有限元程序设计梁单元静力问题

1有限元程序设计谷音福州大学土木工程学院2010——梁单元，静力问题2§1.介绍.框架结构，例如桁架、桥梁受弯构件flexuralelements梁轴力构件axialelements杆平面梁单元planebeamelement3§2.经典梁单元(Bernoulli-Euler)Beam平面－梁－假设Plane-beam-assumption中面法线在变形后仍保持和中面垂直的直法线假设小变形理论One-variablebeamtheory几何关系物理关系（应力应变关系）梁在纯弯曲时的平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。4平衡方程边界条件ororwherek——曲率M,Q——弯矩，剪力I——惯性矩5最小势能原理典型C1连续问题通常梁分析中常用2节点Hermite单元6其中引入变形到最小ΠP,得到7Pj

——集中荷载;Mj

——弯矩力偶。e.g.对于均匀分布荷载8§3.铁木辛柯梁理论对剪切变形的影响3.1理论只考虑剪切变形变形后轴线切向与变形前轴线之间的转角β(x).9其中ψ

(x)为只考虑梁弯曲理论中的线性单元转角.假设:截面上均匀分布剪应变弯曲产生的位移：β(x)相应给出沿着中线剪切角γxz10内部力其中假设11实际上τxz采用以下形式：其中变量与z相关。为了确定截面的不均匀剪应力分布，引入因素k修正剪应力：12其中k为与截面及泊松比µ相关的函数,可从弹性理论推导得到假设变形场的整体势能为：1314铁木辛柯梁单元—采用两个独立变量3.2离散公式挠度w截面曲率，不考虑剪切每个单元的节点数量Lagrange插值函数151617挠度与转动采用了同阶的插值表示式。dw/dx

与ψ不同阶，因此，泛函中的第二项中的dw/dx-ψ的积分，对于柔性梁（l/n趋于无穷大时）会被严重放大。除非ψ是常数（没有弯曲变形），否则，dw/dx-ψ不会为零。这种现象称为剪切闭锁。

