系剑数一澡元二叙次不艘等式杯，可回以用组因式唉分解灯法或规判别纯式法唉求解塔．(2傻)对于应含参免数的槐不等军式，抬首先励需将怕二次猜项系握数化焦为正锄数，搁若二饺次项庭系数弦不能僻确定刘，则译需讨迫论它母的符谊号，梢然后恶判断死相应退的方葬程有志无实意根，抓最后凉讨论覆根的拿大小陆，即球可求贤出不庸等式欺的解答集．1．解分下列欠不等名式：(1既)8x－1≤般16x2；(2姓)x2－2ax－3a2<0乖(a<0柴)．解：(1捆)原不兴等式舰转化砖为16x2－8x＋1≥秧0，即(4x－1)2≥0，故原阳不等榜式的因解集祖为R.(2链)原不突等式渴转化竹为(x＋a)(x－3a)<丑0，∵a<0，∴3a<－a.∴原辰不等序式的挂解集踏为{x|3a<x<－a}．一元败二次劝不等施式的敲恒成撑立问拒题[例2]已知净不等弊式mx2－2x－m＋1<莲0.(1乔)若对按所有似的实丽数x不等闸式恒辽成立窗，求m的取剧值范柔围；(2狐)设不尸等式倡对于训满足|m|≤瓣2的一部切m的值员都成异立，蛛求x的取颈值范灿围．[自主怨解答](1看)不等堪式mx2－2x－m＋1<机0恒成普立，即函季数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图侍象全挪部在x轴下教方．当m＝0时，1－2x<0，不允符合宵题意维．当m≠0时，赚函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二刚次函识数，花需满砍足开筹口向眉下且妖方程mx2－2x－m＋1＝0无解桌，(2棉)从形横式上侦看，眯这是此一个圾关于x的一耀元二曲次不善等式蚊，可占以换征个角档度，给把它段看成歌关于m的一渗元一皇次不揭等式映，并早且已衡知它轻的解潜集为[－2,穗2]，求玩参数x的范抬围．设f(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)，则其至为一伯个以m为自炉变量顺的一熔次函千数，励其图酬象是逃直线怎，由首题意僵知该味直线累当－2≤m≤2时线铲段在x轴下闲方，恒成妄立问仆题及哑二次枪不等分式恒巡寿成立吵的条成件(1棍)解决毒恒成骑立问屡题一伶定要冈清楚蔬选谁姓为主仅元，馅谁是柄参数牵．一镰般地删，知呀道谁唤的范钳围，焰就选趋谁当栋主元培，求塞谁的秃范围赤，谁怪就是弱参数慈．(2微)对于炼二次酷不等俱式恒程成立提问题费，恒男大于0就是甩相应麦的二浑次函况数的策图象宇在给宫定的拍区间让上全殖部在x轴上论方；孤恒小巧于0就是舍相应史的二载次函妇数的午图象右在给厨定的傅区间眼上全电部在x轴下夸方．(3翁)一元姻二次婶不等慕式恒杀成立贺的条您件①ax2＋bx＋c>0于(a≠0心)恒成锄立的识充要严条件锻是：a>0且b2－4ac<0阳(x∈R)．②ax2＋bx＋c<0仙(a≠0总)恒成尸立的蹦充要添条件勒是：a<0且b2－4ac<0票(x∈R)．2．已束知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成升立，墙求a的取粥值范动围．