中科大《线性代数与解析几何》讲义5线性变换

1第五章线性变换?5.1线性变换的概念?5.1.1线性变换的定义定义5.1.1.设U,V为数域F上的两个线性空间,映射爱:U二V称为线性映射,如爱(x+y)=爱(x)+爱(y)(5.1)爱(λx)=λ爱(x)(5.2)则称爱为从线性空间U到线性空间V的线性映射.特别地,如果U=V,则称爱为线性空间V上的一个线性变换.?5.1.2线性变换的例子例5.1.1.把每个向量映为自身的变换侈:侈(x)=x,x∈V;以及把每个向量映为V不难看出这两个变换为线性变换.侈称为单位变换或恒等变换,份称为零变换.例5.1.2.设Fn为数域F中的n元数组空间,A=(aij)nxn为n阶方阵.变换爱:Fn二Fn定义为:对每个x=(x1,x2,...,xn)\∈Fn(这里我们用列向量表示Fn中的向量),╱a11a12...a1n、╱x1、爱(x)=x.2由矩阵的乘法法则知变换爱为线性变换.映射或变换是一个几何概念,我们日常生活中经常碰到的镜面反射、旋转等都是线性变换.例5.1.3.本例中,我们用列向量表示R2的向量.变换爱:R2二R2将每个向量α映到α关于X轴对称的向量(见图1).设α=ì、,则爱(α)=ìx_y、.用矩阵表示就是爱(α)=爱)ì、/=、ì、由例5.1.2知爱为线性变换,称为关于X轴的镜面反射.2第五章线性变换设变换爱:R2二R2是将每个向量α逆时针旋转9角的变换.设α=ì、,爱(α)=ì、.我们利用复数来计算,.设向量α对应的复数为reio.则爱(α)对应的复数为rei(o+9).因此=rcos(o+9)=rcosocos9_rsinosin9=xcos9_ysin9=rsin(o+9)=rcososin9+rsinocos9=xsin9+ycos9用矩阵表示就是爱(α)=爱)ì、/=、ì、·由例5.1.2知爱为线性变换,称为旋转变换.下面介绍我们熟悉的空间中的一些线性变换.例5.1.4.在Pn[x]中,设爱为微分算子爱(p(x))=p(x)·由微分法知爱为线性变换.例5.1.5.在由2阶方阵构成的线性空间中,对取定的方阵M=ì、,定义变换爱ì、=ì、ì、由矩阵的乘法法则不难看出爱为线性变换.?5.1.3线性变换的性质下面的命题给出了线性变换的一些简单性质.命题5.1.1.设爱:V二V为线性变换,则(1)爱(9)=9;爱(_a)=_爱(a),a∈V(2)若α1,α2,...,αm为V中线性相关的向量,则爱(α1),爱(α2),...,爱(αm)也线性相关.?5.2线性变换的矩阵3证明:(1)爱(9)=爱(0.a)=0.爱(a)=9;爱(_a)=爱((_1)a)=(_1)爱(a)=_爱(a).λ1α1+λ2α2+...+λmαm=9·两边用线性变换爱作用后,得到λ1爱(α1)+λ2爱(α2)+...+λm爱(αm)=爱(λ1α1+λ2α2+...+λmαm)=爱(9)=9m.□这个命题说明线性相关的向量组经过线性变换后,仍保持线性相关性.特别地将它应用到R3空间就意味着线性变换把共线的向量映为共线的向量,把共面的向量映为共面的向量.但是它的逆命题不成立.线性无关的向量经过线性变换后,可以成为线性相关的.例如零变换.?5.2线性变换的矩阵我们将数域F上n维线性空间V的全体线性变换所构成的集合记为L(V),将数域F上的全体n阶方阵所构成的集合记为Mn(F).本节我们将说明在给定的一组基下,集合L(V)与集合Mn(F)之间存在一一对应.?5.2.1线性变换在一组基下的矩阵定义5.2.1.设爱:V二V为n维线性空间V上的线性变换,(α1,α2,...,αn)为V的一组基.如果数域F上的方阵A满足则称方阵A为线性变换爱在基(α1,α2,...,αn)下的矩阵.注1.由定义知矩阵A的第j列恰为爱(αj)在基(α1,α2,...,αn)下的坐标,因此一个线性变换在给定的一组基下的矩阵是唯一的.VV...,αn)下的矩阵为A.x,y∈V且y=Y=AX(5.4)证明:设X=,Y=·则xnyn(xnyn4第五章线性变换xn=爱(x1α1+...+xnαn)=x1爱(α1)+.xn=爱(x1α1+...+xnαn)=x1爱(α1)+...+xn爱(αn)╱x1、nxnxn╱x1、(α1,...,αn)A、xnxn由于一个向量在一组基下的坐标是唯一的,我们得到(5.4)式.