2022年线性代数与几何题库试卷20套及答案

线性代数与几个测试卷

试卷(-):

一.填空题(共20分)

1.若A*是6阶方阵A的伴随矩阵，且rank(A)=4,则rank(A)=.

2.设A=-sina],则⑷*____________________.

(sinacoscrJ

3.设丫=《阳,马,七)7'|2王-它+3%3=0｝是川的子空间，则，的维数是

4.对称矩阵A的全部特征值为4,-5,3,2,若已知矩阵A+便为正定矩阵，则

常数夕必须大于数值

‘1/1000、

01200

己知〃阶矩阵A=°°1"0则矩阵A的逆是

5.,/LNO,

000•••12

、000…01,

二.选择题(共20分)

1.若A8是〃阶方阵，下列等式中恒等的表达式是()

(A)(AB)2=AB；(B)(AB)T=1；

(C)|A+@=M|+|B|；(D)(A3)*=B*A*.

2.若A为〃阶方阵，则A为正交矩阵的充分必要条件不是()

(A)A的列向量构成单位正交基；(B)A的行向量构成单位正交基;

(C)A-1=Az；(D)detA=±l.

3.若匕是空间的一个左维子空间，％,是匕的一组基；匕是空间

在加的一个女维子空间,…，瓦是丫2的一组基,且〃?工攵<狐上<〃，则:

(A)向量组％,%,…,如可以由向量组尸I，/?2,…,乩线性表示;

(B)向量组4,不，…,乩可以由向量组%，%，…,如线性表示；

(C)向量组外，…，乩与向量组％,%，…,应可以相互线性表示;

(D)向量组凡外…血与向量组即。2,…,％不能相互线性表示♦

4.若4,4是实对称方阵力的两个不同特征根，当看2是对应的特征向量，则

以下命题哪一个不成立()

(A)4，%都是实数；⑻2一定正交；

(0有可能是A的特征向量；(D)4+4有可能是A的特征根・

5.已知4为〃+1阶方阵，且rank(A)=k,非齐次线性方程组AX=B的

九-女+1个线性无关解为&&，…&_*“如，则Ax=B的通解为().

(A)G。+C?蜃+…+

(B)c&+QG+…+%.孰+C“T+Ci；

(C)C,(。-4"_«+1)+42-4"一*+1)+,-,+C"T(&_k-4“_*+1)；

(D)G(。---*+1)+&④-L+i)+…+cn-k(自n-k-4n-k+l)+^n-k+1*

三.解下列各题(共25分)

1.若A为3阶方阵，且同=g,求：甲-A1

，1-1-1-P

-11-1-1

2.设A=，求矩阵M,A”.

—1—11—1

<-1-1-11>

3.计算向量£=(-1,2,4)7在基%=(1,1,1)。%=(0,1，1)'，。3=(1，T，1)T下的

坐标.

4.设向量组

r

%=(-2,l,0,3),a2=(1,一3,2,4)7,4=(3,0,2,1尸,。4=(2,-2,4,6厂,

求向量组的一个最大线性无关组.

（200、

3400

5.利用分块矩阵方法，计算A=00的逆矩阵.

24

00L

四.证明题（8分）设〃维向量组%,%，…,应和向量组回，不，…,国有关系

=a2+a3+---+an

A=«i+a+•••+«„

*3

问〃维向量组囚,火，…,%和向量组以，不，…,凡是否同秩？证明你的结论.

五.（8分）二次型/（%],%,%3，匕）=+3K+3叫2+25々彳3,3>（）,通过

正交变换，可将此二次型化为标准形7=必2+2必2+5乃2,求参数5及所用正

交变换.

六.（8分）求线性方程组

X］一-工3+%4=0

$-9+%3-3%4=1

\1

X|一Xz—2工3+314二—

的通解.

七.（6分）解矩阵方程，并写出解方程时初等矩阵的变换过程

'010、100、1-43、

100X001201

、00b010,1-20,

八.（5分）设A是4阶方阵，且A的特征根4,4,％,乙互不相同,证明:

（1）方阵A有四个线性无关的特征向量.

（2）方阵A可以对角化.

