数值第三章线性方程组的迭代法

我们知道，凡是迭代法都有一个收敛问题，有时某种方法对一类方程组迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时就会发散。一个收敛的迭代法不仅具有程序设计简单，适于自动计算，而且较直接法更少的计算量就可获得满意的解。因此，迭代法亦是求解线性方程组，尤其是求解具有大型稀疏矩阵的线性方程组的重要方法之一。第三章解线性方程组的迭代法§3.1迭代法的基本思想

迭代法的基本思想是将线性方程组转化为便于迭代的等价方程组，对任选一组初始值，按某种计算规则，不断地对所得到的值进行修正，最终获得满足精度要求的方程组的近似解。

设非奇异，，则线性方程组有惟一解，经过变换构造出一个等价同解方程组将上式改写成迭代式选定初始向量,反复不断地使用迭代式逐步逼近方程组的精确解,直到满足精度要求为止。这种方法称为迭代法如果存在极限则称迭代法是收敛的，否则就是发散的。收敛时，在迭代公式中当时，,则,故是方程组的解。对于给定的方程组可以构造各种迭代公式。并非全部收敛例1用迭代法求解线性方程组

解构造方程组的等价方程组据此建立迭代公式取计算得迭代解离精确解越来越远迭代不收敛

§3.2雅可比（Jacobi）迭代法§3.2.1雅可比迭代法算法构造例2用雅可比迭代法求解方程组解：从方程组的三个方程中分离出和建立迭代公式精确解x*=(3,2,1)T取初始向量进行迭代,可以逐步得出一个近似解的序列：（k=1,2,…）直到求得的近似解能达到预先要求的精度，则迭代过程终止，以最后得到的近似解作为线性方程组的解。当迭代到第10次有计算结果表明，此迭代过程收敛于方程组的精确解x*=(3,2,1)T。考察一般的方程组，将n元线性方程组写成若,分离出变量据此建立迭代公式上式称为解方程组的Jacobi迭代公式。§3.2.2雅可比迭代法的矩阵表示设方程组的系数矩阵A非奇异，且主对角元素，则可将A分裂成

记作A=D+L+U则等价于即因为

，则这样便得到一个迭代公式令则有（k=0,1,2…）称为雅可比迭代公式,B称为雅可比迭代矩阵雅可比迭代矩阵表示法，主要是用来讨论其收敛性，实际计算中，要用雅可比迭代法公式的分量形式。即(k=0,1,2,…)3.2.1雅可比迭代法的算法实现§3.3高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法§

3.3.1高斯-塞德尔迭代法的基本思想

在Jacobi迭代法中，每次迭代只用到前一次的迭代值，若每次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在求时用新分量代替旧分量,就得到高斯-赛德尔迭代法。其迭代法格式为：

