北京首都师大附中2017届九年级10月月考数学试题(含答案)

首都师大附中2017-2018学年第一学期十月月考初三数学第I卷（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．下列图形是中心对称图形的是（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】绕一点旋转后与自身能重合的图形是中心对称图形．2．将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】平移：左右——（用于），上下——（用于）．3．如图，点，，在⊙上，的延长线交于点，，，则的度数为（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，∵，，∴，∴，∴．4．代数式的最小值是（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】．5．已知圆锥的母线长是，底面半径是，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】设母线为，底面半径为，圆锥侧面展开图圆心角为，则，所以，．6．如图，是等边三角形，是的中点，以为旋转中心，把顺时针旋转后，所成的图形是（）．A． B． 【解析】∵，，∴，．16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：为⊙外一点．求作：经过点的⊙的切线．小敏的作法如下：如图，（）连接，作线段的垂直平分线交于点．（）以点为圆心，的长为半径作圆，交⊙于，两点．（）作直线，．老师认为小敏的作法正确．请回答：连接，后，可证，其依据是____________________；由此可证明直线，都是⊙的切线，其依据是________________________________________．【答案】见解析．【解析】①直径所对的圆周角是直角．②经过半径的外端并用垂直于半径的直线是圆的切线．10．【答案】D【解析】∵，∴对称轴，将关于对称轴对称，得，则此时图象位于轴上方，∵时图象位于轴下方，∴可知，图象过，∴．二、填空题11．【答案】【解析】时，，时，，∴．12．【答案】且【解析】∵图象与轴有两个不同交点，∴且，∵，∴，∴，∴且．13．【答案】【解析】如图：，，∴中，，．14．【答案】 【解析】∵，可化为，即方程的解为函数，，图象交点的横坐标，又∵交点为，，∴为，．15．【答案】 【解析】如图：，，由垂径定理可知：，设半径为，在中，，∴．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28分7分，第9题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解一元二次方程：【答案】，．【解析】，，．18．已知，求的值．【答案】．【解析】原式，当，即时，原式．19．如图，内接于⊙，，，为⊙的直径，，求弦的长．【答案】．【解析】∵⊙中是直径，∴，∵中，，，∴，∴，在中，，，，∴，∴．20．如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，求的度数．【答案】．【解析】∵，，∴，∵，∴，∴，∴由旋转性质可知，．21．已知：如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．以为旋转中心，把逆时针旋转，得到．（）画出．（）点的坐标为______________________________．（）求点旋转到所经过的路线长．【答案】（）见解析；（）；（）．【解析】（）如图，走过的路线为弧，∵，∴，∵，∴．22．已知：关于的一元二次方程有实数根．（）求的取值范围．（）若，是此方程的两个根，且满足，求的值．【答案】（）；（）．【解析】（）∵有实根，∴，∵，∴，∴．（），，∵、为方程的两根，∴，，∴，，∴，（舍），∴．23．已知：二次函数中的和满足下表：（）可求得的值为__________．（）求出这个二次函数的解析式．（）当时，则的取值范围为______________________________．【答案】（）；（）；（）．【解析】（）由表可知，，关于对称轴对称，∴．（）设顶点式，∵过，∴，∴．（）∵抛物线开口向上，对称轴，∴时，当时，有最大值，时，有最小值，∴．24．某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可自行定价，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价元，则可卖出件．如果商店计划要获利元，则每件商品的售价应定为多少元？需要卖出这种商品多少件？【答案】 【解析】设每件商品的售价定为元，，，，，∵，∴，（件），答：售价定为时，卖出件．25．已知：如图，内接于⊙，于，，过点的直线与的延长线交于点，，．（）求证：是⊙的切线．（）若为⊙上一动点，连接交直线于点，问：是否存在点，使得的值最小，若存在求的最小值，若不存在，说明理由．【答案】（）见解析；（）见解析．【解析】（）连结，∵，∴，又∵，∴为等边三角形，∴，又∵，∴，∴，又∵为半径，∴为⊙切线．（）将点关于直线对称到点，由垂径定理可知在⊙上，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∵中，，，∴，∴，在中，，∴在中，，∴，∴，∴最小值为．26．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小慧根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成：（）函数的自变量的取值范围是__________．（）列出与的几组对应值．请直接写出的值，__________．（）请在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．（）结合函数的图象，写出该函数的两条性质．①__________________________________________________．②__________________________________________________．【答案】（）；（）；（）图象不过第三象限，与直线没有交点；（）见解析．【解析】（）分母不为，则，．（）令，则，∴．（）从交点个数，增减性，过象限等角度来写．27．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点左侧），且点的横坐标为．（）求的值．（）设抛物线的顶点关于原点的对称点为，求点的坐标．（）将抛物线在，两点之间的部分（包括，两点），先向下平移个单位，再向左平移个单位，平移后的图象记为图象，若图象与直线无交点，求的取值范围．【答案】（）；（）；（）见解析．【解析】（）∵图象过，∴．（），顶点，与关于原点对称，∴．（）令，则，，，，∴，，将图象向下平移个单位后，，，∵，，∴直线解析为，令，则，∴，由图可知，，∴时，图象与直线无交点．28．（）如图，在四边形中，，，，点是边上一点，把射线绕点顺时针旋转，与边交于点，请你补全图形，求，，的数量关系．（）如图，在菱形中，点是边上任意一点，把射线绕点顺时针旋，与边交于点，连结，请你补全图形并画出辅助线，直接写出，，的数量关系是__________．（）如图，正方形的边长是，点，分别在，上，若的周长为，则的面积最小值为____________________．解：（）____________________．（）____________________．（）____________________．【答案】（）；（）；（）．【解析】（）连延长线上截取，连结，∵，，∴，在和中，，∴≌，∴，，∵，，∴，∴，∴，连结，在和中，，∴≌，∴，∵，∴．（）证明同（）．（）延长至，使，连结，∵，，∴≌（），∴，∵，，∴，又∵，∴，∴≌（），设，，，则，∵，∴，∴，整理得：，∴，即，又∵，∵，∴最小值29．在平面直角坐标系中，点在直线上，以为圆心，为半径的圆与轴的另一个交点为．给出如下定义：若线段，⊙和直线上分别存在点，点和点，使得四边形是矩形（点，，，顺时针排列），则称矩形为直线的“理想矩形”．例如，下图中的矩形为直线的“理想矩形”．（）若点，四边形为直线的“理想矩形”，则点的坐标为____________________．（）若点，求直线的“理想矩形”的面积．（）若点，直线的“理想矩形”面积的最大值为__________，此时点的坐标为________________________________________．解：（）____________________．（）____________________．（）______________________________，______________________________．【答案】（）；（）；（） ．【解析】（）四边形中，，，，是顺时针排列，且分别落在线段，⊙和直线上，∴．（）连结，过点作轴于点，∵在上，∴直线，设与轴交于点，∵，∴，在轴上截取，连