试卷(二):

计算下列各题：(每小题6分，共30分)

162379225

(1)162380176,

162380180

求2A2+3A+E2,其中4=]]

(2)2

(3)已知向量组%=(0,2,3)：%=(2,3,3)7g=(-1,2")7线性相关,求

(4)求向量a=(-1,2,4尸在基%=(1,=(01,1),,巴二4一切7■下的

坐标.

(5)设4=(；：］，求A的特征值.

’031、

二.(8分)设A=200,且AB=A，+8,求矩阵B.

、002,

123a

三.(8分)计算行列式：°0/?3

0c02

x001

四.(8分)设有向量组

%=(0,1,1,2,3),，%=(1,0,1,2,5)「，。3=(l,l,0,—2,—7)r,%=(3,3,2。,—6)1

求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.

五.(8分)求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.

3占+2X2-当+工4—4%=10,

<2xl一元2+3刍一工4+工5=4,

7再+5X3-X4-2X5-18.

2

六,(8分)求出把二次型f=a(x；+x2+k)+2玉%+2X1%3—2々%3化为标准

形的正交变换,并求出使/为正定时参数。的取值范围.

七.（10分）设三阶实对称矩阵A的特征值为3（二重根）、4（一重

根），%=（1,2,2尸是A的属于特征值4的一个特征向量，求A

八.（10分）当。力为何值时，方程组

axx+x2+x3=4,

<$+2如+3%3=10,

x}+3bx?+3X3=2,

有惟一解、无穷多解、无解？

九.（10分）（每小题5分，共10分）证明下列各题

（1）设A是可逆矩阵，A-B,证明B也可逆，且

（2）设a,/7是非零〃xl向量,证明a是〃x〃矩阵的的特征向量.

试卷（三）:

—.填空题（每小题4分，共20分）

‘100、

1.已知正交矩阵P使得P'AP=0-10,则pTA2°°6（E+A）P=.

、00-2,

2.设A为〃阶方阵，4,…,人为A的〃个特征值，则det（4）=.

3.设A是加x〃矩阵，8是加维列向量，则方程组AX=3有无数多个解的充分

必要条件是：.

4.若向量组。=(0,4,2)。夕=(2,3,1)”=",2,3)7的秩为2,则t=

1511

x52-3

5.£)(%)=2,则。(x)=0的全部根为:

549

58-27

二.选择题（每小题4分，共20分）

0•••0-1

0-10

1.行列式的值为（）.

—1…00

A.1B.-1

n(/i+l)

C.(-1尸D.(-1尸

2.对矩阵A,“x”施行一次行变换相当于（）.

A.左乘一个机阶初等矩阵B.右乘一个机阶初等矩阵

C.左乘一个〃阶初等矩阵D.右乘一个〃阶初等矩阵

3.若A为加X”矩阵，r（A）=r<〃,M=（X|AX=0,Xe/?"},则（）.

A.M是机维向量空间B.M是〃维向量空间

C.M是r维向量空间D.M是维向量空间

4.若〃阶方阵A满足，1=0,则下列命题哪一个成立（）.

n

A.r(A)=0B.r(A)=-

nn

c.r(A)>-D.r(A)<-

22

5.若A是〃阶正交矩阵，则下列命题哪一个不成立().

A.矩阵4T为正交矩阵B.矩阵A-1为正交矩阵

C.矩阵A的行列式是±1D.矩阵A的特征值是±1

三.解下列各题（每小题6分，共30分）

1.若A为3阶正交矩阵，A*为A的伴随矩阵，求det（A*）.

«111

2.计算行列式1“1L

\\a\

111a

[020]

3.设4=200,AB=A—8,求矩阵3.

、001,

4.求向量组%=（1,2,1,2）、%=（1,0,1,2厂,%=（LI。。）'，%=（1，L2,4）T的一个

最大无关组.

5.求向量。=（1,2,1）「在基a=（1,1,1）。p=（0,1,1尸,r=①一LI），下的坐标.

四.（12分）求方程组

X]+工2-2尤3+工4+工5=2

<3%]—尢2+2X3+7X4+3X5=2

x[+5X2-10X3-3X4+x5=6

的通解（用基础解系与特解表示）.

