云南省2020学年中考数学面对面几何图形的证明与计算题库

几图的明计类型一简单几何图形的证明与计算1.如，在正方形中，是AB上一动点（不与A，B重），连接DE，点A关于DE的对称点为F连EF并延长交于点G连过E作⊥的长线于点，连接BH．（）证GFGC（）等式表示线段BHAE的量关系，并证明；（）正方形ABCD边长为，取DH的中点M，请直接写出线长最小值证明：（）如解图①，连接DF，∵四边形是正方形，∴DC∠=∠=90°，的对称点为F，第1题图①∠=∠=90°，∴=90°

第1题图∵点A关于线DE∴△ADE△FDE∴==，在eq\o\ac(△,Rt)和eq\o\ac(△,Rt)中，

∵

DF＝DCDG＝

，∴△DFG△DCG（），∴GC（）论BH

AE，证明如下：

证法一如解图②，在线段上截取，AM=，∵AB由（1）知：∠1=∠2，∠3=∠4∵∠ADC=90°，∴∠2+，∴2∠2+2∠3=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EDG=45°，∵，∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED∠=∠AED+∠1=90°，DE=，∴∠BEH在△DME和△中，1

第1题图②∴=BE

＝BE∵

，

DE＝EH∴△DME△EBH（），∴BHeq\o\ac(△,Rt)AEM中，A=90°=，∴

2

AE，∴AE（）解图③中，取DE中点O，连接，，AM，．∵△是等腰直角三角形DM=，∴DMHMEMDM∵∠DAE∠=90°=，∴，D，，四点共圆，∴∠MAB∠=45°∴点M在正方形的对角线AC当⊥AM最小值为．2.如在形ABCD中角AC的垂直分别交于点、，结、．（）判断四边形AFCE形状，并说明理由；（）AB=5，=3BF求EF的长；

∴=OAOEOM第1题图∴∠DAM∠MAB，时，的最小，平分线与边、（）结BE，若BE，

BFAE

的值.第2题图解：（）边形是形．理由：∵四边形是形，∴，=BC∴∠EAO∠FCO，∵是AC的垂平分线，∴CO∠EOA=∠FOC，在△AEO和△中，

EAO＝FCO＝CO＝FOC,∴△AEO△CFO（），2

∴CF∴四边形是平行四边形，又∵AC⊥，∴四边形是菱形；（）∵2=3BF，∴可以假设=3，BF=2，是菱形，第2题图在eq\o\ac(△,Rt)中，，ABBF=，∴25+4=9m，

∵四边形∴==3，∴=5∴FC

，=

5

，∴5，∵四边形是矩形，∴∠ABC=90°，=

AB

251256

,∴

16AC2

,∵tan∠=

OFAB

,∴

6

,∴=

∴△AEO≌△CFO∴OF∴=2OF=

.（）AE=，=则=CF==，BC=+b，=DE=．∵四边形是矩形，∴，∴∠DEC∠BCE，∵，∴∠BEC∠=90°，3

EC=EC=∴△CDE△BEC，∴，∴

ba=a

，∴

+－=0∴

b()+a

－1=0∴

b55或a2

（舍弃.∴

BFAE2

.3.(1)已知：△ABC等腰三角形，其底边是，点D在线AB上，是线上点，且∠DEC∠DCE，若A＝60°(如图①．求证EBAD；(2)若将1)中的“点D线段上改为“点D在段的长线上”条件不变如图②)，的论是否成立，并明理由；EB(3)若将1)中的“若∠＝60°改为“若∠＝90°它条件不变的值是多少？AD(直接写出结论，不要求写解答)第3题图(1)证明：如解图①所示，过点D作∥交AC于点，则AD＝，∴∠FDC＝，∵∠A＝60°，∴＝＝，又∵∠＝DCE∴∠FDC∠DEB，第解图①又EDCD∠DBE＝∠＝120°，∴△DBE△CFD(AAS)，EB，∴＝.(2)解：＝成立．理由如下：如解图②所示，过点作DF交AC的延长线于，则ADAFDF∠FDC＝∠ECD，4

