高观点下的初等数学

小学数学教学数学思想方法的渗透1德国数学家菲利克斯.克莱因在《高观点下的初等数学》中指出:“基础数学的教师应该站在更高的视角来审视、理解初等数学问题,只有观点高了,事物才能显得更明了更简单;一个称职的教师应当掌握或了解数学的各种概念、思想方法及其发展与完善的过程及数学教育演化的经过。”2

数学家张景中先生在《感受小学数学思想的力量》中指出:“小学生学的数学很初等,很简单。但尽管简单,里面却蕴含了一些深刻的数学思想。”简言之,我们需要站在更高的视角来审视小学教材,才能把其中的内容及其背后的思想看清,才能进一步完善自身的数学思想方法体系。3新课标指出总体目标:“通过义务教育阶段的教学、学习,学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要的数学知识(包括数学事实、数学生活经验)以及基本数学思想方法和必要的应用技能……”数学思想方法是新课标要求的教学目标之一。4首先,要全面学习掌握各种初等数学思想方法的本体知识。例如,数学思想方法有哪些?各种思想方法的具体涵义是什么?各种思想方法是如何形成与发展的?只有清晰全面掌握初等数学思想方法的本体知识,才能更好地发现和理解小学教材中哪些素材蕴藏着数学思想方法,更好选择“渗透点”。5其次,深入钻研全套教材,系统把握教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素,一是要明确哪些知识点中可进行什么数学思想方法的渗透;二是这种思想方法可在哪些知识点中渗透;三是怎么渗透,渗透到什么程度,应有一个总体设计,提出不同阶段的具体教学要求。这样才能整理出比较清晰的数学思想教学的序列,从而形成自身数学思想方法系统。6

最后,坚持把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目标中。数学思想方法的形成也必须经过循序渐进的过程,经过反复训练,才能使学生真正领会到。教师要更新观念,从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识,坚持把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目的,坚持把数学思想方法教学的要求融入备课环节。7一、符号化思想符号思想是指用符号以及符号组成的数学语言来表达数学的概念、运算和命题的数学思想。包括字母、数字、图形和各种特定的符号来描述数学内容。符号思想是导致数学脱离其实际内容形成抽象化形式系统的关键思想。

当远古时代的人类采用小石头,小木棍或打绳结来表示打猎成果的只数时,就意味着这种抽象的产生;而当他们第一次试图使用记号将猎获物的只数记录下来时,就意味着符号思想的出现。8小学数学中存在着大量的可以体现符号化思想的数学内容。如:数学中各种数量关系,量的变化及量与量之间进行推导和演算,都是用小小的字母表示数,以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式等。当学生认识到可以将两个加数的位置交换和相等之后,学生用自己喜欢的方式将这个发现表达出来,于是学生就会想到用来表示加法交换律。9五年级，学生开始正式学习用字母表示数，从研究一个具体特定的数到用字母表示一般的数，引导他们经历用字母表示数的抽象与概括过程，初步学习并理解用含有字母的式子表示数量关系，体会符号化的简洁与准确，不仅为列方程解决实际问题作好准备，更为进入中学后学习代数等知识打好基础。10二、函数思想1.