(5.5)(5.6)□下面我们来看如何计算线性变换爱在一组基下的矩阵A.例5.2.1.设例5.1.2中线性变换爱在自然基e1,e2,...,en下的矩阵为.由爱的定义知╱a11a12...a1n、╱1、╱a11、爱(e1)=0..=a2..1因此的第一列与A的第一列相同.同理,的第j(2<j<n)列与A的第j列相同.所以=A,即爱在自然基e1,e2,...,en下的矩阵为A.作为推论,例5.1.2中的变换爱在自然基下的矩阵为A,例5.1.3中对称变换和旋转变换在自然基下的矩阵分别是、,、·例5.2.2.在例5.1.5中,取基e1=ì、,e2=ì、,e3=ì、,e4=ì、·B8．?5.2线性变换的矩阵5则爱(e1)=ì爱(e2)=ì爱(e3)=ì爱(e4)=ì、ì80B、80、ì80B、80、=ì、=ì0B0B08、=ì、=αe1+0e2+ye3+0e4、=0e1+αe2+0e3+ye4Bee2+8e3+0e4、=0e1+Be2+0e3+8e4╱αA=A=0α0yB080上例中的变换爱虽然是由通过左乘矩阵M得到,但爱在自然基下的矩阵AM,它们的阶数甚至都不相同.读者应注意它与例5.1.2的区别.?5.2.2L(V)与Mn(F)的一一对应下面的定理指出了L(V)与Mn(F)之间的一一对应关系.定理5.2.2.设V为数域F上的n维线性空间,α1,α2,...,αn为V的一组基.则存在一一映射o:L(V)二Mn(F),使得对每个爱∈L(V),o(爱)为爱在基α1,α2,...,αn下的矩阵.?5.2.3线性变换的运算虽然我们发现了一一对应o,但它仅仅是两个集合间的一种对应关系,它是否能保持更多的数学结构呢?例如Mn(F)在矩阵的加法和数乘下构成数域F上的一个线性空间,在L(V)中能否引入适当的运算,使之成为线性空间,并使o成为线性同构呢?答案是肯定的.设爱,s∈L(V),λ∈F,定义爱+s,λ爱,s。爱∈L(V)如下:对每个x∈V,(爱+s)(x)=爱(x)+s(x)(λ爱)(x)=λ爱(x)(s。爱)(x)=s╱爱(x)、不难看出L(V)在上述加法和数乘运算下构成线性空间.6第五章线性变换定理5.2.3.设o:L(V)二Mn(F)为定理5.2.2中定义的映射.则对爱,s∈L(V),λ∈F,有(1)o(爱+s)=o(爱)+o(s),(2)o(λ爱)=λo(爱),(3)o(s。爱)=o(s).o(爱)·特别地,(1),(2)表明o为线性同构.证明:□?5.3矩阵的相似线性变换的矩阵是以空间的一组取定的基为前提的.一般来说同一线性变换在不同基下的矩阵是不一样的.现在我们来寻找同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系.定理5.3.1.设线性变换爱在V的两组基α1,α2,...,αn和B1,B2,...,Bn下的矩阵分ABn基B1,B2,...,Bn的过渡矩阵为T,则B=T_1AT证明:已知爱(α1,α2,...,αn)=(α1,α2,...,αn)A于是=(α1,α2,...,αn)(AT)=(B1,B2,...,Bn)(T_1AT)□定义5.3.1.设A,B为数域F上的两个n阶方阵,如果存在数域F上的n阶可逆方阵T,使得B=T_1AT,则称A与B(在数域F上)相似,记为A~B.7?5.4特征值和特征向量7命题5.3.2.矩阵的相似关系为等价关系,即满足以下三个条件:(1)(反身性)A~A;(2)(对称性)若A~B,则B~A;(3)(传递性)若A~B,B~C,则A~C.证明:(1)因为A=I_1AI,所以A~A.(2)设A~B,则存在可逆方阵T,使得B=T_1AT,所以A=(T_1)_1BT_1,即B~A.A(3)设A~B,B~C,则存在可逆方阵T,S,使得B=T_1AT,C=S_1BS,所以C=S_1(T_1AT)S=(TS)_1A(TS),即A~C.□由于相似关系为等价关系,可以将n阶方阵按相似关系进行分类:将相互之间相似的方阵归成一类.两个类要么是一样的,要么就不相交.每个类称之为一个相似类,该类中的每个元素都称为一个代表元.定理5.3.1指出:一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的.