ADAD又∵∠＝ECD∴∠FDC∠DEC，＝CD，又∠DBE∠DFC＝60°第3题解图②∴△DBE△CFD(AAS)；∴＝，∴＝.EB(3)解：＝2.【解法提示】过点D作BC的垂，根据等腰直角三角形的性质，可以得出线段间关系，进而求得所需答案.类型二涉及点、平移、折叠旋转的几何图形的证明与计算4.如图，正方形ABCD，边绕C顺针旋转，得到线段CE，连接DE，，BD，与BD交于点F．（）∠的数；（）证BFEF第4题图解：（）四边形是正方形，∴∠ADB

∠ADC=45°，由旋转得：=CE，DCE=60°∴△DCE是等边三角形，∴DEAD∠=90°+60°=150°，∴∠DAE∠=15°∴∠AFB∠+∠ADB=15°+45°=60°（2如解图，连接，∵△CDE是等边三角形，∴∠DEC=60°，∵∠DEA=15°，

第4题解∴∠CEF∠=45°∵四边形是正方形，∴CD∠ADF=∠CDF，∵DF=，∴△ADF△CDF（），∴∠DAF=∠=15°∴∠FCB=90°－15°=75°，∠=60°+15°=75°∴∠FCB∠ECF，∵CF∴△ECF△BCF（），∴EF5、如图，点是等边△内一点，BOC绕C按时针方向旋转60°得△ADC，接.已知∠AOB＝110°.(1)求证：△COD等边三角形；(2)当α＝150°时试判断的状，并说明理由；5

(3)探究：当为少度时，△是等腰三角形．第5题图(1)证明：由旋转的性质可得＝CD∠OCD＝60°∴△COD是等边三角形；(2)解：当α＝150°，即∠BOC＝150°，是角三角形．理由如下：∵△BOC△ADC，∴∠ADC∠BOC＝150°，又∵△是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝90°，即△AOD是直角三角形；(3)解：分三种情况讨论：①＝，∴AOD＝∠，∵∠AOD＝360°－∠AOB－∠－＝360°－110°－60°α＝190°α，＝－60°∴190°－＝－60°，∴＝125°②＝，∴∠OAD＝∠，∵∠AOD＝190°－，∠ADO＝α－60°，∴∠OAD＝180°－(AOD∠ADO＝50°∴－60°，∴＝110°③＝，∴∠AOD＝∠，∴190°－＝50°，∴＝140°综上所述：当α的数为125°110°140°时，△AOD等腰三角形．6.如①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点落点E处交于点.(1)求证：△BDF等腰三角形；(2)如图②点D作DG交于点接FG交于O.判断四边形BFDG的状，并说明理由；（）（）基础上，若＝，AD＝，求FG的．第6题图6

(1)证明：由折叠的性质可得，DBC＝∠，∵四边形是矩形，∴∥，∴∠ADB∠DBC，∴∠DBF∠ADB，∴＝，∴△BDF是等腰三角形；(2)解：四边形是菱形．理由：∵四边形是矩形，∴∥，即DF∥BG∵∥，∴四边形是平行四边形，∵＝((1)中已证，∴平行四边形是菱形；（）：∵矩形ABCD中AB＝，＝，A＝90°，∴＝AB＋AD＝，∵四边形是菱形，∴⊥，＝，＝，OFAB∴＝，∴tanADB＝＝=ODAD15∴＝，415∴＝.2

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，7.如正方形的边长是16点在上＝3点在BC上且与点，C重合将EBF沿EF折，得到eq\o\ac(△,)′F.(1)当∠BEF＝45°，求证＝；(2)当′D＝′时求的长；(3)求eq\o\ac(△,)′周的最小值．第7题图(1)证明：如解图①，第7题图①当∠BEF＝45°时，易知四边形′是正方形，∴＝，∵＝，∴＝；7

＝，＝，＝，＝，(2)解：如解图②，作′⊥于点，′的延长线交AD于点，作EG⊥于，则四边形MNCD、四边形AEGM都是矩形．第7题图②∵′＝B′，∴∠B′＝∠B′CD，∵∠ADC∠BCD＝90°∴∠B′＝∠B′CN，∵∠B′＝∠B′NC＝90°，∴△B′≌△B′NC(AAS)，∴′＝B′＝，∵＝＝，∴′＝，在Rt△EGB中，＝EB′－′＝13－＝12，∵∠′＋′＝90°∠′＋∠B＝90°，∴∠′＝′，∵∠EGB＝∠FNB＝90°∴△EGB∽eq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)′NF∴