(i=1,2,…,nk=0,1,2,…)例3用GaussSeidel迭代格式解方程组

精确要求为ε=0.005

解GaussSeidel迭代格式为取初始迭代向量,迭代结果为：x*≈§

3.3.2Gauss—Seidel迭代法的矩阵表示将A分裂成A=D+L+U，则等价于

(D+L+U)x=b于是,则高斯—塞德尔迭代过程因为,所以

则高斯-塞德尔迭代形式为：

故

令§3.3哗.3高斯—塞德腔尔迭蜻代算迈法实另现高斯-塞德嫂尔迭它代算尼法的讯计算方步骤连与流搂程图证与雅造可比鸡迭代拘法大剖致相臂同，珠只是环一旦庄求出炸变元的某克个新斑值非后,就改劣用新肢值洞替代侮老值，再进行这一围步剩凭下的答计算阻。§3.4超松兽弛迭沃代法表（SO梦R方法脆）使用兽迭代公法的熟困难旗在于床难以喂估计愤其计厕算量。焰有时染迭代冈过程艘虽然谣收敛喷，但需由于廉收敛穿速度缓谷慢，掀使计弊算量矮变得税很大球而失割去使挣用价妥值。因随此，矮迭代展过程朽的加眼速具繁有重帽要意浴义。坏逐次超开松弛筋迭代述（Su弱cc浸es无si样ve期O党ve敬r吉re许la跳xa盏ti蔑c鸣Me脊th杠od，简柜称SO舱R方法壮）法佩，可娱以看法作是品带参数的高新斯—塞德慎尔迭贯代法寻，实烦质上准是高垮斯-塞德浑尔迭蜻代的烂一种加速方法魄。§3.4滴.1超松省弛迭骡代法球的基英本思悦想超松俭弛迭垃代法冬目的象是为碑了提枪高迭肉代法债的收灶敛速棋度，壮在高跌斯—塞德充尔迭千代公络式的污基础谢上作陶一些仰修改壮。这逮种方源法是泊将前看一步报的结习果与高恢斯-塞德害尔迭那代方乖法的阅迭代碧值刺适妙当加悉权平你均，菜期望疯获得衬更好材的近隐似值屋。是解门大型勿稀疏汁矩阵霜方程开组的胶有效攀方法游之一属，有引着广详泛的妄应用鸽。其具奏体计柔算公钻式如窜下：⑴用高沫斯—塞德报尔迭各代法扁定义秤辅助送量。⑵把名取为纠与欣的加托权平虑均，傲即合并院表示原为：式中惯系数ω称为举松弛盈因子稀，当ω=匠1时，很便为闲高斯-塞德错尔迭弹代法笛。为肆了保甲证迭饥代过委程收窗敛，区要求0<写ω<科2。殖当0<辞ω<失1时，军低松绳弛法献；当1<夫ω<振2时称相为超趁松弛副法。洞但通阶常统忌称为宿超松强弛法(S炒OR症)。§3.4宪.2超松霞弛迭魂代法威的矩走阵表岂示设线石性方生程组Ax魔=b的系锅数矩绵阵A非奇潜异,且主铸对角逆元素,则将A分裂反成A=燥d+L+U,则超丽松弛列迭代再公式匹用矩列阵表助示为或故显然哗对任期何一处个ω值,(置D+蓬ωL控)非奇育异,径(因为赛假设)于是共超松症弛迭永代公找式为令则超社松弛阳迭代公式罢可写伯成例4用SO火R法求扛解线怎性方困程组取ω=菊1.方46，要蒙求解：SO净R迭代欣公式k泳=脆0,乔1,颤2,垒…，初值该方型程组默的精稳确解只需板迭代20次便蔑可达心到精今度要娇求如果奇取ω=铺1(即高寄斯—塞德梯尔迭忆代法)和同荡一初值,要达恰到同梦样精萄度,需要变迭代11昨0次§3.5迭代爆法的贪收敛涨性我们火知道,对于网给定付的方站程组犹可以强构造切成简核单迭午代公闹式、弃雅可色比迭握代公台式、惧高斯-塞德爱尔迭默代公礼式和越超松乳弛迭搜代公肆式，雪但并幼非一勺定收服敛。庙现在换分析偿它们打的收卡敛性峰。对于重方程齿组经过睁等价瓜变换百构造霞出的请等价寒方程旧组在什棵么条士件下蛙迭代壮序列量收闹敛？梅先引王入如下缘瑞定理基本穗定理5迭代隙公式测收敛的充分巾必要塘条件是迭巧代矩换阵G的谱骂半径证:必要谱性作设迭音代公滚式收屈敛,当k→爷∞时,则在亮迭代余公式宋两端午同时财取极赚限得记,则脖收敛疯于0(零向旋量),且有于是由于斑可以杜是任滚意向律量,故尤收痛敛于0当且井仅当叉收葛敛于止零矩盏阵，出即当买时于是所以客必有充分味性:设,则必姨存在戚正数ε,使则存诊在某骡种范楼数,使,,则,所以,即汽。副故幸收敛年于0,收敛睁于由此膜定理幼可知柱，不煮论是烈雅可鞋比迭许代法轮、高泽斯—塞德欲尔迭痛代法凉还是识超松糖弛迭酱代法榜，它扯们收区敛的充要稼条件辈是其相迭代窜矩阵倡的谱默半径拣。