2020-2021学年新疆乌鲁木齐四中高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年新疆乌鲁木齐四中高一（下）期末数学试卷一、选择题：（每题5分，共12题）1．（5分）直线x+3y+1＝0的倾斜角为（）A．150° B．120° C．30° D．60°2．（5分）如果直线ax+2y+2＝0与直线3x﹣y﹣2＝0平行，则a＝（）A．﹣3 B．﹣ C．﹣6 D．3．（5分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m∥α⇒n∥α②α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β③m∥n，m⊥α⇒n⊥α④α⊥β，m∥α⇒m⊥β其中正确命题的序号是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③4．（5分）直线kx﹣y﹣k+1＝0与圆x2+y2＝4的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定5．（5分）若向量＝（0，﹣2），＝（，1），则与2+共线的向量可以是（）A．（，﹣1） B．（﹣1，） C．（，﹣1） D．（）6．（5分）在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则B等于（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°7．（5分）若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a3＝8，则S4的值为（）A．8 B．16 C．24 D．328．（5分）下列命题中，错误的是（）A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．平行于同一个平面的两个平面平行 C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行 D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交9．（5分）已知a，b，c是两两不同的三条直线，下列说法正确的是（）A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交 C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等 D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c10．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（）A．28π B． C．20π D．12π11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A． B． C． D．12．（5分）若四面体棱长都相等，则相邻两侧面所成的二面角的余弦值为（）A． B． C． D．二、填空题：（每题5分，共4题）13．（5分）若一个正方体的内切球的表面积为π，则这个正方体的体对角线的长为．14．（5分）已知点M（﹣1，2），直线l：2x+y﹣5＝0，点M关于直线l的对称点Q的坐标是．15．（5分）点（x，y）在直线x+2y＝3上移动，求2x+4y的最小值．16．（5分）已知线段AB的端点A（2，1），B（1，﹣4），直线l过原点且与线段AB不相交，则直线l的斜率k的取值范围是．三、解答题：（共5题）17．（10分）已知两条直线：l1：（m﹣2）x﹣y﹣3＝0，l2：3x﹣my﹣m2＝0，m为何值时，l1与l2：（1）垂直；（2）平行．18．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＝a2+c2﹣ac．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝c＝2，求△ABC的面积；（Ⅲ）求sinA+sinC的取值范围．19．（15分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，M为PD的中点．（1）求证：CM∥平面PAB；（2）求证：CD⊥平面PAC；（3）求三棱锥D﹣PAC的体积．21．（15分）已知点M（3，1），直线ax﹣y+4＝0及圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．（1）求过M点的圆的切线方程；（2）若直线ax﹣y+4＝0与圆相切，求a的值；（3）若直线ax﹣y+4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值．

2020-2021学年新疆乌鲁木齐四中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题5分，共12题）1．（5分）直线x+3y+1＝0的倾斜角为（）A．150° B．120° C．30° D．60°【分析】求出直线的斜率，即可求出直线的倾斜角．【解答】解：直线x+3y+1＝0的斜率是﹣，倾斜角是，故选：A．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．2．（5分）如果直线ax+2y+2＝0与直线3x﹣y﹣2＝0平行，则a＝（）A．﹣3 B．﹣ C．﹣6 D．【分析】由于直线ax+2y+2＝0与直线3x﹣y﹣2＝0平行，故它们的斜率相等，故有﹣＝3，由此解得a的值．【解答】解：由于直线ax+2y+2＝0与直线3x﹣y﹣2＝0平行，故它们的斜率相等，故有﹣＝3，解得a＝﹣6，故选：C．【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等，属于基础题．3．（5分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m∥α⇒n∥α②α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β③m∥n，m⊥α⇒n⊥α④α⊥β，m∥α⇒m⊥β其中正确命题的序号是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③【分析】利用线线、线面、面面的平行与垂直的性质与判定定理，进行判断，即可得出结论．