【教学】《函数的零点》参考教学

函数的零点问题提出请你先想一个问题．已知二次函数y=x2－x－6，试问x取哪些值时，y=0?求使y=0的x值，也就是求二次方程x2－x－6=0的所有根．解此方程得x1=－2，x2=3．

这就是说，当x=－2或x=3时，这个函数的函数值y=0．

画出这个函数的简图，从图象上可以看出，它与x轴相交于两点(－2，0)、(3，0)．

问题提出这两点把x轴分成三个区间(－∞，－2)、(－2，3)、(3，+∞)．

当x∈(－∞，－2)时，y>0；当x∈(－2，3)时，y<0；当x∈(3，+∞)时，y>0．二次方程x2－x－6=0的根－2，3常称作函数y=x2－x－6的零点．在坐标系中表示图象与x轴的公共点是(－2，0)、(3，0)．问题提出知识梳理零点的定义：一般地，如果函数y=f(x)在实数α处的值等于0，即f(α)=0，则α叫做这个函数的零点．在坐标系中表示图象与x轴的公共点是(α，0)．我们知道，对于二次函数y=ax2+bx+c：当△=b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，这时说二次函数y=ax2+bx+c有两个零点；当△=b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，这时说二次函数y=ax2+bx+c有一个二重的零点或说有二阶零点；知识梳理当△=b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0没有实数根，这时说二次函数y=ax2+bx+c没有零点；知识梳理考虑函数是否有零点是研究函数性质和精确地画出函数图象的重要一步．例如求出二次函数的零点及其图象的顶点坐标，就能确定二次函数的一些主要性质，并能粗略地画出函数的简图．

知识梳理另外，我们还能从二次函数的图象看到二次函数零点的性质：（1）当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号．如上例，函数y=x2－x－6的图象在零点－2的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点－2时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变正．知识梳理（2）两个零点把x轴分成三个区间：

(－∞，－2)、(－2，3)、(3，+∞)，在每个区间上，所有函数值保持同号．知识梳理例1．求函数y=x3－2x2－x+2的零点，并画出它的图象．解：因为x3－2x2－x+2=x2(x－2)－(x－2)=(x－2)(x+1)(x－1)．

所以函数的零点为－1，1，2．3个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－1)、(－1，1)、(1，2)、(2，+∞)．在这四个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：知识梳理x…-1.5-1-0.500.511.522.5…y…-4.3801.8821.130-0.6302.63…在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示．知识梳理例2．求函数f(x)=x3－x的零点，并画出它的图象．

解：x3－x=x(x+1)(x－1)，令f(x)=0，即x(x+1)(x－1)=0，解得x1=0，x2=－1，x3=1，所以函数y=f(x)的零点有三个，为－1，0，1，这三个点把x轴分成四个区间，(－∞，－1)、(－1，0)、(0，1)、(1，+∞)，在这四个区间中取一些x的值，列出函数的对应值表：知识梳理x…-1.5-1-0.500.511.5…y…-1.87500.3750-0.37501.875…在直角坐标系中描点作图得到图象．f(x)=x3－x知识梳理例3．若方程7x2－(k+13)x+k2－k－2=0的两实根分别在区间(0，1)，(1，2)内，则（）（A）（B）k<3或k>4（C）－1<k<1或3<k<4（D）－2<k<－1或3<k<4解：函数f(x)=7x2－(k+13)x+k2－k－2的图象是开口向上的抛物线，两个零点分别在(0，1)，(1，2)内，所以由图象可知，函数y=f(x)满足知识梳理

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