那么反过来,属于某一相似类的所有方阵,是否都是该线性变换在不同基下对应的矩阵呢?回答是肯定的.事实上,设A为线性变换爱:V二V在基α1,α2,...,αn下的矩阵.若B为A所在的相似类中的任一元素,则B与A相似,即存在可逆方阵T,使得B=T_1AT.令BB..,Bn也是V的一组基,且不难验证爱在这组基下的矩阵为B.一般说来,一个线性变换的性质与空间的基没有关系.因此,通过矩阵研究线性变换的性质时,只有相似的矩阵都具有的性质,才有可能反映线性变换的性质.如果一个性质为某个方阵所具有,则与之相似的方阵也具有该性质,则称该性质为一个相似不变量.例如,方阵的行列式和秩都是相似不变量.读者可以思考这两个不变量反映的是线性变换的哪些性质.在下一节中我们要介绍更多的相似不变量.?5.4特征值和特征向量?5.4.1特征值与特征向量的定义定义5.4.1.设A为数域F上的n阶方阵,如果存在λ∈F及非零向量X∈Fn,使得AX=λX,则称λ为方阵A的一个特征值,而称X为属于特征值λ的一个特征向量.命题5.4.1.设A为数域F上的n阶方阵,则8第五章线性变换(1)λ∈F为A的特征值当且仅当齐次方程组(λI_A)X=0有非零解.(2)属于A的不同特征值的特征向量是线性无关的.证明:(1)是显然的,下面证明(2).设λ1,λ2,...,λk为A的互不相同的特征值,X1,X2,...,Xk为相应于它们的特征向量.用数学归纳法证明.当k=1时,X19,它是线性无关的.假设k_1时命题成立,下面证明对k命题成立.假设u1X1+u2X2+...+ukXk=9用λk乘(5.7)式两端,得u1λkX1+u2λkX2+...+ukλkXk=9用A左乘(5.7)式,得u1λ1X1+u2λ2X2+...+ukλkXk=9(5.8)式减(5.9)式,得(5.7)(5.8)(5.9)u1(λk_λ1)X1+...+uk_1(λk_λk_1)Xk_1=9·由归纳假设知,uj(λk_λj)=9,j=1,2,...,k_1,由于λk_λj0,我们得到u1,u2,...,uk_1=0.再由(5.7)知ukXk=9.因为Xk9,所以uk=0.这就证明了X1,X2,...,Xk线性无关.□?5.4.2特征值与特征向量的算法设λ为方阵A的一个特征值,由上述命题知,(λI_A)X=0的解空间为Fn的非平凡的线性子空间,我们称之为矩阵A的属于特征值λ的特征子空间,记作Vλ.Vλ恰好由属于λ的所有特征向量和零向量组成.因此,属于λ的两个特征向量的和以及属于λ的特征向量的倍数仍然是属于λ的特征向量.λ为A的特征值午÷(λI_A)X=0有非零解午÷det(λI_A)=0对于给定的n阶方阵A,det(λI_A)是以λ为变量的n次多项式.定义5.4.2.设A是数域F上的n阶方阵,λ∈F,称det(λI_A)为矩阵A的特征多项式,记为pA(λ).?5.4特征值和特征向量9由上面的分析,λ为矩阵A的特征值当且仅当λ为A的特征多项式的根.但是,数域F上的多项式在数域F中并不一定有根,例如F=R时.为了确保特征值的存在性,在本章剩下的各节中,除非特别申明,我们总假设F=C.由代数基本定理知,一个n次复系数多项式恰有n个根,因此每个复数域C上的n阶方阵中恰有n个特征值.复数域C上的方阵A的特征值和特征向量的算法如下:(1)计算特征多项式pA(λ)=det(λI_A).设pA(λ)=(λ_λ1)n1(λ_λ2)n2...(λ_λs)ns,(2)对每个特征值λi,求解方程组(λiI_A)X=0·设Xi1,Xi2,...,Ximi为它的一个基础解系,则所有的非零线性组合c1Xi1+c2Xi2+...+cmiXimi为A的属于λi的所有特征向量.例5.4.1.求矩阵╱3_1_2、A=20_2(2_1_1．全部特征值和特征向量.解:A的特征多项式为λ_3λpApA(λ)=lλI_Al=_21λ_22λ1由pA(λ)=λ(λ_1)2=0,得到A的全部特征值为λ1=0,λ2=λ3=1.下面求各个特征值对应的特征向量.对于λ=0,解方程组(0I_A)X=0,即解_202x2=0·(_211．(x3．(0．解得特征值0对应的特征向量为c11(c10)(1．