shear-locking18几种方法避免产生剪切闭锁减缩积分数值积分采用比精确积分要求少的积分点数假设剪切应变替代插值函数举例说明1920Timoshenko梁（采用精确积分）21采用缩职减积分2223结构笑离散取杆现件与兰杆件拣交点著、集症中力懒作用位点、曲杆件并与支盲承的侧交点诉为节设点。膝相邻耕两节幸点间赌的杆躺件段劲是单趁元。室节点宗编号尝时力趟求单元两口端点号研差最小隆。24坐标系有限元慨中的坐能标系有徐整体坐稍标系和蹲局部坐忙标系。灰对于一扶个结构缠，整体起坐标系步一般只哭有一个童；而局础部坐标谷系有很凡多个，箩一个单块元就有藏一个局豆部坐标究。并且奇局部坐狠标系每扩一个单纱元的规粪定都是捷相同的馒，这样辆，同类增型单元乔刚度矩捷阵相同璃。XY○○○○○Pxyxy25杆系哥结构你单元动主要层有铰馒接杆土单元穿和梁坟单元万两种牧类型苦。它框们都毯只有2个节点i、j。约定仪：单元坐消标系的叹原点置貌于节点i；节点i到j的杆则轴（迫形心宫轴）液方向与为单侧元坐取标系艰中x轴的正犯向。y轴、z轴都与x轴垂直疗，并符喊合右手亩螺旋法神则。对于梁毙单元，y轴和z轴分垫别为期横截贴面上题的两驴个惯炕性主才轴。xyzij··26平面悬桁架尼杆单纳元（2D骑L蜜IN搞K1）空间杆躺单元（3D扭L尊IN两K8）平面生刚架双，BE狸AM求3空间以梁单托元(BE顷AM4艳)272-朴D惯El将as宜ti吼c乳Be贤amthr路ee究deg语ree宝so接ff复ree蛙dom胜at陵ea慌ch尊nod吗eAns框ys28BE赖AM伟3is话au摘nia昂xia银le勾lem战ent招wi虾th付ten科sio如n,伶com到pre绘ssi屈on,叠an然db胆end愚ing械ca厌pab职ili卖tie凳sBEA刃M232-D么Pl交ast芳ic催Bea厦mau绍nia叮xia漠le峰lem努ent烂wi揭th敏ten引sio护n-c嫂omp勇res碌sio语na够nd挠ben膝din敌gc刮apa除bil并iti粱esTh麦is则e泛le瓦me肯nt忙a估ll徒ow蚁s建a胀di达ff抛er氧en放t治un材sy朵mm绳et困ri蹲ca卸l产ge侨om列et怖ry矿a团t恩ea芬ch钩e忽nd坟a登nd巷p丑er抵mi捆ts蜜t您he笛e蹲nd灿n型od班es叔t恒o伙be肢o疗ff艰se明t其fr圾om精t本he旋c凳en毁tr淡oi稻da堤l李ax但is起o旗f归th粮e午be柄amBEA与M542-非D太El骡as掀ti华c葛Ta角pe族re医d股Un杨sy饱mm璃et滔ri紫c缠Be鼻am29303-D览El敞ast单ic困Bea评mBE蝴AM数4is贯a棕u痰ni匠ax枣ia猾l纤el篮em面en奸t贱wi友th瓜t瓦en赤si军on邪,驳co字mp瓣re货ss掌io砍n,蔬t剂or戴si活on岭,膏an燥d题be墓nd赛in辉g伪ca拢pa摆bi岛li葵ti覆es蒸.six相de震gre树es苹of烂fre效edo振ma响te绿ach培no供deBEA勇M243-D糟Th养in-殖wal耍led贪Be倾amThe教el过eme饭nt叹has身pl共ast持ic,唉cr算eep伴,a吗nd尸swe寸lli众ng璃cap绸abi舟lit娱ies驼in翼th雨ea刻xia离ld松ire忆cti滥on缴as绩wel坛la弟sa月us屿er-牵def丘ine粱dc伶ros请s-s厅ect董ion萝.Thi势se克lem秆ent蓄al晃low键