五.（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵

2

f（xl,x2,x3）=2xlx2+x^+x3-22％3

六.证明题（6分）

设4w0,刍，2,…勇是线性方程组AX=〃对应的齐次线性方程组的一个

基础解系，〃是线性方程组AX=0的一个解，求证

刍+〃，2+小…4r线性无关.

试卷（四）:

一、填空题（共20分）

1.设A是“X〃矩阵，B是小维列向量，则方程组AX=8无解的充分必要条

件是：

2.已知可逆矩阵P使得p-Mp/cosesm。],则尸4「二

1-sin。cos^J

3.若向量组a=（0,4,t）,3=（2,3,1）,y=（t,2,3）的秩为2,则t二

4.若A为2n阶正交矩阵，A*为A的伴随矩阵，则|A*卜

5.设A为n阶方阵，A,，%，……,凡是A的〃个特征根，则之\\E-A\=

/=1

二、选择题（共20分）

1.将矩阵4,*"的第i列乘C加到第j列相当于对A：

A,左乘一个m阶初等矩阵，B,右乘一个m阶初等矩阵

C,左乘一个n阶初等矩阵，D,右乘一个n阶初等矩阵

2.若A为mXn矩阵，8是，〃维非零列向量，r(A)=r<min{m,n}o集合

M={X:AX=B,XwR"}则

A,M是加维向量空间，B,"是n-r维向量空间

C,M是m-r维向量空间，D,A,B,C都不对

3.若n阶方阵A,B满足，，则以下命题哪一个成立

A,A=±B,B,r(A)=r(B)

C,detA=±detB,D,r(A+B)+r(A-B)<n

4.若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立：

A,矩阵AT为正交矩阵，B,矩阵-A-'为正交矩阵

C,矩阵A*为正交矩阵，D,矩阵-A*为正交矩阵

1

-1...-10

5.4n阶行列式的值为：

—1…00

A,1,B,-1

C,nD,-n

三、解下列各题(共30分)

(5、'1]I"3

1.求向量夕=-1,在基冈=0,。2=1下的坐标。

jJloj”

’020、

2.设A=200,A8=A-'-B,求矩阵b-A

、。o1,

13-35

3.计算行列式19925

127-271：25

181816：*5

"1-34()9、

-26-6-；—1°列向量组生成的空间的一个基。

4.计算矩阵A=.’

-39-6--9-3

、3-94120；

a瓦瓦…"、

a”2…b.

5.设4=b\a...bn计算detA

bib2...a)

四、证明题（10分）

设。，2,…,多是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，"不是线性方程组

AX=0的一个解，求证刍+〃，2+〃「•,，,+",〃线性无关。

五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵

22

f{x},x2,x3)-2xlx2+x2+x3-2XJX3.

六、（8分）a取何值时，方程组

王+冗2-2七-Q

,3%-%+2七=。有无数多个解？并求通解

%1+5X2-10X3=6

七、（4分）设矩阵A,B,A+5都是可逆矩阵，证明矩阵AT+5T也是可逆

矩阵。

试卷(一)解答：

’200]

一.1.0002.4?…4：3.rank(A)-rank(AB)<n

、00-2200%

4.t=—85.1,2,-3.

二.1.D2.A3.D4.D5.D

1.A4*=|A|En|A||A*|=|A/=|A*HA|2=|A4r|=|A4-1|=|E|=1.

2.

a11111111111

1a111a110a-100

=(a+3：=(a+3)=(Q+3)(a—.

11a111a100a-10

111a111Cl000a-1

3.由AB=A-6有(A+E)B=A.

、

2r4_2

-0-()

33(02033

2_24

B—(A+f)-1A-,102000•

333

0011。0001

I7

4.

’1111111、

20110-2-1-1

(«iaa%)=—>•—>=>rank(a,a,a,a)=3,

23110200-11[234

J

3204、0000,

0-?-1

而向量组:二，八，,线性无关,可得rank(a^a,a)=3故四，%，

()0—123

同〔。＞1S

出为一个最大线性无关组.

