2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛内蒙古赛区初赛试卷（解析版）

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛内蒙古赛区初赛试卷（2024年5月19日，8:30~9:50）考生注意：1、本试卷共二个大题（11个小题），全卷满分120分.2、用黑色的钢笔或签字笔作答.3、解题书写不要超出装订线.4、不能使用计算器.一、填空题（本题满分64分，每小题8分）本题共有8小题，要求直接将答案写在横线上.1.集合的全部非空子集的元素和等于_________.【答案】272【解析】【分析】分析各元素出现的次数，进而可得结果.【详解】集合的子集有以下情形；含有元素1的子集有个；含有元素2的子集有个；含有元素3的子集有个；含有元素5的子集有个；含有元素6的子集有个，所有子集的元素的和为．故答案为：272.2.设，，是实数，满足，，，的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】根据已知条件，求出，，根据韦达定理确定和是关于的方程：的两个根，求出，又，构造函数，，对函数求导，利用导数判断函数的单调性，求出函数值域即可求解.【详解】因为，所以，又，所以，即，所以，即，，又，所以由韦达定理得和是关于的方程：的两个根，所以，整理有：，解得，又，所以，所以，，令，，，，令，解得或，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增；当时，，，，所以，，所以的取值范围为.故答案为：.3.已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为2，过点A的一个平面截此棱柱，与侧棱，分别交于点，，若为直角三角形，则面积的最大值为________.【答案】【解析】【分析】设，，则由直角三角形可得，从而可得面积表达式，利用函数的单调性可求最大值.【详解】如图，设，不妨设，则，即，整理得：，若，显然不成立，可得，又因为，即，解得.设的面积为S，则，令，因为函数在上单调递减，在上单调递增，且，可知最大值是，所以.故答案为：.4.已知在中，，，则线段的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】结合外接圆可知：点在优弧（不包括端点）上，当线段过外接圆的圆心时，线段取到最大值，结合垂径定理分析求解.【详解】由题意可知：的外接圆半径，则点在优弧（不包括端点）上，可知当线段过外接圆的圆心时，线段取到最大值，取的中点，连接，则，可得，所以线段的最大值为.故答案为：.5.从1，2，，11中任取三个不同的数，则这三个数可以构成等差数列的概率为____________.【答案】【解析】【分析】根据组合数求所有的可能性，再求符合条件的可能，结合古典概型运算求解.【详解】从1，2，，11中任取三个不同的数，则不同的组合有共有种，能构成等差数列不同的组合的有种，所以这三个数可以构成等差数列的概率为.故答案为：.6.是原点，椭圆，直线过且与椭圆交于A，两点，则面积的最大值为_________.【答案】【解析】【分析】设直线，联立方程，利用韦达定理可得，换元，利用对勾函数性质分析求解.【详解】由题意可知：直线与椭圆必相交，且斜率不为0，设直线，联立方程，消去x得，因为直线所过定点在椭圆内部，则直线与椭圆必有两交点，则，可得，则面积，令，则，可得，因为在内单调递增，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最大值为.故答案为：.7.数列中，，且对任意，，求的整数部分是__________.【答案】9【解析】【分析】由题意可证得数列是递增数列，由，结合裂项相消法求出，再求出，即可得出答案.【详解】由，可得：，所以数列是递增数列，又，所以，则，对于正整数，可得：，所以，所以，，，……，，所以，，因为数列是递增数列，所以，，所以，故的整数部分是.故答案为：.8.已知关于的方程的三个复数根分别为，，，则的值为_____________.【答案】【解析】【分析】根据题意，得到，，，各式相乘，准确运算，即可求解.【详解】因为关于的方程的三个复数根分别为，，，可得，且，由①②可得，因为，可得，即同理可得，，各式相乘得.故答案为：.二、解答题（本题满分56分）9.已知双曲线，直线与双曲线的左右支分别相交于，两点，双曲线在，两点处的切线相交于点，求面积的最小值.【答案】9【解析】【分析】联立只需与双曲线方程，结合已知得，由韦达定理、弦长公式得，结合切点弦的有关结论得出点的横纵坐标为，进一步，从而可表示出的面积，结合导数即可求解.【详解】设Ax1,y1,整理可得，由于与双曲线左右两支相交于两点,于是有，由，可得，因此设Px0,y0,即为，故可得,,故,令，代入上式有,令,设,则,当时，；当时，.故最大值为,因此三角形面积的最小值为.10.已知函数.（1）当时，讨论在上的极值.（2）若是的极小值点，求的取值范围.【答案】（1）在上的极大值为，无极小值（2）【解析】【分析】（1）求导可得，构建，利用导数分析的单调性和符号，即可得f'x的符号，进而可得的单调性和极值；（2）可知存在实数，使得在内恒成立，构建，则是y=fx的极小值点等价于是的极小值点，分类讨论，分析的极值点即可.【小问1详解】若，则，，构建，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递增，在内单调递减，且，可知当时，gx>0；当时，gx注意到当时，与f'x的符号性一致，即当时，f'x>0；当时，f可知函数在内单调递增，在内单调递减，所以在上的极大值为，无极小值.小问2详解】因为，对于函数，且，可知存在实数，使得在内恒成立，构建函数，可知当时，与y=fx符号相同，且，所以是y=fx的极小值点等价于是的极小值点，因为，则，构建，则，①当，即时，则存在，使得φx在内单调递减，且，可知当时，；当时，；即当时，h'x>0；当时，h则hx在内单调递增，在内单调递减，可知是的极大值点，不合题意；②当，即时，则存在，使得φx在内单调递增，且，可知当时，；当时，；即当时，h'x<0；当时，h则hx在内单调递减，在内单调递增，可知是的极小值点，符合题意；③当，即时，可知在R上恒成立，此时，则，当时，φ'x>0；当时，φ可知φx在内单调递减，在0,1内单调递增，且，可知在-1,1内恒成立，即在-1,1内恒成立，则hx在-1,1内单调递增，不为h综上所述：的取值范围是.11.设是一个给定的正整数，集合，求最大的正数，使得对任意正整数，，都存在集合的子集，满足集合至少有个元素，且集合的任两个元素，均有，.【答案】1【解析】【分析】把转化成排列的一系列点，通过研究点每行的点的排列，求解c的最大值.【详解】可以把看成在第行，