【解答】解：①m∥n，m∥α⇒n∥α还可能有n⊂α，故不正确；②α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β，根据“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”，可知正确；③m∥n，m⊥α⇒n⊥α，根据“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”，可知正确；④α⊥β，m∥α⇒m⊥β还可能是m⊂β或m∥β或m与β相交但不垂直，故不正确．故选：D．【点评】熟练掌握线线、线面、面面的平行与垂直的性质与判定定理是解题的关键．4．（5分）直线kx﹣y﹣k+1＝0与圆x2+y2＝4的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【分析】求出直线恒过的定点，然后判断直线与圆的位置关系．【解答】解：直线kx﹣y﹣k+1＝0恒过（1，1），（1，1）是圆x2+y2＝4内的一定点（1，1），故直线与圆相交．故选：A．【点评】本题考查直线系方程的应用，直线与圆的位置关系的判断，是基础题．5．（5分）若向量＝（0，﹣2），＝（，1），则与2+共线的向量可以是（）A．（，﹣1） B．（﹣1，） C．（，﹣1） D．（）【分析】可求出，从而得出向量与共线．【解答】解：＝；∴与共线．故选：B．【点评】考查向量坐标的加法和数乘运算，共线向量基本定理．6．（5分）在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则B等于（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°【分析】由正弦定理可求得sinB的值，由大边对大角可得B＜A＝45°，从而可解得B的值．【解答】解：由正弦定理可得：sinB＝＝＝∵a＝2＞b＝，∴B＜A＝45°∴可解得：B＝30°故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角的应用，属于基础题．7．（5分）若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a3＝8，则S4的值为（）A．8 B．16 C．24 D．32【分析】由已知结合等差数列的性质求得a1+a4＝8，再由等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：在等差数列{an}中，由a2+a3＝8，得a1+a4＝a2+a3＝8，可得S4＝＝．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和，是基础的计算题．8．（5分）下列命题中，错误的是（）A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．平行于同一个平面的两个平面平行 C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行 D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交【分析】平行于同一条直线的两个平面平行或相交；由面面平行的判定定理，可得结论；由面面平行的性质定理，可得结论；利用反证法，可得结论．【解答】解：平行于同一条直线的两个平面平行或相交，即A不正确；由面面平行的判定定理，可得平行于同一个平面的两个平面平行，即B正确；由面面平行的性质定理，可得一个平面与两个平行平面相交，交线平行，即C正确；利用反证法，可得一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，即D正确．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题．9．（5分）已知a，b，c是两两不同的三条直线，下列说法正确的是（）A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交 C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等 D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c【分析】由空间两直线的位置关系：平行、相交和异面，以及两直线所成角的概念，即可判断正确结论．【解答】解：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面，故A错误；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面，故B错误；若a∥b，则a，b与c所成的角相等，故C正确；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面，故D错误．故选：C．【点评】本题考查空间线线的位置关系和所成角的定义，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．10．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（）A．28π B． C．20π D．12π【分析】判断几何体的形状，然后利用三视图的数据求解几何体的侧面积．【解答】解：由题意可知几何体是圆锥，底面半径为4，高为3，母线为：5．所以几何体的侧面积为：＝20π，故选：C．【点评】本题考查圆锥的侧面积的求法，三视图的应用，是基础题．11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A． B． C． D．【分析】法一：由AD1∥BC1，得∠PBC1是直线PB与AD1所成的角（或所成角的补角），由此利用余弦定理，求出直线PB与AD1所成的角．法二：AD1∥BC1，从而直线PB与AD1所成角为∠PBC1，在正△A1BC1中，BP是∠A1BC1的平分线，由此能求出直线PB与AD1所成的角．【解答】解法一：∵AD1∥BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角（或所成角的补角），设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则PB1＝PC1＝＝，BC1＝＝2，BP＝＝，∴cos∠PBC1＝＝＝，∴∠PBC1＝，∴直线PB与AD1所成的角为．解法二：∵AD1∥BC1，∴直线PB与AD1所成角为∠PBC1，在正△A1BC1中，BP是∠A1BC1的平分线，∴∠PBC1＝．∴直线PB与AD1所成的角为．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．12．（5分）若四面体棱长都相等，则相邻两侧面所成的二面角的余弦值为（）A． B． C． D．