函数思想函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态的思想方法，函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。函数的核心就是“把握并刻画变化中的不变，其中变化的是‘过程’，不变的是‘规律’(关系)”。小学不要求形式化的认识函数，强调函数思想的渗透。112、教材中函数思想的体现（1）探索规律第一学段要求:发现给定的事物(事物、图形、简单的数列)中隐含的简单规律。第二学段要求:探求给定的事物中隐含的简单规律或变化趋势，同时还要求探索具体问题中的数量关系和变化规律”等等。12（2）对运算规律的探索随着数域的扩大，学习了小数乘法的计算，学生第一次遇到了“越乘越小”的情况，学生对乘法运算中的规律有了一个新的认识，即“一个因数不变时，另一个因数大于1时，积大于这个因数;另一个因数小于1，积小于这个因数;另一个数越接近1，积就越接近这个因数”。13小学阶段学生在探索规律的过程中可以感受到多种变化：正变化和逆变化1、当一个变量增加时，另一个变量也类似地增加(或减少)。2、当一个变量增加时，另一个变量也类似的比率增加(或减少)。如，圆的半径变化引起周长变化的规律、原数变化引起其倒数变化的规律。3、当一个变量均匀增加时，另一个变量以增加的比率增加。如，正方形的边长变化引起面积变化的规律，圆的半径变化引起面积变化的规律。14（3）对“关系”的体验比较典型的是正方形、圆和正方体的相关内容。学生感受到同样是周长20厘米，正方形是唯一确定的，长方形却是多种多样的，主要原因是正方形仅由边长一个因素决定，而长方形要由长、宽两个因素决定。由两个数确定一个数，可以看成是一个二元函数。从三年级学习长、正方形的周长公式开始，学生先后又学习了长、正方形面积公式;平行四边形、三角形、梯形面积公式;长、正方体表面积和体积公式;圆的面积周长公式;圆柱的表面积体积公式;圆锥的体积公式;另外，还掌握了其它一些三个量关系:速度、时间、路程;单价、数量、总价等。这些给了学生很多对多元函数自变量与因变量之间“关系”的感受。153.表格起语言函数灭反映胡的是刻变量唯之间配的关舌系，搁所以幕必须话借助梢数字根以外首的符谷号来倚表示店。表格场的方铺法在瓣小学护数学劳教材爪中的证地位阿是十窑分突秋出的促。首蛇先，宰表格法作为奏学生混发现刑规律此的重率要工芹具出拳现在瓶运算金规律控探索战、公贷式的相推导窜、图由形的膊变化哨规律羡的探都索等龟内容探中。16徐利右治先崖生认锋为，戴所谓耽数学惑模型四，是呀指针染对或歼参照跃某种哪事物罗的特蝇征或班数量节间的汇相依远关系仓，采赛用形峰式化覆的数盛学语算言，名概括狐地或孕近似在地表访述出截来的沾一种章数学炒结构阔。具体加来说己，数予学模醒型就吃是为雀了某谅种目经的，敬用字揪母、粘数字柱及其唱他数能学符赌号建胡立起寄来的润等式寺或不蚀等式关以及做图表遮、图反像、俘框图吹等描筝述客痕观事榆物的锦特征披及其从内在菠联系伸的数超学结哲构表俯达式拣。三、宣数学纯模型挑思想17小学册阶段挠，数叨学模魔型是游数学拒学习多内容熊中的虫重要嘉部分诞。小唤学生刑学习吐数学禾的过没程，回实际筒上就尸是对睬一系肝列数茶学模衰型的粗建立调、理彩解、距运用柔的过消程。宋从现刚实世酿界中五抽象斩出数(或形)，进签而探赛讨数(或形)之间御的关评系，驴归纳胞概括那出比酸较稳芬定和孤有用好的数季量关济系，夹用抽其象的译形式(数、满式、澡形等)表达沉出来继。这依个过碑程中翻所建伐立的育数、汤形、欢数数危关系嗽、形薯形关声系、练数形朗关系蛾等均继是数疾学模倘型的循具体咽表现脚形式掏，而煮这些较数学茧模型飘又是逼构建抱出新券的数弦学模赌型的够基础演，使皆数学猜知识贿的深栋度和要广度坝不断缝丰富桶。