广东省肇庆市地质中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析

广东省肇庆市地质中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线在点(1,1)处的切线的倾斜角为（）A.30° B.45° C.60° D.135°参考答案：D【分析】求出函数的导数，在处的导数就是切线的斜率，然后求出倾斜角即可．【详解】解：可得，，，设切线的倾斜角为，可得故选D．【点睛】本题考查直线的倾斜角，利用导数研究曲线上某点切线方程，考查计算能力，是基础题．2.已知数列{an}满足:,，设数列{an}的前n项和为Sn,则(

)A.1007

B.1008

C.1009.5

D.1010参考答案：D3.、设为实数，则“”是“”的…（

）（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件（C）充分必要条件

（D）既不充分又不必要条件参考答案：D4.若函数在(0,+∞)内有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：C分析：对函数求导，根据函数在内有且只有一个极值点，则，求出实数的范围。详解：，因为函数在内有且只有一个极值点，所以，，又当时，，令，满足题意。所以，选C.点睛：本题主要考查了导数知识在函数极值上的应用，属于中档题。在本题中，不要遗漏掉这种特殊情况。5.如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D【考点】椭圆【试题解析】设

由题知：，所以

又因为所以，

所以

所以6.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个关于轴对称的图象，则的一个可能取值为A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】函数的图象与性质C4【答案解析】C

函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到：f(x)=sin(2x++φ)由于函数图象关于y轴对称，所以+φ=kπ+（k∈Z）当k=0时，φ=故选：C【思路点拨】首先对函数进行平移变换，再利用对称性求解．7.给定下列两个命题：p1：?a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0；p2：在三角形ABC中，A＞B，则sinA＞sinB．则下列命题中的真命题为（）A．p1 B．p1∧p2 C．p1∨（￢p2） D．（￢p1）∧p2参考答案：D【考点】复合命题的真假．【分析】根据条件分别判断两个命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：∵a2﹣ab+b2=（a﹣b）2+b2≥0，∴?a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0不成立，即命题p1为假命题．在三角形ABC中，若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB成立，即命题p2为真命题．则（￢p1）∧p2为真命题，其余为假命题，故选：D8.设函数f（x）=﹣x2+14x+15，数列{an}满足an=f（n），n∈N+，数列{an}的前n项和Sn最大时，n=（）A．14 B．15 C．14或15 D．15或16参考答案：C【考点】二次函数的性质．【分析】由题意，﹣n2+14n+15≥0，得﹣1≤n≤15，即可得出结论．【解答】解：由题意，﹣n2+14n+15≥0，∴﹣1≤n≤15，∴数列{an}的前n项和Sn最大时，n=14或15．故选：C．【点评】本题考查数列的函数性质，考查学生解不等式的能力，比较基础．9.已知双曲线（a＞0，b＞0）的焦点F1（﹣c，0）、F2（c，0）（c＞0），过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点．设+=，+=，则下列各式成立的是（）A．||＞|| B．||＜|| C．|﹣|=0 D．|﹣|＞0参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】特殊化，取过F2垂直于x轴的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点，可得+==2，+==2，即可得出结论．【解答】解：取过F2垂直于x轴的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点，则+==2，+==2，∴|﹣|=0．．故选：C【点评】特殊化是我们解决选择、填空题的常用方法．10.设a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“log2a＞log2b”等价于“a＞b＞0”，“2a﹣b＞1”等价于“a＞b”，即可判断出结论．【解答】解：“log2a＞log2b”等价于“a＞b＞0”，“2a﹣b＞1”等价于“a＞b”，∴“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.点在不等式组表示的平面区域内，若点到直线的最大距离为，则参考答案：做出不等式组对应的区域为三角形BCD，直线过定点，由图象可知点D到直线的距离最大，此时，解得。12.已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是．参考答案：．【分析】由条件利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义求得cosθ的值，可得向量与向量的夹角θ的值．【解答】解：设向量与向量的夹角是θ，则由题意可得?（﹣）=﹣=1﹣1××cosθ=0，求得cosθ=，可得θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．13.实数满足不等式组，则的取值范围是_________.参考答案：略14.已知是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，若，则的离心率是

参考答案：略15.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为____________参考答案：16.设双曲线的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为________.参考答案：略17.观察以下三个等式：⑴；⑵；⑶，归纳其特点可以获得一个猜想是：

．

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知常数且，数列的前项和，数列满足且．(1)求证：数列是等比数列；(2)若对于在区间[0，1]上的任意实数，总存在不小于2的自然数，当时，恒成立，求的最小值．参考答案：(1)当时，，整理得．由，得，则恒有，从而．所以数列为等比数列．(2)由(1)知，则，所以，所以，则在时恒成立．记，由题意知，，解得或．又，所以．综上可知，的最小值为4．略19.已知数列满足，，.（Ⅰ）证明数列是等比数列；（II）求数列的通项公式.参考答案：解析：（I），

…………2分，

是以4为首项，4为公比的等比数列

…………4分

（II）=，累加得

…………10分20.已知，求证：参考答案：证明：

21.（本小题满分12分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若η=aξ-b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.参考答案：解：（1）的分布列为：01234所以。（2）由，得，即，又，所以当

时，由，得；当

时，由，得。，或，即为所求。【试题解析】本题主要考察概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力。【高考考点】随机变量的分布列、期望和方差。【易错提醒】记错期望和方差的公式，特别是方差的公式。【备考提示】要熟练掌握随机变量的分布列、期望和方差等概念以及公式。22.已知函数f（x）=lnx﹣a，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x≠1时，恒成立，求a的取值范围．参考答案：【分析】（Ⅰ）定义域是（0，+∞），．令g（x）=x2+2（1﹣a）x+1．对△=4（1﹣a）2﹣4与0的大小，分类讨论，即可得出单调性．（Ⅱ）由，得，即，即，即．对a分类讨论，利用（I）的f（x）的单调性，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）定义域是（0，+∞），．令g（x）=x2+2（1﹣a）x+1．①当△=4（1﹣a）2﹣4≤0，即0≤a≤2时，g（x）≥0恒成立，即f'（x）≥0，所以f（x）的单调增区间为（0，+∞）；

②当△=4（1﹣a）2﹣4＞0时，即a＜0或a＞2时，方程g（x）=0有两个不等的实根，．若a＜0，由x1+x2=2（a﹣1）＜0，x1x2=1＞0得，x1＜0，x2＜0，所以g（x）＞0在（0，+∞）成立，即f'（x）＞0，所以f（x）的单调增区间为（0，+∞）；

若a＞2，由x1+x2=2（a﹣1）＞0，x1x2=1＞0得，x1＞0，x2＞0，由g（x）＞0得x的范围是（0，x1），（x2，+∞），由g（x）＜0得x的范围（x1，x2），即f（x）的单调递增区间为（0，x1），（x2，+∞），f（x）的单调递减区间为（x1，x2）．综上所述，当a＞2时，f（x）的单调递增区间为，f（x）的单调递减区间为；当a≤2时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无递减区间．（Ⅱ）由，得，即，即，即．①由（