高中数学人教A版数列等差数列 全国优质课

1.数列:按一定顺序排列的一列数叫做数列.2.数列中的每一个数都叫做这个数列中的项.各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，···，第n项，···。复习引入：3.如果数列的第n项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。你能根据规律在（）内填上合适的数吗？（3）1，4，7，10，（），16，…(4)2，0，-2，-4，-6，（）…（1）0，5，10，15，20，（）.（2）32,25.5,19,12.5,6,…,（）.13-8-2025(3)1，4，7，10，（13），16，…(4)2，0，-2，-4，-6，（-8）,…(1)0,5，10，15，20，（25）(2)32,25.5,19,12.5,6,…,（-20）.共同特点：这些数列从第2项起，每一项与它的前一项

的差等于同一个常数，d=5d=-6.5d=3d=-2它们的共同特点是？

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.等差数列的定义1.定义的符号表示:an-an-1=d(n∈N*,n≥2)3.取值范围：d∈R.2.差为同一个常数，如2，3，5，9，11就不是等差数列.几点说明：或an+1-an=d(n∈N*)是不是不是

练习：

判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d,如果不是，说明理由。（1）1，3，5，7，…（2）9，6，3，0，-3…（3）-8，-6，-4，-2，0，…（4）3，3，3，3，…（6）15，12，10，8，6，…小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：

an+1-an是不是同一个常数？是是是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=0探究性问题1：

在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：（1）2，

，4；（2）-8，

，0；（3）a，

，b定义：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项.3-4（1）等差数列8，5，2,…的第10项，第30项，第40项分别是什么？（2）已知等差数列的首项为，公差为，请根据等差数列的特点，猜想？探究性问题2：等差数列的通项公式如果一个数列是等差数列，它的公差是d，那么…，…n=1时亦适合

已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是da2-a1=d……an-an-1=d(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：a3-a2=da4-a3=dan-a1=（n-1）d，（1）（2）（3）（n-1）通项公式

累加法an=a1+（n-1）d即等差数列的通项公式a1、an、n、d知三求一an=a1+(n-1)d（n∈N*）例题讲解：例1

（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；（2）判断-401是不是等差数列–5,-9,-13…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。分析（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20.解：(1)由题意得：

a1=8,d=5-8=-3,n=20

∴这个数列的通项公式是：

an=a1+(n-1)d=-3n+11∴a20=11-3×20=-49分析（2）要想判断-401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。(2)由题意得：

a1=-5,d=-9-(-5)=-4∴这个数列的通项公式是：an=-5+(n

-1)×(-4)=-4n-1

令-401=-4n-1,得n=100∴-401是这个数列的第100项练习二（1）求等差数列3,7,11…的第4项与第10项；（2）判断100是不是等差数列`2，9，16，…的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。解：（1）根据题意得：

a1=3,d=7-3=11-7=4,∴这个数列的通项公式是：

an=a1+(n-1)d=4n-1∴a4=4×4-1=15,

a10=4×10-1=39.（2）由题意得：

a1=2,d=9-2=16-9=7∴这个数列的通项公式是：

an=2+(n-1)×7=7n-5(n≥1)

令100=7n-5,得n=15∴100是这个数列的第15项。例2在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得：∴这个数列的首项a1是-2，公差d=3.小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型还有别的方法吗？已知等差数列{an}中，已知am和公差d,求an通项公式的推广两式相减得：例2在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.解：变式：在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求a20解法一：由以上可得a1=-2，d=3解法二：练习：在等差数列{an}中，（1）已知a4=10,a7=19，求a1与d。（2）已知a3=9,a9=3，求a12。1、等差数列的概念。必须从第2项起，每一项与它的