上智述过旅程可马以概扑括为玻“问愧题情览境一控一建吊立模瞧型一显一解喜释、父应用恩与拓殿展”朝，人宜教版仆小学供数学北教材棚自始葛至终物采用那这种比叙述逮模式袭渗透丑数学屈模型投思想孟。18学习赠数学寺首先疼从数拾开始求，而却小学券生的棕数感启尚未滑形成降或比咬较肤帆浅，纽奉“数凶”是温小学孕生学动习的菜第一受个数灶学模垮型，慕接下刻来才评学习叉式(加法狗和减舌法)，再罪后来罚学习勉图形岔、公脂式、烈数量驼关系妙等，隆逐步皂深入气。教知材从肯一年习级到渣六年使级在减“数半与代知数”绵、“粥空间魔与图伸形”典、“咽概率腹与统此计”恰三个敬领域奋交互务出现竿、由贸浅入嗓深地逝渗透扰着数占学建暑模思讽想。英其编午排特逢点是:从建绣立简占单模颠型开执始，甜引出挖新的撞模型株，用宫已有张模型仅建立侨的稍梨复杂竞的模挨型，呜螺旋社上升香。下演面以椒“数芬与代主数”叉为例家加以柜说明锅。19“数与余代数兴”的隐主要卡内容酒有:数的神认识匪，数魄的表岛示，膨数的场大小如，数离的运氏算，诱数量岁的估销计;计量舟单位构与进摘率;字母济表示皱数，姓运算累律，策方程慰等。芳课标丘的要士求是压，通俊过“医数与该代数尽”的敞教学油，帮榴助学己生建界立数辣感和动符号鱼意识洞，发汇展运驰算能求力，历树立霸数学往模型耐思想谎。20教材纳是按扯以下事几条织线索艳编排名渗透塑数学之建立孤思想丑的(以下据括号悲中的穿说明会为数损学模胶型):1.自然蔬数的屡认识(建立婚自然迅数的颤概念)一自摆然数会的组柏成(认识罪数与拾数的脸关系)一加制减法答运算(数数挠运算)一比取较大摩小(数的访顺序帮关系)一乘尺除法炭运算(数数备运算)一四右则运况算(数数筝运算)一运恐算律(关系偷式)。2.自然仙数的堤除法(数数歼运算)一分降数的浑认识(建立早分数娇的概内念)一比悬较大卵小(数数中关系)一比案一与求比例(新的梳概念)一分杰数的悔通分(比的乔性质疾的应蚂用)一分搁数的才运算(自然伞数运收算关朗系的重推广)。213.计量庆单位疑的进食率关绍系(进率蛋关系)一小勒数的视认识(建立胸小数今的概纠念)一比员较大无小(数数是关系)一小润数的灶运算(自然固数运拔算关根系的梯推广)一百吊分数心的认吼识(建立唤百分破数的逃概念)一分剩数、浓小数尚、百密分数劣的互劣化(数数白关系)4.文字音归纳驳的运店算律(运算括律的决含义)一字迫母表糕示数(代数揪模型)一运列算律苏的字尚母表菊达式(代数孟式)一等棚量关间系(等量厨关系殖模型)一方剂程的有认识(建立谜方程嚼概念)一解刊方程(运算喷方法)一正止、反雁比例(比例正与方提程建夜立新习的模慨型)22四、池数形荐结合至思想1、数吓形结怒合思咬想的予涵义届。数形倡结合撤就是方根据市数量筋与图钓形之左间的呜关系,借助峡“形城”的撑直观正来表年达数坐量关抛系,运用改“数漫”来光刻画底、研谎究形,把抽畏象的根数学刻语言袄、数挑量关恰系与食直观颈的几信何图档形、坐位置陶关系制结合粉起来亚考虑,通过哨“以保形助敌数”磁或“涌以数骄解形虾”使巴抽象爆思维战与形曲象思爸维结荒合起妇来,将复脑杂问服题简膜单化,抽象惠问题堵具体忆化,达到坦解决绿问题团的目爹的。根据姓知识蹦的特鱼点和舱小学竟生的组思维聪发展浴水平,我们握主要串通过酱线段忠图、驶长方缺形面席积图待、树笛形图倚等,把一期定的负数量朗关系箭形象闯直观户地表识达出负来,帮助芒学生奏从图进形的液直观汪特征谋中发层现数演量之垫间存虎在的特联系,以形息助数认来化倍隐为付显、限化难炎为易络。232、数孟形结斥合思限想在熟小学套数学鸽中的伤体现攻。我们拴常用姐画线沟段图踪蝶的方集法来悬解答笔应用练题,这是掩用图悄形来与代替锁数量困关系孝的一侦种方差法。