2022-2023学年北京后沙峪中学高二数学理期末试题含解析

2022-2023学年北京后沙峪中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则关于的方程在上有两个零点的概率为(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：B2.“”是“”的（

）． A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B解：设集合，集合或，∴，∴是的充分不必要条件．故选．3.若下列程序执行的结果是3，则输入的x的值是()A．3

B．－3

C．3或－3

D．0

参考答案：C略4.原点和点在直线的两侧，则实数的取值范围是A. B. C.或 D.或参考答案：B略5.若在上是减函数，则b的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.已知数列{an}的前n项和Sn=2n﹣1，那么a4的值为（）A．1 B．2 C．4 D．8参考答案：D【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】直接由数列的前n项和求得数列的项．【解答】解：∵Sn=2n﹣1，∴．故选：D．【点评】本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的项，是基础题．7.过原点与曲线相切的切线方程为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略8.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（

）． A． B． C． D．参考答案：A作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段轴，所以在原图形中对应的线段平行于轴且长度不变，点和在原图形中对应的点和的纵坐标是的倍，则，所以．故选．9.已知复数z满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B10.若圆与圆相切,则的值为(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设全集U=R，集合，，则_．参考答案：【分析】利用已知求得：，即可求得：，再利用并集运算得解.【详解】由可得：或所以所以所以故填：【点睛】本题主要考查了补集、并集的运算，考查计算能力，属于基础题。12.设函数f（x）=+ax，若f（x）在（1，+∞）上单调递减，则a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】令f′（x）≤0在（1，+∞）恒成立，分离参数可得a≤在（1，+∞）上恒成立，令lnx=t，不等式转化为a≤，求出函数的最小值即可得出a的范围．【解答】解：f′（x）=，∵f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，即a≤在（1，+∞）上恒成立，令lnx=t，则t＞0，设g（t）=，则g′（t）==，∴当0＜t＜2时，g′（t）＜0，当t＞2时，g′（t）＞0，∴当t=2时，g（t）取得最小值g（2）=﹣．∴a≤﹣．故答案为：（﹣∞，﹣]．【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值得计算，函数恒成立问题研究，属于中档题．13.经过两点A(,1)，B()的椭圆的标准方程为____________。参考答案：略14.若抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合,则的值

.参考答案：415.双曲线的左支上一点P，该双曲线的一条渐近线方程分别双曲线的左右焦点，若________。

参考答案：18略16.设函数f(x)=|2x-4|+1,若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围是______.参考答案：(-∞,-2)∪,提示：数形结合

17.已知曲线，其中；过定点

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.甲乙两班进行数学考试，按照大于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到下列联表．已知在100人中随机抽取1人为优秀的概率为．

优秀非优秀总计甲班10

乙班

30

合计

100（1）请完成上面的列联表；P（k2≥k0）0.100.050.025k02.7063.8415.024（2）根据列联表的数据，若按95%的可能性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？参考公式：k2=．参考答案：【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由100人中随机抽取1人为优秀的概率为，我们可以计算出优秀人数为30，我们易得到表中各项数据的值．（2）我们可以根据列联表中的数据，代入公式K2，计算出K2值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．【解答】解：（1）

优秀非优秀总计甲班104050乙班203050合计3070100（2），按95%的可能性要求，能认为“成绩与班级有关系”19.（12分）（2009秋?吉林校级期末）若二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求：（Ⅰ）展开式中含x的项；（Ⅱ）展开式中所有的有理项．参考答案：【分析】先求出二项式的展开式的通项公式：，由已知可前三项成等差熟练可求n的值，进而可得通项公式为（I）令16﹣3r=4可得r，代入可求（II）要求展开式中所有的有理项，只需要让为整数可求r的值，当r=0，4，8时，进而可求得有理项【解答】解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的r=0，1，2得系数为由已知：得n=8通项公式为（I）令16﹣3r=4，得r=4，得（II）当r=0，4，8时，依次得有理项【点评】本题主要考查了二项展开时的应用，解题的关键是要熟练掌握二项展开式的通项公式，根据通项公式可求展开式的指定项20.市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，若招生名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的高一学生中任选名学生，这名学生中上学路上所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）参考答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）144;（Ⅲ）的可能取值为

由直方图可知，每位学生上学所需时间少于分钟的概率为，,

,,,．

所以的分布列为：01234

．（或）所以的数学期望为．

21.如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．【分析】（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到B1C1⊥CE；（Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求；（Ⅲ）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入求出λ的值，则线段AM的长可求．【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．则，而=0．所以B1C1⊥CE；（Ⅱ）解：，设平面B1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．所以．由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=．从而==．所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为．（Ⅲ）解：，设0≤λ≤1，有．取为平面ADD1A1的一个法向量，设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则==．于是．解得．所以．所以线段AM的长为．【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题．22.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设经过椭圆C左焦点的直线交椭圆于M、N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，m），求m的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，且离心率为，可得，，又a2=b2+c2，联立解得即可．（II）当直线MN⊥x轴时，线段MN的垂直平分线为x轴，可得m=0．当直线MN的斜率存在时，可设直线MN的方程为y=k（x+2）（k≠0），与椭圆方程联立化为（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣8=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x0，y0），利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得（x0，y0），可得线段MN的垂直平行线的方程，对k分类讨论即可得出．【解答】解：（I）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，且离心率为，∴，，又a2=b2+c2，联立解得b=c=2，a2=8．∴椭圆C的方程为．（II）当直线MN⊥x轴时，线段MN的垂直平分线为x轴，∴m=0．当直线MN的斜率存在时，可设直线MN的方程为y=k（x+2）（k≠0），联立，化为（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣8=0，设M（x1，y1），N（x2