令/=(1,2,1)7=xa+y/3+zy,

则有：

「「3

Jx+z=1J2

X+y-Z=2解得：Yy=0

、x+y+z=lI_1

(Q的坐标为(g,O,—^)

四解:

'12-2112](11-2112Afl1-2112、

兵=3-12732-»04-8-404-»01-2-101

J5-10-316)(0-40-4)1000

84000,

原方程组同解下面的方程组:

x2-2X3-x4=1

Jx,+x=2+2X-X-X

即:2345

JC2=1+2%3+%4

令.=4=匕=o,求解得：(i,i,o,o,o)=no

齐次方程组基础解系为：

7=(0,2,1,0,0),%=(-2,1,0,1,0)，73=(T,0,0,0,1),通解为〃+砧i+a2rj2+a3rj3。

五.解:

T

f(Xl,x2,x.)=XAX

'oi-r

A=110

10L

2-11

\AE-A\=-12-10=(2-1)(2-2)(2+1)

102-1

=4=i,A2=2,4=—i.

当4=1时，由(A-=o，求得基础解系：i

(xA(1、

当22=1时，由缶-4©无2=0，求得基础解系：1

当4=-1时，由(A-4©无2=0,求得基础解系：-1

2

O_L瓶

1V31

飞

单位化:正J£_

11

需

万

1

V3

O_fL

V6

1'100、

令U1

=正

丐「福则U'AU=020

1

力I、oo7

石

76>

若X=。匕则f=X，AX=y；+2M-y；.

六.证明：设弓脩+〃)+。2《2+〃)+…+《■©■+〃)+。〃=。，

则：4苫1+。242-----。/r+(。1+/-------ar+"切=。，

于是A(ag+4242+•,•+«,4,-+(«1+«2+,,■+«,.+b)〃)=0,

即+a2+--+ar+b)Ar)=0,但=0字0,因此

a1+%+…+?+b=0.从而有〃占+a2$+…=0.

又配务…专线性无关，因此a]=a2=-=ar=0.于是

6=0.故有:+〃42+〃，…，多+〃,〃线性无关.

试卷(二)部分解答:

(3)已知向量组％=。2,3尸,%=(2,3,3)，,%=(T，2J)‘线性相关，求力

02-1

32=0,可求出七”.

解：％,&2，。3线性相关。det(%,a,,%)=2

4

3

’03P

二.(8分)设A=200，且AB=A，+8,求矩阵B.

、。02,

解：+B^(A-E)B=AT,

Jl3np3-1、

A—E=2-10可逆，且(A-E)T=L21-2

V*

,0005,

(\3-1Y020、(82-2、

r

于是B=(A-E)-'A='21-2300-14-4

'I。5

05人102,(5010J

五.（8分）求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.

3xj+2X2-x3+x4-4X5=10,

<2x（-/+3^3-x4+x5=4,

7%1+5X3—x4-2X5=18.

（与76页例4.17类似作）

六.（8分）求出把二次型/=a（x；+々2+X3?）+2X1X2+2超工3-2%2%3化为标准

形的正交变换,并求出使f为正定时参数。的取值范围.

22

解：二次型/=a(xj+x2+%3)+2%1%2+2西%3-2々%3的矩阵为

ra11、

A=1a—1.由

JTa>

a-A11

|A-2E|=1a-A-1=(a+l—2)2(。—2一；1)=0,

1-1a-2

得特征值4=彳2=。+1，%。一2.

r-l1I(IT-n

对4=4=a+1，A—(a+1)E-1-1-1->00o

,1-1-1J100

TT

可得(A-(a+l)E)X=O的一个基础解系为：X1=1,X2:0,

OJ

p-'1/2

正交化：取刍=X1^2=^2-5=01-1/2

(332

,17

，21i]101]

对丸3=〃—2,A—(a—2)E=I2-i->0I-1,

oj

J-12>00

-1、

可得(A-(a-2)E)X=0的一个基础解系为:X3=1

17

1/VT'1/瓜、'-1/6、

-1/V6,1/V3,

将4&，乂3分别单位化，得：71/V2,%=〃3=

02/V61/V3

/7\7

1/V6—1/V3

(1/V2y

-1/V61/V3,则此正

取正交变换X2=(〃”〃2，〃3)必=1/叵当

2/V61/V3

X37"J0、必,

\7

交变换将二次型f化为标准形：/=(a+l)y；+(a+1)货+(a-2)火

/正定<=>a+1>0且a-2>0oa>2.