解：挣法一墓：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此亿二次壤函数膛图象烘的对南称轴炒为x＝a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单闷调递舞增，f(x)mi闲n＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成惧立，街只需f(x)mi纪n≥a，即2a＋3≥a，解介得－3≤a＜－1；②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)mi村n＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解辰得－1≤a≤1致.综上携所述膀，所仗求a的取泛值范妹围为[－3,汉1]．一元姨二次爽不等奖式的沾应用[例3]某汽议车厂卖上年肿度生伪产汽累车的院投入内成本犁为10万元/辆，扇出厂戏价为12万元/辆，杨年销笛售量覆为10铸0因00辆．锯本年哀度为斧适应罪市场师需求酸，计折划提摘高产蚕品质计量，赞适度蜂增加峡投入悦成本皮．若洒每辆垮车投继入成需本增仿加的亦比例累为x(0舰<x<1屈)，则蹈出厂狂价相徐应地框提高逐比例截为0.供75x，同牧时预覆计年还销售次量增板加的继比例粮为0.夸6x，已器知年诱利润纵＝(出厂搅价－涛投入甲成本)×年销军售量德．(1深)写出脾本年滋度预唇计的怨年利件润y与投伸入成辨本增咬加的爹比例x的关厉系式够；(2谣)为使案本年乓度的货年利拼润比量上年团度有草所增燥加，壮则投旺入成散本增偿加的崖比例x应在恩什么暴范围暴内？[自主愿解答](1摸)由题阅意得y＝[1届2(涂1＋0.疼75x)－10娘(1＋x)]奔×1限0慰00禽0(歪1＋0.抗6x)(栏0<x<1言)，整理钳得y＝－6侦00葵0x2＋2草00远0x＋20阀0岔00飘(0党<x<1铜)．解不头等式匀应用保题的缺步骤3．挤某同缎学要恳把自浆己的刚计算嫂机接执入因扫特网川．现斑有两胜家IS堂P公司脂可供挺选择竭．公吗司A每小处时收婆费1.赌5元；附公司B在用访户每睬次上哗网的母第1小时泽内收扛费1.膊7元，凑第2小时听内收踢费1.午6元，碌以后准每小脂时减略少0.拿1元(若用篇户一料次上低网时介间超拨过17小时框，按17小时雪计算)．假健设该备同学护一次亮上网愿时间蚁总和咏小于17小时把，那废么该宫同学晴如何诉选择IS闪P公司茅较省蹈钱？二次养项系精数中班含有蛇参数拢时，碎参数难的符聋号影悉响不圆等式邀的解擦集，盗不要权忘了投二次烘项系印数是惕否为右零的温情况河．(1仔)分类祥讨论怜的思尚想：皂含有炮参数抽的一膀元二更次不除等式负一般纠需要忆分类括讨论踢．在仁判断甜方程寇根的沈情况相时，旬判别莲式是揪分类瓶的标昼准；啄需要鞠表示加不等档式的售解集疲时，难根的险大小辜是分慌类的削标准君．(2归)转化伴思想从：不由等式汇在指督定范赔围的速恒成灿立问欣题，迈一般编转化纷为求晒函数写的最滤值或渴值域矩问题.创新庆交汇——一元牲二次爷不等肚式与陪函数核交汇漆问题1．一静元二贯次不茄等式院的解蛋法常帽与函吗数的万零点度、函霜数的执值域假、方队程的膜根及僵指数运函数宅、对至数函仗数、房诚抽象嫩函数扁等交曲汇综著合考哪查．2．解逐决此益类问谅题可眨以根妨据一悔次、罪二次过不等槐式，舱分式贡不等歌式，辟简单笋的指脏数、脊对数校不等偶式的注解法械进行绘适当薄的变区形求粮解，兼也可混以利娃用函明数的蒙单调流性把证抽象绝不等逆式进劳行转袋化求黄解．[例](2隐01盾2·浙江听高考)设a∈R，若x>0时均电有[(a－1)x－1]俯(x2－ax－1)蚀≥0，则a＝__煮__使__黄__虽.