10第五章线性变换对于λ2=λ3=1,解方程组(I_A)X=0,即解_112x2=0·(_212．(x3．(0．解得特征值1对应的特征向量为c22+c3_2(c2,c3不同时为零)(0．(1．下面讨论特征多项式的基本性质.命题5.4.2.相似的矩阵具有相同的特征多项式和特征值.证明:设B=T_1AT,其中T为可逆方阵.则lλI_Bl=lλI_T_1ATl=lT_1(λI_A)Tl=lλI_Al因此A和B有相同的特征多项式,从而有相同的特征值.□设A=(aij)为C上的一个n阶方阵,则pA(λ)=│a2n_a12λ_a22..._an2......_a1n_a2n...λ_ann=λn+o1λn_1+...+on_1λ+onn不难看出在上式中,o1=Eaii,on=(_1)nlAl.i=1i另一方面,假设A的n个特征值为λ1,λ2,...,λn,则pA(λ)=(λ_λ1)(λ_λ2)...(λ_λn)·对比上面两式,我们得到下面的命题.命题5.4.3.设A=(aij)为C上的一个n阶方阵,λ1,λ2,...,λn为A的n个特征值.则nn(1)Eaii=Eλi,i=1i=1?5.5(2)det(A)=λ1λ2...λn·推论5.4.1.n阶方阵可逆当且仅当它的n个特征值都不为零nn阶方阵A=(aij)的主对角线上元素之和Eaii通常称为A的迹,记为tr(A).命i=1题5.4.2和5.4.3表明矩阵的特征多项式,特征值,行列式,迹等都是相似不变量.例5.4.2.设n阶方阵A的n个特征值分别为λ1,λ2,...,λn,求I+A的特征值及lI+Al.n解:对λ∈C,lλI_Al=Ⅱ(λ_λi)·因此i=1ilλI_(I+A)l=l(λ_1)I_Aln=Ⅱ(λ_1_λi)ni=1n1+λi)、i=1in因此I+A的n个特征值为1+λ1,1+λ2,...,1+λn,从而lI+Al=Ⅱ(1+λi).i=1i?5.5矩阵的相似对角化本节我们讨论矩阵在相似下的标准性问题.我们希望在每个相似等价类中寻找一个最简单的代表元.对角阵可能是最容易想到的候选代表,但是下面的例子说明这是办不到的,并不是每个矩阵都能相似于对角阵.╱210、例5.5.1.证明3阶方阵A=021不能相似于对角阵.(002．证明:假设A能够相似于对角阵B.由于A的三个特征值都是2,而特征值是相似不变量,因此B的三个特征值也都是2,所以B=2I3.由A相似于B知,存在3阶可逆方阵T,使得A=T_1BT=T_1(2I3)T=2I3(T_1T)=2I3·这显然是矛盾的.因此A不可能相似于对角阵.?5.5.1相似于对角阵的一个充要条件下面给出矩阵相似与对角阵的充分与必要条件.定理5.5.1.数域F上的n阶方阵A相似于对角阵的充分必要条件是:A有n个线性无关的特征向量.证明:必要性:设存在可逆方阵T,使得12第五章线性变换两边左乘T,得记T=(X1,X2,...,Xn),其中Xi(i=1,2,...,n)为Fn中的列向量.则由矩阵的分块运算得(AX1,AX2,...,AXn)=A(X1,X2,...,Xn)╱λ1、=(X1,X2,...,Xn)λ2(λn．因此AXi=λiXi(i=1,2,...,n).所以X1,X2,...,Xn为A的n个特征向量.由于这n个向量构成的矩阵T是可逆的,它们是线性无关的.XXnn令T=(X1,X2,...,Xn),则有AT=A(X1,X2,...,Xn)╱λ1、=(X1,X2,...,Xn)λ2...(λn．□注2.若矩阵A相似于对角阵,则该对角阵的n个主对角线元素恰为A的n个特征值.因此如果不计主对角线上元素的先后次序,该对角阵是唯一的.推论5.5.1.如果矩阵A的n个特征值两两不同,则A相似于对角阵.证明:由命题5.4.1知,不同的特征值对应的特征向量是线性无关的.因此,由上面的定理知推论成立.□?5.5.2特征值的代数重数与几何重数虽然定理5.5.1给出矩阵可对角化的一个充要条件,但是对于给定的方阵,要验证定理的条件却非易事.下面我们将给出一个更加容易验证的充要条件.为此需要几个定义.?5.5给定复数域C上的n阶方阵A,设A的特征多项式为pA(λ)=(λ_λ1)n1(λ_λ2)n2...(λ_λs)ns·称ni为特征值λi的代数重数.