EG′1213B′FB′8B′26∴＝′＝；3(3)解：如解图③，以为心为半径画圆，连接，在Rt△EBC中，∠＝90°，＝13，＝16第7题图③∴＝16＋13＝17，∵△CFB的周长＝＋′′＝＋′＝＋′＝16＋′∴欲求△CFB′的周长的最小值，只要求出′最小值即可，∵′＋EB′EC∴当、′、C共线时，CB的值最小CB最小值是为517－13.∴△CFB的周长的最小值为3＋17.8.如，在eq\o\ac(△,Rt)中，∠ACB＝90°，＝6BC＝，点以每秒1个位长度的速度由点A向点匀速动，到达B点停止运动．，分别是AD，CD的中点，连接MN设点D运动的时间为.(1)判断MN与的置关系；8

AFGEAD10AFGEAD10第8题图(2)求在点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段所扫过区域的面积；(3)若△是等腰三角形，求t的值．解：(1)∥.证明：在△中，是AD的中的点，∴∥；(2)如解①，分别取ABC三边点E，，并连接，，第8题图①根据题意，可知线段MN过区域的面积就是平行四边形的面积．∵＝，BC，∴＝，GC，∵∠ACB＝90°，∴＝AEGC，∴线段MN扫过区域的面积为12111(3)依题意可知＝，DNDC，＝＝3.222分三种情况讨论：(当MD＝＝时△DMN等腰三角形，此时＝＝，∴＝6.(当MD＝时＝.1如解图②，过点D作⊥于点H，则＝AC＝，2第8题图②AH∵cos＝＝，AB10，=6，AD36即＝.∴＝AD5.9

(当DN＝＝时AC＝DC如解图③，连接MC，则⊥AD.第8题图③AM6∵cos＝＝，即＝，AC61018∴＝，536∴＝AD＝.536综上所述，当t＝或6或时△DMN等腰三角形．5类型三涉及探究类问题的几何图形的证明与计算9.如△中AC在BC上＝D在上接DEACB∠ADE＝180°，作CH⊥，垂足为H.(1)如图①，当ACB时连接，过点C作CF交的延长线于点F.①求证：＝；②请猜想三条线段、、之间的数量关系，直接写出结论；(2)如图②当∠ACB时三线段ADCH间存在怎样的数量关系？请证明你的结论．第9题图(1)①证明：∵ACB＋∠ADE＝180°，∴∠CAD∠CED＝360°－180°＝180°，∵∠CAD∠CAF＝180°，∴∠CAF∠CED，∵⊥，∠ACB＝90°，∴∠DCF∠ACB＝90°∵∠ECD°－∠ACD，∴∠ACF＝90°－∠＝∠ECD，在△AFC和△中＝ECD，＝CED∴△AFC△EDC(ASA)，∴＝；10

②解：＋＝CH【解法提示】由①得FA，AFC≌△，∴＝，∵⊥，∴∠CFD∠CDF＝45°∵⊥，∴＝＝，∴＝＋＝DE＋AD＝CH.(2)解：三条线段DE，AD之间的数量关系是＋＝3CH.证明：延长到，使＝ED连接CF，CD，解图，∵∠ACB∠ADE＝180°，∴∠CAD∠CED＝360°－180°＝180°，第9题图∵∠CAD∠CAF＝180°，∴∠CAF∠CED.在△AFC和△中＝，∴△AFC△EDC(SAS)，∴＝，∠ACF＝∠ECD∴∠FCD∠ACF＋ACD∠ECD＋ACD＝＝120°，∵＝，⊥DF111∴＝＝DF＝(AF＋AD＝(＋，2221∴∠HCD∠＝60°，2DH∴tan∠HCD＝＝3，CH∴＝3，∴＋＝＋AD＝DH＝3CH.10.△中，>AC为BC的中点，P，在线BC的同，PG⊥，直线与直线AC相交于点D，直与直线相交于点E，且∠＝2PBC.(1)当点P在边上时如①，与重，与A重，则线段与线段之的数量关系________________(2)当点P在△ABC内(如图②时段与段CD有何数量关系？并证明你的结论；11

第10题解：(1)＝；【解法提示】∵⊥，BC中点；∴＝，∠PBC＝∠PCB∵∠APC∠PBC＋PCB∠PBC，BAC＝2∠PBC，∴∠APC∠PAC，∴＝，