[解析]∵x>0，∴香当a≤1时，(a－1)x－1<螺0恒成昆立．向∴[(a－1)x－1]最(x2－ax－1)豪≥0不可启能恒醒成立显．∴a>1潜.对于x2－ax－1＝0，设装其两纽奉根为x2，x3，且x2<x3，易知x2<0，x3>0目.又当x>0时，结原不应等式五恒成弱立，通过y＝(a－1)x－1与y＝x2－ax－1图象镜可知1．本价题具客有以卫下创裙新点(1脉)本题茄是考筋查三求次不拜等式谜的恒条成立帜问题坊，可断转化果为含沙参数梢的一馒元一视次不皮等式谨及一好元二瞧次不疮等式包的恒男成立脸问题射．(2谋)本题尺将分咬类讨佛论思厅想、痕整体公思想猛有机牵结合腐在一优起，潜考查蜻了学戚生灵触活处翅理恒拔成立秀问题塌的方浮法和扛水平幅．2．解士决本杜题的家关键(1徒)将三券次不失等式更转化览为一紫元一够次不否等式饥和一洞元二辟次不蜓等式机问题滤；1．偶烘函数f(x)(x∈R)满足泰：f(－4)＝f(1骡)＝0，且宜在区景间[0令,3谋]与[3，＋∞)上分啊别递邮减和类递增懂，则凡不等蒙式x3f(x)<偿0的解律集为()A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B．(－4，－1)∪(1爪,4应)C．(－∞，－4)∪(－1,废0)D．(－∞，－4)∪(－1,魄0)∪(1耳,4备)解析里：由谷图知妖，f(x)<艺0的解略集为(－4，－1)∪(1漠,4背)，∴线不等紧式x3f(x)<酬0的解赚集为(－∞，－4)∪(－1,辅0)∪(1躺,4绸)．答案行：D2．已宋知函饲数f(x)的定纳义域晋为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数您，函导数y＝f′(x)的图搅象如郊图所图示，破且f(－2)＝1，f(3竿)＝1，则咱不等眼式f(x2－6)不>1的解攀集为()解析圾：由茧导函星数图辫象知证当x<0时，f′(x)>誉0，即f(x)在(－∞，0)上为巷增函懂数；当x>0时，f′(x)<雷0，即f(x)在(0，＋∞)上为供减函犬数．故不百等式f(x2－6)没>1等价蓝于f(x2－6)愁>f(－2)或f(x2－6)糠>f(3碍)，即云－2<x2－6≤衡0或0≤x2－6<帆3.解得x∈(2麦,3贼)∪(－3，－2)．答案惜：A“演强练知承能检宗测”构见催“限喘时集愉训（脂三十仿六）吵”1．不涌等式2x2－x－1>讽0的解难集是()答案妨：DA．(1维,3圾)误B．(－∞，3)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)遮D．(－∞，＋∞)答案:A3．若利关于x的不额等式ax2－x＋2a<0的解阁集为泼∅，笋则实蹄数a的取值倘范围著是__址__极__纯__．解析既：依陪题意谨可知爷，问锦题等典价于ax2－x＋2a≥0恒成撒立，当a＝0时，肚－x≥0不恒部成立急，故a＝0不合部题意刑；当a≠0时，畏要使ax2－x＋2a≥0恒成注立，即f(x)＝ax2－x＋2a的图是象不挠在x轴的卡下方旦，4．汽途车在副行驶姻中，剂由于身惯性撒作用途，刹述车后鼠还要滨继续肺向前珠滑行什一段煌距离贩才能质停住枯，我晃们称拖这段爪距离观为“刹车读距离”．刹车阅距离以是分缎析交万通事叮故的替一个梢重要职因素马．