特征值λi对应的特征子空间Vλi,即方程组(λiI_A)X=0的解空间的维数称为特征值λi的几何重数,记为mi.定理5.5.1告诉我们一个矩阵要相似于对角阵,必须有足够多的线性无关的特征向量组.命题5.4.1指出不同特征值对应的特征向量是线性无关的,而对每个特征值λi,属于λi的线性无关的特征向量有mi个(参照mi的定义).如果将这些向量放在一起仍然是线性无关的,那就得到一个个数更多的全部由特征向量构成的线性无关的向量组.下面的引理告诉我们这样做是可行的.引理5.5.1.设λ1,λ2,...,λs是矩阵A的s个不同的特征值.Xi1,Xi2,...,Ximi是A的属证明:证明方法是命题5.4.1的证明方法的推广.□下面的引理指出了代数重数与几何重数的关系.引理5.5.2.设λi为n阶复方阵A的特征值,则它的几何重数不超过它的代数重数,即mi<证明:属于特征值λi的特征子空间Vli的维数为mi.取它的一组基α1,α2,...,αmi,将验证).令则=T、因此矩阵A相似于矩阵ìλimi们有1、.由于相似的矩阵有相同的特征多项式,我pA(λ)=(λ_λi)mipA1(λ)而pA(λ)的(λ_λi)的指数等于ni,所以mi<ni.14第五章线性变换□定理5.5.2.复方阵A可对角化的充分必要条件是A的每个特征值的几何重数与代数重数相等.证明:设A为n阶复方阵,其特征多项式为pA(λ)=(λ_λ1)n1(λ_λ2)n2...(λ_λs)ns·特征值λi的代数重数为ni.设λi的几何重数为mi,即方程组(λiI_A)X=0的解空间维数为mi.因此存在mi个属于特征值λi的线性无关的特征向量.由引理5.5.1知,A有m1+m2+...+ms个线性无关的特征向量.由定理5.5.1,A可对角化当且仅当m1+m2+...+ms=n.又由于mi<ni,1<i<s及n1+n2+...+ns=n,因此A可对角化当且仅当mi=ni,1<i<s.□例5.5.2.在例5.4.1中,矩阵A有两个不同的特征值0和1.特征值0的代数重数和几何重数都是1.特征值1的代数重数为2,而特征方程(I_A)X=0的解空间的维数等于2,故特征值1的几何重数也是2,因此A是可对角化的.事实上,令X1=1,X2=2X3=_2,(1．(0．(1．则AX1=0,AX2=X2,AX3=X3.若令T=(X1,X2,X3),则有╱000、T_1AT=010·(001．?5.5.3相似于上三角阵从上面的两个定理可知,不是每个方阵都可以相似于对角阵,但我们可以证明它总可以相似于一个上三角阵.定理5.5.3.任何一个n复方阵A都可以相似于一个上三角阵,且该上三角阵的主对角线上的元素都是A的特征值.证明:对方阵A的阶数n用数学归纳法.当n=1时,命题显然成立.假设命题对n_1阶方阵成立.现在考虑n阶方阵A.设λ1为A的一个特征值,X1为属于λ1的一个特征向量.将X1扩充为Cn的一组基:X1,X2,...,Xn.令T=(X1,X2,...,Xn)?5.6若当标准形简介*15则T为n阶可逆方阵.由AX1=λ1X1知AT=A(X1,X2,...,Xn)=(λ1X1,AX2,...,AXn)·所以T_1AT=ì根据归纳假设,存在n_1阶可逆方阵T1,使得T1_1A1T1为上三角阵.令S=S=T,0T1则S_1=ìT0_11、T_1·所以S_1AS=ìT0_11、(T_1AT)ì、=ìT0_11、ì、=、由于T1_1A1T1为上三角阵,S_1AS为上三角阵.因为上三角阵的主对角线元素都是它的特征值,而特征值是相似不变量,所以S_1AS的主对角线元素都是A的特征值.□注3.在式(5.10)中,向量X2,...,Xn的选取方法不是唯一的,最后得到的上三角不是唯一的.?5.6若当标准形简介*?5.6.1若当标准性定理在本节中,我们将简单介绍矩阵在相似关系下的标准形–若当标准形.我们不给出若当标准形定理的证明,但给出计算若当标准形的方法,并作一些简单的说明.╱210、在例5.5.1中,我们证明了矩阵021不能相似于对角阵.这个矩阵只有一个重数为3特征值2.若当标准形定理告诉我们这样的矩阵在相似关系下已经是最简单的形式了,称为一个若当块.一般地,我们有16第五章线性变换定义5.6.1.设λ是任意复数,m是任意正整数,形如╱λ10...0、λ1...