sa目di拨ffe吼ren械tu葱nsy虫mme旺tri杯cal洒ge辞ome忍try赚at昼ea驾ch习end武an敢dp袍erm歉its把th质ee袍nd误nod奖es逃to锈be遍off告set距fr虹om辞the什ce租ntr巧oid拉al赚axi洞so胖ft薪he进bea如mBE惠AM胖443-午D册El振as刘ti垒c呆Ta樱pe蛮re鲁d华Un处sy因mm朱et罩ri佳c堡Be刘am313233BEA国M18靠83-D旗Li拜nea倦rF技ini这te傻Str链ain伙Be闹amBEA阻M18拿8is汗s核ui黄ta压bl孔e左fo停r筋an洲al甜yz贩in均g温sl灿en步de适r宁to疮m陕od源er摸at乱el群y消st柿ub维by潜/t冤hi才ck伴b另ea蝴m易st滔ru搏ct犁ur说es腥.姻Th简is龟e签le拒me羽nt虏i芝s稀ba闻se墙d倚on启T路im贵os辛he新nk彩o番be停am砖t户he锈or高y.塘S次he稀ar独d盾ef沟or饱ma教ti峰on湖e狼ff址ec票ts鬼a朽re令i西nc诱lu虫de陪d.Th硬is俭e剂le梨me衰nt坡i蔽s渴we屋ll霸-s唐ui视te偶d杠fo热r过li足ne富ar妥,晋la蚀rg竿e汁ro光ta歌ti后on轻,惹an锡d/雁or皇l卵ar坡ge蓬s回tr猫ai便n恼no映nl绵in元ea但r饲ap皮pl驻ic盘at寻io请ns句.3435BEA挨M18卧93-扬D悲Qu抓ad盐ra初ti棋c宿Fi驳ni通te矩S壤tr徐ai争n驶Be土amBE宰AM拉18负9醋is后a袋q且ua精dr牺at藏ic踏(款3-遵no熔de技)债be慈am旱e炊le淘me段nt绝i鞋n级3-伯D.For丽a俊des忘cri饼pti石on仪of医the缸lo浸w-o瓶rde国rb微eam恋,s院eeBEA纽奉M18测8.3637有限元箱程序设画计方法皇简介程序油基本段框图1、输入穴基本数姓据（结险构描述渗）：（1）控洁制数怀据：位如结廊点总金数、婚单元取总数滴、约翠束条位件总疾数等对；（2）结叨点数慌据：夜如结现点编种号、玻结点歉坐标穿、约什束条汁件等未；（3）单元汇数据：共如单元决编号、餐单元结天点序号基、单元肯的材料捐特性、古几何特逮性等；（4）载荷兄数据：协包括集顶中载荷锯、分布橡载荷等资。开始输入基本数据计算单元刚度矩阵形成总体刚度矩阵形成结点荷载向量引入约束条件求解方程组，输出结点位移计算单元应力，输出结果结束382、单元纠分析（1）各售单元谣的bi,ci(i,畅j,念m)，重面积A；（2）应变叉矩阵[B奇]，应力束矩阵[S]；（3）单元租刚度矩斑阵[k]；（4）单副元等兽价载胀荷列薪向量[F渐]。开始输入基本数据计算单元刚度矩阵形成总体刚度矩阵形成结点荷载向量引入约束条件求解方程组，输出结点位移计算单元应力，输出结果结束3、系榆统分鉴析（1）整科体刚沸度矩但阵[K婶]的组电装；（2）整触体载屋荷列纷阵{P敬}的形成挂；[K]的存房诚储；箩约束袋引入幸；求星解39总刚存脖贮全矩阵府存贮法震：不利崖于节省捞计算机滨的存贮暑空间，扩很少采欣用。K[i辅,j]对称三锄角存贮浓法：存短贮上三室角或下迈三角元挪素。半带宽围存贮法信：存贮虑上三橡角形题（或登下三思角形晴）半迁带宽暗以内企的元书素嫌。一维压开缩存贮业法：半带斧宽存猾贮中燥仍包棒含了穿许多识零元泄素。却存贮敲每一东行的扎第一门个非跟零元帆素到虑主对煎角线认元素搏。40等带宽形式UBWUBW行号1→IR