在虾一个仁限速40尝k浅m/彻h的弯片道上凯，甲慕、乙谨两辆掏汽车各相向弊而行堪，发草现情办况不咱对，扮同时棋刹车系，但梦还是蛇相碰耕了，娱事发脖后现树场测鼠得甲腥车的蹲刹车却距离灶略超谋过12萌m，乙吩车的斥刹车纠距离佳略超英过10册m，又刮知甲阿、乙恒两种最车型冠的刹歪车距营离s(m)与车船速x(k街m/枕h)之间上有如众下关检系：s甲＝0.破1x＋0.塔01x2，s乙＝0.袜05x＋0.跑00猾5x2.问：享是超闷速行渗驶应钞负主玻要责托任？解：驻由题迹意列余出不落等式孩对甲扫车型款：0.慕1x＋0.咬01x2>1够2，解得x>3楼0(x<－40舍去)；对乙狡车型型：0.巾05x＋0.临00剧5x2>1努0，解得x>4秩0(x<－50舍去)，从而x甲>3欠0师km短/h，x乙>4蹲0趁km汗/h，经比哲较知此乙车方超过桶限速尾，应则负主驴要责倍任．[备考女方向弟要明恳了]1.会从佳实际残情境酒中抽惜象出蛛二元逐一次构不等蝴式组涨．2.了解冻二元岁一次励不等昏式的示几何族意义默，能供用平妈面区顷域表族示二元一幅次不谋等式庸组．3.会从河实际芦情境行中抽盟象出穴一些球简单娱的二斥元线苹性规闭划问氏题，并能跑加以掀解决.考什么1.考查碗形式明：选锣择题活或填省空题探．2.命题吸角度窝：(1给)求目胆标函贴数的妹最大键值或项最小面值，捉或以番最值大为载遮体求恶其参数录的值(范围)，如20兼12年广伤东T5，新口课标腿全国T1欣4，山东T5等．(2挂)利用铸线性芒规划千方法争求解枕实际锅问题劝中的顷最优忙方案轻，如20芽12年江渴西T8等．(3擦)将线员性规李划问跟题与币其他兵知识撤相结还合，岭如向锦量、曲不等子式、导犬数等村相结夏合命倚题，巨如20沟12年陕印西T1肌4，福饰建T9等.怎么考[归纳·知识眯整合]1．二迫元一省次不此等式排表示研的平谊面区宏域(1醒)一般其地，唇在平覆面直梢角坐位标系仗中，支二元班一次册不等披式Ax＋By＋C＞0表示送直线Ax＋By＋C＝0某一不侧的燥所有赛点组舌成的龙平面摇区域(半平捕面)边界极直线饺．不等稳式Ax＋By＋C≥0所表伟示的玻平面城区域(半平饱面)_诞__逢_边界朱直线津．(2葵)对于初直线Ax＋By＋C＝0同一滩侧的闲所有苦点(x，y)，使桶得Ax＋By＋C的值降符号密相同描，也拴就是哀位于姐同一总半平蠢面的虑点，再其坐握标适岛合Ax＋By＋C＞0；而剪位于饲另一漫个半距平面董内的皆点，辨其坐贸标适截合.不包针括包括Ax＋By＋C＜0(3躲)可在叛直线Ax＋By＋C＝0的某愁一侧匆任取彼一点娃，一划般取巧特殊愉点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的来判可断Ax＋By＋C>0你(或Ax＋By＋C<0怖)所表必示的锅区域聋．(4京)由几英个不侦等式栗组成干的不傅等式丑组所慌表示仿的平县面区梳域，洞是各孝个不氏等式虫所表侨示的个平面俩区域买的．符号公共涌部分2．线票性规书划中辜的基弄本概莫念名称意义约束条件由变量x，y组成的

线性约束条件由x，y的

不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数

，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的

解析式不等订式一次解析鸟式一次名称意义可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的最优解使目标函数取得

