江苏省无锡市轻工职业高级中学高三数学理模拟试题含解析

江苏省无锡市轻工职业高级中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，，且，则m=A. B. C.0 D.参考答案：A【分析】结合向量垂直满足数量积为0，代入坐标，建立等式，计算参数，即可。【详解】，结合向量垂直判定，建立方程，可得，解得，故选A。【点睛】考查了向量垂直的判定，考查了向量数量积坐标运算，难度中等。2.（06年全国卷Ⅱ理）函数的图像与函数的图像关于原点对称，则的表达式为(

)

（A）（B）

（C）（D）参考答案：答案：D解析:(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),所以

故选D3.若函数在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a的取值范围是(

)A．a≤2

B．5≤a≤7

C．4≤a≤6

D．a≤5或a≥7参考答案：B略4.定义在R上的函数满足，当时，，当时，.则A．335

B．338

C．1678

D．2012参考答案：B略5.已知函数满足，且的导函数，则的解集为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D,则,在R上是减函数.,的解集为.选D.6.已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】椭圆、双曲线的几何性质.【答案解析】B解析：解：由已知椭圆、双曲线的几何性质得，，所以，，双曲线的渐近线方程为选B.【思路点拨】由已知椭圆、双曲线的几何性质可得双曲线的渐近线方程.7.已知M是△ABC内的一点，且?=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MAB、△MCA的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）A．9 B．16 C．18 D．20参考答案：C【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，利用基本不等式求得+的最小值．【解答】解：由已知得?=bccos∠BAC=bc×=2，∴bc=4，故S△ABC=x+y+bcsinA=1，∴x+y=，而+=2（+）×（x+y）=2（5++）≥2（5+2）=18，当且仅当x=，y=时取等号．故选：C．8.已知集合，则集合等于A. B. C. D.参考答案：C，所以，选C.9.下列命题中，x，y为复数，则正确命题的个数是①若，则；②若，，，且，则；③的充要条件是．A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：A10.已知i是虚数单位，R，且是纯虚数，则等于(

)A．1

B．-1

C．i

D．-i参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式的解集为_______

___参考答案：略12.如图，相交与点O,且，若得外接圆直径为1，则的外接圆直径为_________.

参考答案：2解析：由正弦定理可以知道，,所以的外接圆半径是外接圆半径的二倍。13.已知||=2，||=3，，的夹角为60°，则|2﹣|=．参考答案：【考点】向量的模．【分析】利用两个向量的数量积的定义求出的值，由==求得结果．【解答】解：∵已知，，、的夹角为60°，∴=2×3cos60°=3，∴====，故答案为．14.设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是．参考答案：（0，]【考点】分段函数的应用．【分析】曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）=（x+1）lnx（x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a的范围．【解答】解：假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴?=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t）=﹣t3+t2代入（*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0即t4﹣t2+1=0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）=alnt，代入（*）式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt（**）令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），则h′（x）=lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，∵t≥e∴h（t）≥h（e）=e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．∴对于0＜a≤，方程（**）总有解，即方程（*）总有解．故答案为：（0，]．15.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=3，S9﹣S6=12，则S6=

．参考答案：9【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【分析】根据正项等比数列{an}的前n项和的性质，Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列，建立等式关系，解之即可．【解答】解：∵正项等比数列{an}的前n项和为Sn，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列即（S6﹣S3）2=S3?（S9﹣S6），∴（S6﹣3）2=3×12解得S6=9或﹣3（正项等比数列可知﹣3舍去），故答案为：9【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和，以及等比数列的性质，同时考查运算求解的能力，属于基础题．16.如图所示的算法流程图中,若则的值等于

.参考答案：917.已知函数，若，f(x)≥mx，则m的取值范围是________。参考答案：[-2,e]三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设集合，.（1）当1时，求集合；（2）当时，求的取值范围．参考答案：【知识点】对数函数的定义域；并集及其运算．

B7

A1【答案解析】（1）

（2）.

解析：（1）当a=1时，y=，由，解得：1＜x＜3，∴集合B={x|1＜x＜3}；（2）∵A∪B=B，则AB，由，得（x﹣a）（x﹣3a）＜0．①当a＞0时，B=（a，3a），又已知集合A={x|﹣2＜x＜﹣1}，显然不满足题意；②当a＜0时，B=（3a，a），要使AB，则，解得：．综上所述，所求a的取值范围是．【思路点拨】（1）把a=1代入函数y=，由真数大于0求解分式不等式得集合B；（2）由真数大于0得到（x﹣a）（x﹣3a）＜0，分a＜0和a＞0求解一元二次不等式化简集合B，然后利用AB，结合端点值之间的关系列不等式组求解a的取值范围．19.（12分）、△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．参考答案：(1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.由余弦定理得20.（13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，一个顶点在抛物线x2=4y的准线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，M，N为椭圆上的两个不同的动点，直线OM，ON的斜率分别为k1和k2，是否存在常数P，当k1k2=P时△MON的面积为定值；若存在，求出P的值，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，一个顶点在抛物线x2=4y的准线上，列出方程组，求出a=2，b=1，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）当直线MN存在斜率时，设其方程为y=kx+m，（m≠0），由，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，求出存在常数P，当k1k2=P时△MON的面积为定值1；当直线MN不存在斜率时，若k1k2=﹣，则|MN|=，d=，此时S△MON=1．由此求出存在常数p=﹣，当k1k2=p时，△MON的面积为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个顶点在抛物线x2=4y的准线上．x2=4y的准线方程为y=﹣1，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）当直线MN存在斜率时，设其方程为y=kx+m，（m≠0），由，消去y，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴|MN|===，点O到直线y=kx+m的距离d=，==2，====，设=p，则4k2=（1﹣4p）m2+4p，于是，由S△MON为定值，得为定值，从而4p+1=0，解得p=﹣，此时，S△MON=1．当直线MN不存在斜率时，若k1k2=﹣，则|MN|=，d=，此时S△MON=1．综上，存在常数p=﹣，当k1k2=p时，△MON的面积为定值．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积是否为定值的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、椭圆性质的合理运用．21.已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，M，N分别为DB，DC的中点.（1）求证：平面EMN∥平面ABC；（2）求三棱锥A-ECB的体积.参考答案：证明：（1）取中点，连结，∵为等腰三角形，∴，又平面平面平面，∴平面，