行我们封引导欢学生郊画线霸段图耻帮助荒理解听题意,研究娃数量焰之间啦的关呢系。通过伏正比讲例图杠像的停教学,让学复生体肠会正地比例熄关系吼的图锯像是特一条崇直线,同时,利用贵图像辟根据忍其中候一个勺量的萝值估通计另路一个唤量的裹值,既将剥抽象位的数法学概凑念、鸭数量希关系嚼直观饮化和弦形象镇化,又借村助形搅象的真图像裹来理谈解抽台象的舅正比贵例关市系问摘题,努力效使学避生抽经象思农维和污形象赔思维璃的发链展结奶合起寺来我辅们又章可以齐通过君代数白方法票来研扯究几毫何图狱形的度周长蒙、面丛积、棵体积俭等,这些黄都体删现了沿数形崭结合追的思庸想。24五、贼极限拼思想1、极需限思粗想极限羊是用售以描谅述变喝量在谅一定筹的变悦化过春程中摊的终搞极状充态的宏概念裁。极登限思灭想为炸建立酬微积西分学埋提供疼了严总格的怖理论哥基础捐，为组数学扬的发潮展提魄供了岩有力辅的思本想武云器。252、教退材中铃的极柜限思酸想：说不形完的护数兵：在歉“自劝然数拣”“混奇数详”“夺偶数蛛”这纳些概燥念教其学时指，教套师可柜让学誓生体蚂会自瞎然数博是数刘不完愁的，哨奇数胞、偶是数的天个数极有无密限多妇个，负一个临数的宜倍数朵个数婚是无梁限的止；在但循环封小数村这一楚部分聚内容棍中，锈循环伙节部伪分的枝数字步不断抵重复意出现州，也危是写党不完酬的，间是无析限的唉；学习东了小扁数的向性质翼、分沉数的亡基本层性质侦及比赖的基撒本性副质等胆内容详后，炉让学崖生知述道了扔：和0.每5相等回的小叙数有迁无数锻个，分大于25小于45的分驳数有茎无数依个等冠等。倦一系稼列的惭数概惯念教或学中铜，我毕们有旅必要搁让学伤生初寻步感有知无恰限。想不席尽的范长：暗小学匀数学误的很桂多知付识点孟具有树无限太性如俗直线幻玉、射供线、垃角的轻边、匠平行普线的奏长度券等等需它们将都是北可以呢无限盟延伸无的。钞这些坐概念催在现取实生班活中千并不搭是真讯实存娇在的贿，要存让学蓝生看禁到它远们可垮以“蝇无限供延长晶”，夹让学笛生在净有限姓的空戒间里悲去感性知“揉无限池”的然含义养，成夫了教系学中查的一填个难耗点。26画不飘完的授线几何哑图形校抽象烤，无疤限思括想更澡抽象飞。如拦何让忧学生曾感知掩无限砍，体君验无瓶限，徒理解遥无限阵？实达践证滤明：贼让学摄生动洽手按终要求智画一牧画，莫学生尿的思恭维有挤了实腰践操局作的嘉支撑筑、凭遍借，猴能通壁过想宾象得情以接荣受。猴并在少画不鱼完的考矛盾寸冲突纷中进例一步伸感悟等它的皮无限茫思想中。如在述学习《圆的靠认识》这课摘，教坝师为话了让接学生疯体验啦圆的喇半径腔、直锣径有铲无数炮条，说在学烧生知搂道了丛半径熄、直纯径的肝含义拆后，督就组虽织学准生开敌展画玻半径己、画冤直径鞠比赛侦。同悦学们焰边画钩边思跑考，……接着腐在学插生交弄流条遭数的既过程册中，晚通过流思维赖的碰郊撞，随得出算“画断不完惑”的踪蝶结论躺。让标学生相在想缺象线六越来壤越细耀时，突条数晴越来耕越多泄，多辩到数才不清厕，很济好地样渗透朴了“断极限航”思泛想。27六、求集合纷思想1、集标合思弟想的矮简单捐介绍集合斥思想眯创建东者是端德国她数学颠家G·康托碑尔于18农74年提质出的筝，我哈国在19抱78年以忙后编劫的小条学数趣学教系材中持也渗戴透了超集合夏思想漫。在稍数学析中，酒集合角是一梯个原魂始的顷概念怖，这客如同土几何赔学中脉的“狱点”苏、“拢线”妹一样构，不粗能用加别的修概念弓加以蛮定义趣。集合笛一般摧的描郑述是园：在哑一定录范围概内的扔个体烛事物墙的全割体，搏当将附它们跃看作烧一个惩整体扇时，伙我们域把这途个整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