或

的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的

或

问题(x，y)集合最大杨值最小嫂值最大值最小吐值[探究]1.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于公直线Ax＋By＋C＝0的两织侧的群充要瓦条件隆是什些么？提示像：(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<寸0.2.可行续解与拨最优躺解有碗何关暗系？枣最优奔解是作否唯链一？提示费：最连优解初必定而是可烂行解四，但锻可行新解不宾一定修是最滴优解在，最倍优解艘不一截定唯途一．[自测·牛刀税小试]答案株：C1．(教材蔑习题币改编)不等狗式x－2y＋6<猛0表示踪蝶的区增域在语直线x－2y＋6＝0的()A．右陕上方B．右鲜下方C．左肿上方D．左默下方解析截：画诸出图客形如隙图所晚示，可知僵该区勿域在充直线x－2y＋6＝0的左缎上方玻．2．(教材葛习题育改编)不等狱式(x－2y＋1)森(x＋y－3)币≤0在直牺角坐标劫平面充内表顽示的斥区域(用阴丝式影部遍分表软示)，应显是下孕列图黑形中聪的()答案理：C3．如驼图所孤示，菠阴影府部分惊表示丘的区裁域可搬用二遍元一厦次不嘉等式舍组表亦示的败是()4．下绳列各口点中漆，与袜点(1虫,2丛)位于比直线x＋y－1＝0的同俊一侧的是()A．(0始,0灯)B．(－1,纲1)C．(－1,欣3)屈D．(2，－3)解析防：当x＝1，y＝2时，x＋y－1＝1＋2－1＝2>链0，当x＝－1，y＝3时，x＋y－1＝－1＋3－1＝1>翼0，故(－1,须3)与(1积,2衬)位于累直线x＋y－1＝0的同鸽侧．答案葬：CA．3樱B．1幕C．－5椅D．－6答案炊：C二元污一次和不等苏式(组)表示妄的平劣面区塘域[答案]B二元转一次镰不等燥式表惨示的止平面秧区域联的画灯法在平瓣面直治角坐孩标系昨中，京设有化直线Ax＋By＋C＝0(B不为0)及点P(x0，y0)，则(1们)若B>0，Ax0＋By0＋C>0，则露点P在直思线的破上方交，此膊时不孟等式Ax＋By＋C>0表示爹直线Ax＋By＋C＝0的上窑方的弟区域秤．(2块)若B>0，Ax0＋By0＋C<0，则论点P在直鼻线的骂下方罩，此确时不疯等式Ax＋By＋C<0表示骄直线Ax＋By＋C＝0的下荷方的测区域忆．(注：纠若B为负弃，则户可先锐将其羽变为依正)(3吗)若是砍二元籍一次托不等贡式组而，则答其平沈面区接域是漫所有姜平面茂区域铜的公糊共部随分．A．1雾B．－3C．1或－3沈D．0解析吓：其密中平吴面区牵域kx－y＋2≥幻玉0是含骆有坐标化原点艇的半吗平面轧．直掩线kx－y＋2＝0又过剩定点(0塞,2决)，这虎样就苏可以慌根据浅平面贼区域的夫面积凭为4，确火定一鼓个封织闭的差区域红，作出核平面酷区域艳即可隐求解跳．平致面区铺域如替图所示梢，根龟据区膨域面笛积为4，得A(2顷,4啦)，代勿入直炕线方仙程，您得k＝1.答案蚊：A利用输线性攻规划藏求最脸值保持叙例题原条件运不变纸，如道何解墙决下骡列问血题．(2医)设z＝x2＋y2，求z的取她值范园围．——油——休—落—悟——炊——直——罢——虹——护—目标雕函数蒜最值雷问题毯分析(1泥)线性餐目标攀函数材的最鬼大(小)值一尸般在脉可行炊域的付顶点健处取舍得，仿也可派能在散边界渔处取覆得．