【分析】由已知中正四面体的所有面都是等边三角形，取CD的中点E，连接AE，BE，由等腰三角形“三线合一”的性质，易得∠AEB即为相邻两侧面所成二面角的平面角，解三角形ABE即可得到相邻两侧面所成二面角的余弦值．【解答】解：取CD的中点E，连接AE，BE，如下图所示：设四面体的棱长为2，则AE＝BE＝，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为相邻两侧面所成二面角的平面角，在△ABE中，cos∠AEB＝＝故正四面体（所有面都是等边三角形的三棱锥）相邻两侧面所成二面角的余弦值是．故选：B．【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中确定∠AEB即为相邻两侧面所成二面角的平面角，是解答本题的关键．二、填空题：（每题5分，共4题）13．（5分）若一个正方体的内切球的表面积为π，则这个正方体的体对角线的长为．【分析】根据正方体的内切球，可知球的直径等于棱长，即可求解．【解答】解：由题意，正方体的内切球的表面积为π，设棱长为a．可得4（）2π＝π，∴a＝1，∴这个正方体的体对角线的长为＝．故答案为：．【点评】本题考查了正方体的内切球，球的直径等于棱长，球的表面积公式．属于基础题．14．（5分）已知点M（﹣1，2），直线l：2x+y﹣5＝0，点M关于直线l的对称点Q的坐标是（3，4）．【分析】设点M（﹣1，2）关于直线2x+y﹣5＝0的对称点Q的坐标为（a，b），利用垂直及中点在轴上这两个条件，求出a、b的值，可得答案．【解答】解：设点M（﹣1，2）关于直线2x+y﹣5＝0的对称点Q的坐标为（a，b），则，解得a＝3，b＝4，故点Q（3，4），故答案为：（3，4）．【点评】本题考查了点关于直线对称，考查了方程思想，属于基础题．15．（5分）点（x，y）在直线x+2y＝3上移动，求2x+4y的最小值．4【分析】把x+2y＝3，整理后代入2x+4y的关系式，化简整理得2x+4y＝（）2+2进而根据二次函数的性质求得最小值．【解答】解：∵x+2y＝3∴x＝3﹣2y∴2x+4y＝2（3﹣2y）+2（2y）＝+2（2y）＝（）2+2∴当（）＝0时，2x+4y最小，最小值＝2＝4故答案为4【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．要利用好均值不等式及其变形的形式．16．（5分）已知线段AB的端点A（2，1），B（1，﹣4），直线l过原点且与线段AB不相交，则直线l的斜率k的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（，+∞）．【分析】结合图像求出k的范围即可．【解答】解：如图示：k＜KOB或k＞KOA，∵KOB＝﹣4，KOA＝，∴k＜﹣4或k＞，即k的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（，+∞）．【点评】本题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，是基础题．三、解答题：（共5题）17．（10分）已知两条直线：l1：（m﹣2）x﹣y﹣3＝0，l2：3x﹣my﹣m2＝0，m为何值时，l1与l2：（1）垂直；（2）平行．【分析】（1）由l1⊥l2，得3（m﹣2）+（﹣1）×（﹣m）＝0，求解得答案；（2）由两直线平行可得，求解可得m值．【解答】解：（1）由l1⊥l2，得3（m﹣2）+（﹣1）×（﹣m）＝0，解得m＝；（2）由l1∥l2，得，解得m＝﹣1．【点评】本题考查直线的一般方程与直线平行、垂直的关系，是基础题．18．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＝a2+c2﹣ac．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝c＝2，求△ABC的面积；（Ⅲ）求sinA+sinC的取值范围．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得cosB＝，结合范围B∈（0，π），可求B＝；（Ⅱ）利用三角形面积公式即可计算得解．（Ⅲ）利用三角函数恒等变换的应用可得sinA+sinC＝sin（A+），结合范围A+∈（，），利用正弦函数的有界性即可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵b2＝a2+c2﹣ac．∴由余弦定理可得：cosB＝＝＝，∵B∈（0，π），∴B＝；（Ⅱ）∵a＝c＝2，B＝，∴△ABC的面积S＝acsinB＝＝；（Ⅲ）由题意可得：sinA+sinC＝sinA+sin（﹣A）＝sinA+cosA＝sin（A+），∵A∈（0，），A+∈（，），∴sin（A+）∈（，]．故所求的取值范围是：（，]．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的有界性在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（15分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．【分析】（1）根据a1＝﹣7，S3＝﹣15，可得a1＝﹣7，3a1+3d＝﹣15，求出等差数列{an}的公差，然后求出an即可；（2）由a1＝﹣7，d＝2，an＝2n﹣9，得Sn＝＝＝n2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，由此可求出Sn以及Sn的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，a1＝﹣7，S3＝﹣15，∴a1＝﹣7，3a1+3d＝﹣15，解得a1＝﹣7，d＝2，∴an＝﹣7+2（n﹣1）＝2n﹣9；（2）∵a1＝﹣7，d＝2，an＝2n﹣9，∴Sn＝＝＝n2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，∴当n＝4时，前n项的和Sn取得最小值为﹣16．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，属于中档题．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，M为PD的中点．（1）求证：CM∥平面PAB；（2）求证：CD⊥平面PAC；（3）求三棱锥D﹣PAC的体积．【分析】（1）作出辅助线，利用直线与直线平行即可证得线面平行；（2）利用勾股定理和线面垂直的定义证得直线CD与平面内的两条相交直线垂直即可证得题中的结论；（3）结合（2）中的结论和棱锥的体积公式即可求得三棱锥的体积．【解答】（1）证明：若E为PA中点，连接EM、EB，由M为PD的中点，∴且EM∥AD，又AD∥BC且，即EM∥BC且EM