七.(10分)设三阶实对称矩阵4的特征值为3(二重根)、4(一重

根)，3=(1,2,2尸是A的属于特征值4的一个特征向量，求A

㈤

解：设A的属于特征值3的特征向量为X=无2，由于实对称矩阵的不同特征

值对应的特征向量正交,则有(％,X)=0,即：凡+2/+2/=0.此方程

2、，2、

的一个基础解系为：卷-1*20,则。，&为A的属于特征值3的

oj

<-1>

两个线性无关的特征向量,于是:

「400、’400、

4%，4，曷）=（四专&）030=4=(以44)。30(即刍自尸

I。03,、003,

」22Y400、(\2<2822、

1]_

2-100302-542314

99

30-1人003,24-5>2431,

八.（10分）当a力为何值时,方程组

ax{+%+£=4,

<$+2bX?+3X3=10,

%1+3bx?+3X3=2,

有惟一解、无穷多解、无解？

%111(a11

解：记4=12b3,N=12b310

J3b3)3b32,

11

系数行列式detA=12h3=/?(l—3a),

13b3

（1）.当时，detA#0,由克莱姆法则知方程组有惟一解.

7114)/a

（2）.当。=0时，彳=10310-10310,于是

J032,,000-8?

rank(A)<rank(A)=>方程组无解.

1/3114、'13312、

“x3

(3).当。H0,a=1时，N=4F、

12h310J12/7310

3

13b32>、000—8,

’13312、’13312、

2b-3

ry--------r

02b—30-2-b3>00014-24/Z?

、0b0-8?、0b0-8y

I/

⑴当6=—时，ra〃Z(A)=ra/(A)=2<3=>方程组有无穷多解.

7

12~

(ii)当人声一时，ra”火(A)=2<raM(A)=3=方程组无解.

7

九.(10分)(每小题5分，共10分)证明下列各题

(1)设A是可逆矩阵，A-B,证明B也可逆，且

(2)设a,4是非零〃xl向量，证明a是〃x〃矩阵的特征向量.

证明：

(1)由于A〜则存在可逆矩阵P,使得P'AP=B,于是由A可逆知

8也可逆，且B-'=(p-'APYl=p-'A''(P''Y'=p-'AT'P^A-'~B''.

由(W)a=a(ga)=ka知a为的属于％的特征向量.

试卷(三)：

一.填空题(共20分)

1.设A是加X”矩阵，B是加维列向量，则方程组AX=3有唯一解的充分必

要条件是：rank(A)=rank(AB)=n.

2.已知E为单位矩阵，若可逆矩阵P使得2kAp+kA2P=3E,则当E-A可

逆时，A3=-27E.(利用2A+A?=3E=(A+3E)(A—E)=OnA=-3E)

3.若t为实数，则向量组a=(0,4,t),B=(2,3,1),y=(t,2,3+t)

的秩为：3

4.若A为2009阶正交矩阵，A*为A的伴随矩阵，则⑷=1

5.设A为n阶方阵，4,心……儿是A的〃个特征根，则力|2；£-A;|=0

/=1

二.选择题(共20分)

1.如果将单位矩阵£的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为P(川(A)),将矩阵

的第i列乘k加到第j列相当于把A：(B)

A,左乘一个尸B,右乘一个P(i,/(&));

C.左乘一个P(/,i(Q);D,右乘一个P(川(Q).

2.若A为mXn矩阵，8是加维非零列向量，r(A)-r<min{m,n}0集合

M={X:AX=B,XeR"},则(D)

A,M是m维向量空间，B,"是n-r维向量空间

B,M是m-r维向量空间，D,A,B,C都不对

3.若n阶方阵A满足A2+3A=4E,则以下命题哪一个成立(B)

A,A=E,B,r(A)=r(E)

C.detA=det£,D,r(A+f)+r(A-E)<n

4.若A是2n阶正交矩阵，则以下命题哪一个一定成立：(A)