(2裕)求线经性目袍标函幕数的位最优散解，柄要注馋意分躺析线庄性目缎标函鬼数所该表示拥的几斧何意给义——在y轴上裂的截思距或嫂其相洽反数赌．解析序：作年出x，y满足个的可洒行域烘，如聪图中内阴影肉部分叹所示涝，则z在点A处取际得最厌大值姓，在太点C处取毕得最天小值役，又kBC＝－1，kAB＝1，∴浇－1≤－a≤1，即婚－1≤a≤1域.答案闸：[－1,艺1]线性芝规划忧的实删际应肢用[例3](2娘01誉2·江西裙高考)某农服户计惨划种姑植黄蔬瓜和客韭菜聋，种耽植面搅积不掉超过50亩，蛋投入花资金岁不超治过54万元絮，假皱设种搞植黄睡瓜和夕韭菜沾的产崖量、析成本驼和售侄价如篇下表()年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使蠢一年倾的种岂植总访利润(总利祖润＝窃总销阻售收容入－碰总种区植成徒本)最大诞，那烦么黄织瓜和湾韭菜汗的种秆植面生积(单位凤：亩)分别毙为()A．50落,0B．30下,2环0孩C．20灶,3央0预D．0,白50[答案]B解答筹线性品规划爹实际铸问题将的一师般步朱骤(1博)根据悟题意识设出犬变量积，找干出约袍束条显件和倘目标祖函数苍；(2守)准确冈作出冠可行量域，斜求出变最优狮解；(3麦)将求谁解出占来的投结论即反馈梁到实幅际问蔬题当旺中，罚设计期最佳构方案愧．3．A，B两种姨规格树的产椅品需绵要在丛甲、跑乙两广台机肚器上窜各自梦加工一泼道工步序才微能成焦为成境品．院已知A产品漫需要守在甲列机器叫上加提工3小时梢，在铅乙机祸器上妹加工1小时森；B产品折需要吴在甲彻机器肉上加芳工1小时航，在裤乙机画器上促加工3小时低．在额一个岔工作融日内草，甲描机器请至多森只能散使用11小时匆，乙觉机器毫至多愧只能朴使用9小时娇．A产品垒每件灿利润30杠0元，B产品晨每件乖利润40昼0元，危则这拉两台通机器滋在一苦个工腰作日装内创者造的醋最大捕利润床是__采__魄__印__元．答案线：1塞70圣0(1炎)直线把定界托，即下若不瘦等式肾不含戚等号瞧，则甜应把牢直线翁画成般虚线粗；若晓不等竖式含段有等晌号，星把直扯线画肉成实疏线．(2思)特殊涨点定诉域，连即在件直线Ax＋By＋C＝0的某触一侧豆取一守个特列殊点(x0，y0)作为缺测试蒙点代元入不预等式肌检验授，若燃满足迎不等耀式，助则表图示的仓就是您包括带该点寒的这魄一侧摊，否膛则就慨表示便直线忧的另龄一侧施．特搁别地猎，当C≠0时，湖常把过原点挠作为舍测试变点；垂当C＝0时，村常选辉点(1稳,0页)或者(0辅,1顿)作为细测试傍点．(1割)在平洲面直学角坐抗标系洲内作稿出可信行域掀；(2谋)考虑搅目标卫函数晓的几毒何意异义，见将目固标函乳数进判行变序形；(3照)在可报行域叨内平衬行移坊动目索标函进数变哪形后总的直冰线，姥从而久确定甲最优届解；(4阔)将最组优解左代入丸目标尼函数光即可礼求出盘最大鞭值或爽最小暑值．创新懂交汇——与线查性规军划有注关的紧交汇包问题1．线盯性规唇划问肤题常消与指消数函俊数、多对数矿函数配、向闹量以肃及解休析几生何的貌相关渠知识兰交汇堪命题裙．2．解渔决此钓类问伪题的踪蝶思维异精髓谅是“数形狗结合”，作缠图要内精确错，图叛上操书作要疲规范弯．[答案][e沈,7隐]1．本舒题具罢有以陵下创应新点(1妥)命题肚角度爽新颖龟，本叶题不粘是直齿接给贫出线墓性约夸束条个件和肤目标寺函数研求最福值，戚因而吩需要便将所足给不萝等式启组进兼行合膀理转得化后委，约卧束条狐件才废明朗怒．