事实泼上,在例1中,迭代冠矩阵G=，其特兄征多袜项式冠为,特征削值为-2，-3，,所以祸迭代效发散定理6纤(迭代娘法收请敛的哄充分巧条件)若迭驾代矩廉阵G的一加种范短数,则迭妙代公篇式收敛,且有朋误差海估计背式,且有简误差逼估计染式及证:矩阵盈的谱激半径猜不超取过矩型阵的酱任一颈种范症数,已知,因此,根据汤定理4.院9可知防迭代身公式上收敛又因出为,则de算t库(I载-G厘)谜≠0姨,存I-秧G为非倾奇异妖矩阵,故x＝Gx＋d有惟拍一解,即与迭竞代过丙程第相挽比较,有两边晚取范掏数∴由迭铅代格解式，摸有两边因取范俯数，丝式代入草上式吊，得证毕由定背理知毙，当熔时，状其值牲越小拾，迭啦代收赤敛越烘快，梁在程杆序设佛计中新通常京用相犹邻两员次迭际代（ε为给累定的灵精度埋要求威）作会为控制渡迭代厚结束觉的条晓件例5已知禽线性无方程朝组考察弱用Ja烟co见bi迭代负和G-傲S迭代熔求解宋时的生收敛豪性解:芬⑴雅可连比迭卡代矩溪阵故Ja殊co京bi迭代忧收敛⑵将系唱数矩膛阵分谦解则高筒斯-塞德静尔迭植代矩啊阵故高伴斯—塞德竹尔迭拘代收朝敛。定义3.灵2设矩偶阵渐每镜一行滨对角宇元素兵的绝粉对值竹都大龟于同泳行其办他元植素绝疗对值治之和则称A为弱射对角欢占优午矩阵宴。若休上式牵中不精等号伐均严独格成平立，借则称A为严贵格对邮角占壤优矩茄阵。定理伴8设n逝阶方取阵为严商格对茫角占蓬优阵懂,与则A非奇饲异。定理9若矩倍阵A按行(或列)严格胁对角砖占优,或按差行(或列)弱对改角占汪优不蜘可约悟；则Ja平co蜓bi迭代脸、Ga原us哲s-施Se糖id君el迭代它都收望敛。例6考察溪用雅可港比迭章代法易和高斯-塞德感尔迭面代法解伍线性阔方程走组Ax吃=b的收条敛性离，其挡中解：瞧先窗计算拿迭代扔矩阵求特撇征值雅可境比矩城阵言(玻B溉)怨=愈0匠<下1∴用雅可暑比迭翁代法裹求解语时，司迭代专过程努收敛1=0学,2=2呜,3=2洁(颠G1)=织2>属1∴用高裁斯-塞德判尔迭漫代法求纷解时册，迭最代过森程发防散高斯-塞德锤尔迭嘱代矩息阵求特者征值当时a甜<1时,Ja转co伯bi矩阵GJ∞<1柏,对初敢值x(0和)均收幻玉敛例7设远方程绍组写出制解方架程组森的Ja续co柴bi迭代蚕公式吸和迭需代矩茄阵并讨木论迭宋代收总敛的悠条件老。写出嫂解方纱程组舒的Ga剪us壮s-纱Se材id宫el迭代烫矩阵,并讨论迭呈代收溉敛的啦条件浩。解①Ja他co随bi迭代输公式向和Ja罚co桐bi矩阵皂分别特为例7设方程治组写出刃解方柳程组摇的Ga忙us兔s-俊Se伯id酿el迭代跃矩阵剩，并茎讨论迭代捞收敛喂的条椒件。解②Ga棕us百s-咳Se捎id删el矩阵条为当时a涛<1时,粮Ga百us搅s-慰Se橡id迷el矩阵编伞Gs∞<1宜,所以第对任挺意初佛值x(0逐)均收条敛。也可质用矩窜阵的器谱半启径p(蜂GS)<尤1来讨席论解：箱先哨计算持迭代淹矩阵例8讨论甘用雅可乏比迭限代法陆和高斯-塞德晚尔迭秆代法解榜线性之方程密组Ax定=b的收引敛性计。求特例征值雅可域比矩子阵些(沃B五)颗=掘1∴用雅可冷比迭她代法炎求解装时，夺迭代错过程障不收毕敛1=利-转1，粘2,房诚3=惰1/跪2求特贸征值高斯-塞德踩尔迭起代矩搜阵疏(G1)逃=荒0.像35确36侵<嚼1∴用高斯-塞德朗尔迭助代法求矩解时缸，迭是代过经程收辞敛1=0裂,求解AX坑=b拣,当取笑何值时如迭代贼收敛倚？解:所给遵迭代多公式饮的迭衣代矩御阵为例9给定庆线性橡方程美组AX论=中b用迭纪代公束式X(K悠+1敢)=X(K犁)+(误b-吐AX(K扒))捉(k灵=0敢,1唤,…）即2-(墓2-书5)+句1-倍5+赔42=02-(颠2-资5)+耍(1涂-)(忆1-泉4)旺=0[-君(1杯-)][-慰(啄1-草4)]=01=1捏-2=1疤-4(铁B)洲=m栋ax酸{|找1-|,贵|诊1-崇4|}搞<1取0<<晕1/厚2迭代直收敛本章撑小结本章案介绍陆了解捞线性兰方程骨组戚迭代况法的一些室基本饲理论渔和具填体方奶法。混迭代倚法是掩一种表逐次堂逼近的蛮方法线，即泪对任转意给因定的太初始蛇近似盖解向谣量，舟按照某舒种方亦法逐袜步生抚成近匀似解钢序列卵，使掏解序茶列