A,矩阵A*AT为正交矩阵，B,矩阵2AT为正交矩阵

C,矩阵A+A*为正交矩阵，D,矩阵A-A*为正交矩阵

—1…—1—1

-1...-1o

5.如果n阶行列式的值为-1,那么n的值可能为：(C)

—1,••00

A,2007,B,2008

C,2009,D,2000

三.判断题(每小题4分，共12分)

(1)对线性方程组的增广矩阵做初等变换，对应的线性方程组的解不变.(错)

(2)实对称矩阵的特征值为实数.(对)

(3)如果矩阵的行列式为零，那么这个矩阵或者有一行(列)的元素全为零，或

者有两行(列)的元素对应成比例.(错)

四.解下列各题(每小题8分，共16分)

5、‘-3、

1.求向量夕=-1下的坐标.（坐标为：2）

6

37)

12

21

2.设4=23

23

”(〃+1)

23n

I23n/?(/?+!)

I3n

213n

q+(c2+--<„)

解：detA231u»(/?+1)

31n

2

2341

〃(〃+1)

341

2

123nQ-2q1000

C3-3C]

113n1-100

/?(/?+1)…小+1)

131n11-20

2=~~2-

341111\-n

”(〃+1)八/c、z//,,|n(/7+l).

---(-1)(-2).•…(一(〃-1))=(-11)V---(n-1)!

22

1111、

101；列向量组生成的子空间的一个标准正交基.

五.（10分）求矩阵A

010

100b

解：先求矩阵A列向量组生成的子空间的一个基.由于

'1111、‘1111、'1111、

10100-10-10000

A=

010101010101

J00、0-1-10,、00-1"

可知A的前三列线性无关,为子空间的一个基.记

1、「2、

11-1

033

1>

rn

（0\，a）§（尸2,%）夕=121

A-%

（八八'（氏万2）030

再单位化,令

T

_仇_11

⑴

则与应由为所求标准正交基•

六.证明题（6分）设A是m行n列矩阵，如果线性方程组AX=尸对于任意

m维向量夕都有解，证明A的秩等于m.

证明：设4=（%,％,则名,%，…,%为m维向量组.由于线性方程组

AX=尸对于任意m维向量夕都有解，现分别取夕等于m维基本单位向量:

el,e2,---,e„l,可知向量组“勺,…,e,“可由向量组风,线性表示，又向量组

可由向量组4勺,…,e,“线性表示，于是向量组q,%与向量组

备,02,5等价,故rank（A）=rank（«,%,•••,%）=rank（et,e2,•­­,€,„）=m.

七、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵

22

/（X|,,%3）=2%；+4%1%2+3-^2一4%2%3+4x3..

解：设

[220]

r

/(xI,x2,x3)=XAX=>23-2

10—24,

2-220

|A-ZE|=23-2-2=A(2-6)(3-2)

0-24-2

=4=0,A2=3,A3=6.

㈤卜2]

对特征值4=o,由（A-4E]九2=0，求得基础解系：x,=2

,1,

㈤

对特征值％=3,由（A-4©》2=0,求得基础解系:

VX37

对特征值由4E]X2求得基础解系：

4=6,（A-=0,X3=2

\X3>「

X1,X2，X3已两两正交，再单位化：

工」Xa

%

_21\

~33仅00、

令。=|

-，则0为正交阵，且Q/Q=030

21°06,

3>

正交变换为X=Q匕将二次型/=X?AX化为标准形：/=3y；+6y；.

八、（6分）设矩阵A,3都是正定矩阵，证明矩阵A+B也是正定矩阵.

证明：由于矩阵4,8都是正定矩阵，则对于任一XHO,有

f（X）=XrAX>0,g（X）=XrBX>0,

从而/(X)+g(X)=XTAX+XTBX=Xr(A+8)X>0,故A+B是正定矩阵.

试卷(四):

—.填空题(每小题4分，共20分)

1.设A是加x〃矩阵，那么A的秩不超过r的充分必要条件是：A的厂+1阶子式全

为0.

2.已知E为单位矩阵，若2A+AT=3E,则当E—A可逆时，A3=—.

8

Q

3.若向量组a=(f,3f-2,—f—6),尸=(2,3,1),/=(M,3+/)的秩为2时，f=0或一

4.若A为2