(2下)考查旨知识悬点新俘颖，浊本题纵将不占等式蹈，对否数、距指数死函数烘，导胸数以屈及曲纱线的袋切线卫问题馅相交椅汇，傅运算姥求解研能力顽、运斥用数网形结查合、描分类幻玉讨论泰的思彩想方技法分渡析与犯解决劳问题子的能全力要免求较闹高．答案泥：BA．(1不,3阁]纲B．[2耗,3备]茄C．(1普,2芬]蛮D．[3，＋∞)解析紧：平谣面区对域D如图睛所示老．要使缸指数灾函数y＝ax的图经象上冶存在唯区域D上的吼点，所以1＜a≤3握.答案怒：A答案尘：2“演惊练知辣能检扶测”胁见雷“限猎时集醉训（业三十蔑七）匹”A．4障B．1芦C．5切D．无伙穷大答案况：B答案划：BA．4剩B．3翅C．2当D．1答案稻：A[备考抽方向幸要明帆了]1.以选艺择题妻或填心空题丸的形纹式考京查基绸本不屠等式的杀应用剖，如蚁比较较大小财、求偿最值像等．如20谎12年福傲建T5，湖拒南T8等．2.在实缘瑞际问蛙题中邪和函剧数建剖模综法合起夺来，嫁考查基止本不叼等式软在求恼函数转最值回中的启应用妥，如20龄12年江和苏T1炕7等.1.了解纹基本粉不等式基的证鼠明过程煌．2.会用骂基本年不等式商解决毒简单的翻最大(小)值问谅题.怎么考考什么[归纳·知识场整合](1让)基本旁不等筛式成垮立的升条件宁：.(2它)等号羊成立执的条绒件：嚷当且息仅当时取址等号蒜．a>0，b>0a＝b[探究]1.如何样理解叮基本役不等懒式中“当且泊仅当”的含度义？2．几雅个重疏要的气不等袄式2ab2≤两个喊正实桥数的卫算术平均繁数不厌小于获它的桌几何摔平均怎数4．利浇用基芽本不春等式句求最锄值问幼题已知x>0，y>0，则x＝yx＝y[探究]2.当利梢用基吵本不火等式创求最项大(小)值时钞，等史号取励不到然时，席如何扭处理视？[自测·牛刀蚀小试]答案帜：A1．已光知m>0，n>0，且mn＝81，则m＋n的最宅小值处为()A．18B．36C．81丢D．24她3答案拒：C答案票：D答案贷：(－∞，－2]∪[2，＋∞)答案艳：4利用榆基本僚不等索式证孤明不护等式利用义基本轰不等获式证触明不践等式虑的方春法技挡巧利用阿基本买不等的式证瓦明不急等式条是综量合法集证明仅不等衬式的岭一种灶情况内，要厨从整馋体上惠把握背运用瓣基本咸不等龄式，悼对不毕满足灿使用妻基本触不等锅式条挥件的占可通贵过“变形”来转质换，聪常见何的变忘形技胁巧有报：拆屿项、南并项严，也窑可乘牺上一茎个数贵或加友上一龟个数未，“1”的代爽换法逼等．利用盛基本马不等煤式求咳最值[例2](1蛮)(2野01神2·浙江养高考)若正聪数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最塘小值刷是()——卧——栋—羽—软——炉——稍——党——蝇——和—利用耀基本草不等嗽式求券最值日的条派件利用郊基本示不等乐式求映最值听时，斑要注句意其盯必须炮满足前的三少个条信件：(1算)一正金、二低定、耽三相帜等．“一正”就是道各项溪必须望为正躲数；(2垂)“二定”就是彩要求竭和的科最小槽值，全必须符把构铺成和厚的二严项之害积转僵化成映定值济；要灭求积葱的最廉大值允，则牵必须菜把构祥成积葬的因够式的炸和转菜化成腐定值乓；(3席)“三相彻等”是利凳用基安本不絮等式神求最律值时驰，必躺须验驾证等依号成许立的但条件搂，若貌不能雾取等漆号则抽这个凑定值献就不怪是所士求的朗最值促，这忙也是这最容见易发级生错秀误的渴地方打．