→N→1列号JC行号1→IR→N→1JC-(IR-1)方阵形式（1）半雅带宽李存贮倚法41方阵存带贮和半壶带宽存笔贮地址秘关系存贮方式行号列号方阵存贮IRJC等带宽存贮IRJC-IR+1半带渔宽计龄算：匆设结赵构单嗽元网悄格中触相邻婆结点显编号必的最雨大差润值是d，则最川大半带涂宽为UBW：结点编扇号：欲就使最大奖半带宽UB绪W最小，省必须注死意结点辰编号方炼法，使期直接联她系的相闹邻节点拘的最大烈点号差编最小。42举例B=昆2(蛾4-添1+走1)像=沫8B=爬2(漆6-碰1+惨1)吸=程1够2Adv料ant甘age午so匹f2牺DS纤tor蔬age1)S恳pac抚e-s甲avi估ng;减2)按Eas诉yt舞ob柴ec纵omp溪ute慌riz师edDis诊adv自ant辟age扎so气f2斗DS侄tor问ageEn义or微mo寺us件s拥to巩ra宪ge衡i见s游re忆qu领ir踪蝶ed桥w石he哄n煮lo涛ca锅l穿ba亭nd狮wi传dt悦h皂is励l县ar穴ge铸.43例：计异算下图窝半带宽鸡。结点数N=9恼1，总刚[K拢]中的元具素总数页为：82（91索×2）×（91些×富2）=33州124最大半雕带宽UBW险=(7库+1)摆×2脉=16，半岁带宽贪存储触矩阵裳元素赠总数驱为18择2咬×1确6=通29森12，约印方阵倚元素恢的8.8寺%。44（2）变秘带宽存蠢贮（一维压善缩存赌贮）等带宽柏存贮虽摇然已经螺节省了薪不少内故存，但虽认真研坟究半带度宽内的嫁元素，狂还有相握当数量栽的零元搞素。在小平衡方僵程求解楼过程中增，有些猴零元素工只增加浅运算工绘作量而顿对计算僚结果不浴产生影雾响。如丢果这些肌零元素雕不存、帝不算，嗓更能节宇省内存辞和运算陡时间，零采用变忍带宽存叨贮可以谦实现（彻也称一驴维数组意存贮）太。变庄带宽存译贮编程贤技巧要织求较高于，程序偶较长。45对称方阵养形式难的刚拥度矩炕阵[K]UBW=4顶线顶线盆以上丸零元背素无森须存证贮，售仅顶泄线以石下元照素。46124610121618MAXA22一维数捷组[A]存贮服刚度炎矩阵[K]47变带宽前存贮：陕按列存辩贮方式惰。从左到橡右，逐嫌列存放符；对每斩一列，搁先存主菠对角线骑元素，瓦然后由说下而上万顺序存泰放，直贤到顶线宝下第一骂个元素思为止。为避免你混淆，补我们把腰存贮[K付]的一确维数传组称桃为[A]。实现件变带素宽存企贮的寺关键持问题州是：进总刚五中元湾素Kij在一维狭数组A中的应地址啊是什四么？笨为此踪蝶，需锅要知塘道主躺元Kii在A中的位阵置和相盛应列高hi。主元位钩置：采拍用一个连一维数焰组MA敬XA存主元完在A中位泡置。MAX滑A=草[1,社2,4絮,6,句10,损12,伤16,搏18，22]。列高hj：第j行的态左带事宽。48从第j列的精主对摇角线厅元素革起到殃该列诱上方熊第一仿个非日零元闷素为唇止，升所含哀元素浑的个郊数称奏为第j列的列高，记为hj；如锡果把余第j列上投方第1个非百零元彻素的淋行号记为mj，则祝第j列的研列高鞠为hj=占j泻-枣mj+1其实室，hj就是第j行的左警带宽，柜因而必阶有UB蹲W=抄m豆ax感(hj)j=袄1,逆2,蜻…零,N利用素节点方位移丛信息祸数组ID（去约罢束后节悼点位移驼自由度锄编码）帅，可容执易地确抗定刚度盼矩阵[K]任何妈一列装的列碧高。491234①②③④1○○○○○○6783452xY例：求辩图示框会架结构h7=?。利用ID数组盖得各变单元奥的连殊接数影组LM（假定坐小号为i）（1）ID数组节点号霉：1拾2哲3输4按列，则遇1变0，遇0加1。50连接宵数组钳：1号单独元：LM=游[0,感0,晌1,节0,湾0,颈2]2号单歼元：LM=币[0,坏0,揭2,诞3,考4,态5]3号单叼元：LM=中[3,稳4,密5,楼6,工7,趴8]4单元碑：LM括=[锄0,捞0逼,顽1,务6孟,湖7,斗8译]1234①②③④1○○○○○○6783452xY1旺2症3蓄451a)如果ID（i,j)混=宁0则表明j号节点趟第i个自由陕度受有购约束。b)如果ID凭(i,j)害≠投0则j号节卸点第i个自由塌度不受蛋约束。许并且，j号节帐点第i个位移扎分量在格非约束念节点位截移列向杜量f中的喇序号神就是:ID竖(i,j)52主元在一校维数杆组[A涉]中的地宏址数组MAX址A的长门度是[K玻]的行或绩列数加1（N+1）。[K]的任请何一隶个主汇对角郊元在秃一维鬼数组A中的肾地址姑：第j列主对扎角线元微素