辽宁省大连市金州新区第七中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析

辽宁省大连市金州新区第七中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设数列{an}的前n项和Sn，若，则a4=（

）A.27

B.－27

C.

D.参考答案：B∵，两式相减得：2，即当时，，∴∴,∴故选：B2.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝（

）A．－

B．－1

C．1

D．参考答案：B略3.若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P、Q都在函数f(x)的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对”)．已知函数则f(x)的“友好点对”有________个．参考答案：2略4.复数对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：C【分析】先化简复数，再找到其对应的点所在的象限得解.【详解】由题得.所以复数对应的点为（-1,-1）,点在第三象限.故选：C【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知全集是实数集R，={

},N={1,2,3,4},则（eRM）N等于（

）A．{4}

B.{3,4}

C.{2,3,4}

D.{1,2,3,4}参考答案：B6.如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9参考答案：A【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得此程序框图的功能是计算并输出S=+的值，结合选项，只有当S的值为0.7时，n不是正整数，由此得解．【解答】解：模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数n，求+的值S，并输出S，由于S=+=1+…+﹣=1﹣=，令S=0.7，解得n=，不是正整数，而n分别输入2，3，8时，可分别输出0.75，0.8，0.9．故选：A．【点评】本题主要考查了直到型循环结构的程序框图，解题的关键是判断程序框图功能，属于基础题．7.如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（

）A.4 B.5 C.8 D.9参考答案：B【分析】由几何概型中的随机模拟试验可得：，将正方形面积代入运算即可．【详解】由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，则其中落入黑色部分的有605个点，由随机模拟试验可得：，又，可得，故选B．【点睛】本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.8.已知直线与双曲线交于，两点(，在同一支上),为双曲线的两个焦点,则在A．以，为焦点的椭圆上或线段的垂直平分线上

B．以，为焦点的双曲线上或线段的垂直平分线上C．以为直径的圆上或线段的垂直平分线上D．以上说法均不正确参考答案：略9.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（

）A.若，则

B.若，则C.若，则

D.若，则参考答案：C10.设是复数的共轭复数，满足，则

A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为坐标原点，动点满足，、，则的最小值为

．参考答案：详解：由题意设P点坐标为，则==，其中为锐角．易知的最小值为，，∴的最小值不．

12.（3分）设x，y满足约束条件若的最小值为，则a的值．参考答案：1【考点】：简单线性规划的应用．【专题】：计算题；数形结合．【分析】：先根据约束条件画出可行域，再利用z的几何意义求最值，只需求出何时可行域内的点与点（﹣1，﹣1）连线的斜率的值最小，从而得到a的值．解：先根据约束条件画出可行域，因为z的值就是可行域内的点与点（﹣1，﹣1）连线的斜率的值，当点在可行域内的（3a，0）时，有最小值为，即=，解得：a=1．故答案为：1．【点评】：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．13.等差数列中，公差，，则_____________.参考答案：14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆在点处的切线方程为

．参考答案：ρcosθ=2知识点：简单曲线的极坐标方程解析：由ρ=2cosθ得，ρ2=2ρcosθ，则x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1，在点M（2，0）处的切线方程为x=2，所以切线的极坐标方程是：ρcosθ=2．故答案为：ρcosθ=2．【思路点拨】求出极坐标的直角坐标，极坐标方程的直角坐标方程，然后求出切线方程，转化为极坐标方程即可．

15.如果函数，，关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是▲

．参考答案：略16.如图，在平面斜坐标系中，。斜坐标定义：如果，（其中分别是轴，轴的单位向量），则叫做P的斜坐标。（1）已知P的斜坐标为，则

。（2）在此坐标系内，已知，动点P满足，则P的轨迹方程是

。参考答案：

本题是新信息题，读懂信息，斜坐标系是一个两坐标轴夹角为的坐标系。这是区别于以前学习过的坐标系的地方。（1），（2）设，由得，整理得：。本题给出一个新情景，考查学生运用新情景的能力，只要明白了本题的本质是向量一个变形应用，问题即可解决。17.复数的虚部为_______________.参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习。甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.（1）设事件A为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A发生的概率；（2）用X表示抽取的4人中乙组女生的人数，求随机变量X的分布列和期望参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，.【分析】（Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求.（Ⅱ）先由题得可能取值为,再求x的分布列和期望.【详解】（Ⅰ）（Ⅱ）可能取值为,,,,,的分布列为0123

.【点睛】本题主要考查古典概型的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.等腰△ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P的位置，使二面角P﹣AE﹣C的大小为120°，设点P在面ABE上的射影为H．（I）证明：点H为BE的中点；（II）若AB=AC=2，AB⊥AC，求直线BE与平面ABP所成角的正切值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角．【分析】（I）证明：∠CEP为二面角C﹣AE﹣P的平面角，则点P在面ABE上的射影H在EB上，即可证明点H为EB的中点；（II）过H作HM⊥AB于M，连PM，过H作HN⊥PM于N，连BN，则有三垂线定理得AB⊥面PHM．即面PHM⊥面PAB，HN⊥面PAB．故HB在面PAB上的射影为NB，∠HBN为直线BE与面ABP所成的角，即可求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．【解答】（I）证明：依题意，AE⊥BC，则AE⊥EB，AE⊥EP，EB∩EP=E．∴AE⊥面EPB．故∠CEP为二面角C﹣AE﹣P的平面角，则点P在面ABE上的射影H在EB上．由∠CEP=120°得∠PEB=60°．…（3分）∴EH=EP=EB．∴H为EB的中点．…（6分）（II）解：过H作HM⊥AB于M，连PM，过H作HN⊥PM于N，连BN，则有三垂线定理得AB⊥面PHM．即面PHM⊥面PAB，∴HN⊥面PAB．故HB在面PAB上的射影为NB．∴∠HBN为直线BE与面ABP所成的角．…（9分）依题意，BE=BC=2，BH=BE=1．在△HMB中，HM=，在△EPB中，PH=，∴在Rt△PHM中，HN=．∴sin∠HBN=，tan∠HBN=．…（12分）【点评】本题考查线面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.（本小题12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．

参考答案：解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．故所求概率为．（Ⅱ）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．故所求概率为P（）=P（）+P（）=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．由题意知：P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2．故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．（Ⅲ）>>=>>．

21.（本小题满分13分）设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。参考答案：本题主要考查求点的轨迹问题，要熟悉常见轨迹问题的求法，本题主要考查了相关点转移法；要求点轨迹方程,可先求点轨迹方程，然后利用P点坐标和Q点坐标之间的关系代换求出P点的轨迹方程。设,则,,,.∵,.∵点在抛物线上运动,,

①又∵,,,又代入①整理得,∴所求点轨迹方程为.22.本题满分12分)已知是函数的一个极值点．

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当，时，证明：参考答案：（Ⅰ）解：，

--------------------2分由已知得，解得．