(2徐)若正怒数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取繁值范茅围．利用损基本溉不等灾式解上决实司际问越题(1拦)将该透厂家20识14年该的产品好的利毫润y万元协表示佛为年和促销淹费用t万元撤的函惩数；(2躺)该厂胡家20张14年的耗年促众销费处用投骆入多障少万登元时著，厂劝家利佣润最湖大？解实页际应脊用题咬时应逆注意互的问闸题(1构)设变嚼量时却一般娇要把细求最旋大值足或最芝小值阳的变国量定驾义为油函数捐；(2浊)根据樱实际郊问题尚抽象色出函拳数的宋解析掀式后杰，只写需再刮利用硬基本思不等约式求愿得函抓数的圆最值怎；(3启)在求臣函数辟的最漂值时误，一巾定要健在定献义域(使实恭际问使题有疲意义呈的自第变量谨的取学值范市围)内求脸．(4倦)有些门实际肺问题底中，浪要求乏最值锤的量蚀需要商用几倡个变棉量表作示，址同时箱这几拾个变输量满定足某亦个关劣系式宜，这笋时问潜题就灶变成李了一盲个条谈件最城值，欲可用层求条柜件最懂值的饲方法恢求最鞭值．(1罚)使用退基本估不等赌式求加最值师，其求失误片的真荣正原焰因是嫌对其叹存在倒前提“一正袜、二团定、属三相序等”的忽采视．筝要利缠用基推本不基等式渠求最渗值，固这三船个条拦件缺参一不享可．(2激)在运所用基悄本不罗等式丈时，姿要特良别注铃意“拆”“拼”“凑”等技态巧，防使其幼满足智基本绢不等斑式中“正”“定”“等”的条距件．(3苏)连续庆使用蛛公式表时取辉等号竟的条系件很齐严格政，要彩求同土时满而足任摇何一婶次的运字母盟取值备存在垃且一妻致.创新达交汇——基本恳不等模式在穷其他屡数学项知识治中的脱应用1．考窜题多伟以函职数、蕉方程闭、立誓体几侧何、气解析宗几何佛、数温列等植知识赖为载西体考同查基根本不嫩等式流求最不值问筋题．2．解钟决此表类问蚀题的敞关键晴是正修确利赵用条涌件转浩换成唉能利婆用基超本不彩等式皇求解劳的形毯式，漏同时衰要注消意基膝本不六等式啄的使垃用条堡件．[答案]B1．本帜题具锐有以芽下创加新点(1荣)本题正是对乖数函嚷数的主图象瘦问题养，通榜过分咏析、愁转化香为基荣本不温等式航求最或值问旬题．(2掩)本题干将指命数、徐对数冻函数汪的性闪质与图基本咳不等帽式相崭结合胳，考乞查了块考生墓分析村问题蔬、解融决问戚题的撑能力迁．2．解痒决本老题的共关键介有以托下几乳点(1价)正确还求出A、B、C、D四点住的坐获标；(2筹)正确槽理解a，b的几狂何意践义，宪并能板正确违用A、C、B、D的坐富标表宰示；A．0B．1C．2柔D．4答案朝：D答案勤：C“演减练知秩能检钩测”励见湾“限扣时集岛训（叶三十鞋八）搭”答案纵：184．某拖房地拆产开棍发公循司计浆划在万一楼骆区内建造平一个关长方顾形公校园AB挤CD，公湖园由长秆方形A1B1C1D1的休寺闲区肆和环疤公园人宏行道(阴影每部分)组成盐．已覆知休握闲区A1B1C1D1的面本积为4施00骡0平方叨米，育人行叶道的朗宽分么别为4米和10米(如图旱所示)．(2跨)要使橡公园缓所占客面积竞最小婚，则怕休闲型区A1B1C1D1的长愤和宽战该如平何设杀计？[备考宫方向份要明疏了]1.合情歪推理沈的考浇查常龙单独命题昏，以侦选择振题、辽填空题的卡形式谅考查声，如20刊12年江羽西T6，陕骨西T1先1，湖睡南T1敏6等．2.对演身绎推伙理的