二次函数压轴题之菱形存在性问题

PAGEPAGE10菱形存在性问题作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：有一组邻边相等的平行四边形菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边都相等的四边形是菱形．或“”ABCD是菱形，则其个点坐标需满足：x xA

x xB Dy yA

y yxxCx2y y2BCB x x2y y2A B A B考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同．23型：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点（2）1个定点+3个半动点解决问题的方法也可有如下两种：思路1：先平四，再菱形+BDA、BD为对角线，再结合一组邻边相等，得到方程组．思路2：先等腰，再菱形4334个点．1．看个例子：yBAOxA点坐标1,1B点坐标为5,4，点C在x轴上，点D在平面中，DA、yBAOx思路1：先平四，再菱形设C点坐标为m，D点坐标为，．当AB为对角线时，由题意得（AB和CD互相平分及A=B）m395mp140q

8，解得：p9 8m20

m52042

q5当AC为对角线时，由题意得（AC和BD互相平分及B=B） m5p m2 m 04q

p2或p4 2 2 2 2

q3 q315 14 m5 04AD为对角线时，由题意得：1p5m

66m12 m126666 66q40 ，解得：p52 或p5215214

1m2102

q3 q3 yBAyBAOCxDyBACOxDyDBAyDBAOCxyBDAOCxBDAC O x思路2：先等腰，再菱形CC、、CCD点．AB=AC时，C点坐标为2 6,0对应D点坐标为2 6,3C点坐标为2 6,0对应D点坐标为2 6,3BA=BC时，C点坐标为，0，对应D点坐标为，-；C点坐标为，0，对应D点坐标为-，-．AC=BC时，C点坐标为39,0，D点坐标为9,5．8 8 yyyyBBDDAACCOCxOC xDDyDBAOCx为简便的方法．【两定两动：坐标轴+平面】（2019·齐齐哈尔中考删减）综合与探究yx2bxcxAByCAC和BC．求抛物线的解析式；若点My轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点MN为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．yAyABOxCyABOxC备用图【分析】（1）抛物线：yx2x6；（2）先考虑M点位置，即由A、C、M三点构成的三角形是等腰三角形：①当CA=CM时，10即CM=CA=2 ，M点坐标为6210、621010对应N点坐标为210、10②当AC=AM时，10即A=A=2 M点坐标为，，10对应N点坐标为2．③当MA=MC时，勾股定理可求得M点坐标为0,8， 3 3对应N点坐标为2,10． 3 3综上N点坐标为2,210、2,2 10（，、2,10． 3 3yAyABx O xNMCyAByABOxNCMNyAMOBxCyMANBOC【两定两动：对称轴+平面】（2019·辽阳中考）BCx以A为顶点的抛物线yx2bxc经过点30，交y轴于点（03，动点P在对称轴上．求抛物线解析式；M是平面内的任意一点，在xP为顶MyyAEOBCx【分析】（1）抛物线：yx22x3；（2）先考虑P点位置，由P、E、C三点构成的三角形是等腰三角形．①当EC=EP时，2由EC3 ，得EP3 2，又点P在对称轴x=1上，2勾股定理解得P点坐标为1,3+17、1,3 17（舍根据点的平移推得M点坐标为17②当CE=CP时，2即CC=3 ，勾股定理解得P点坐标为1,14、1,14（舍，2根据点的平移推得M点坐标为 14③当PE=PC时，设P点坐标为1，1102m32132m02=，故P点坐标为，1，对应的点M坐标为2，．综上所述M点坐标为4, 17、2,3 14（2，．PyAPyAMEOBCxyAPEOBCxyyAEMPOBCx【两定两动：斜线+平面】（2018·齐齐哈尔）综合与探究如图1xc与x轴交于点（-4,y轴交于点Cyx2bxc经A，C．求抛物线的解析式2所示，MOAMxAC和抛、NPMNFACDD，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，D的坐标；若不存在，请说明理由．yCyCAOBxNyCPAM OBx图1 图2【分析】（1）抛物线解析式：yx23x4；2）设M点坐标为0（-4m<，则N点坐标为,m2m4P点坐标为m+4，PMN中点，则m23m424，m1

1，m2

4（舍）故（-，3、-，）考虑到F点在直线AC上，故可先确定F点位置，再求得D点坐标．当PM=PF时，NyFNyF1CPD1AF2M OBx3 23 23 23 2 3 23 23 23 2PF=3F1

,32

2

1

,32

2 ，1 2 D

1

3 23 22 , 2 3 23 2

1

3 23 22 , 2 ．3 23 2MP=MF

1

2 NNyD3CPAF3M OBxMP=MFF3

DD3

4,3．当FP=FM时，NNyCPF4D4AM OBxFP=FM，FPM垂直平分线上，可得

53D

1,3． 4 22 422

1 3 2、

1 3 2、

4,3、

1,3．3 23 21 2 2 23 23 2

2 2

3 4 22 【两定两动：斜线+抛物线】（2018衡阳）y2x4xyAB、BPABPPC⊥xCD．（1）y2x22x4ABN．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由．yyBDPAOCx【分析】（1）①M点坐标为1,9，N点坐标为1,3．22 2 ②由题意可知MN∥PD，故四边形MNPD若是菱形，首先MN=PD考虑到M、N是定点，可先求得MN3，2P2m4D2m22mPD2m22m42m42m24m，PD

3 3，即2m24m ，2 2m1m3．1 2 2 2故P点坐标为3,1，D点坐标为3,5．2 22 但此时仅仅满足四边形MNPDD已定，因此接下来要做的只是验证邻边是否相等．PN

32122121323 252PN≠MN，故不存在点P使四边形MNPD是菱形．yyMBDNPAOCx【小结】为什么此题会不存在，表面上看是不满足邻边相等，究其原因，是因为M、N是定点，P、D虽为动点但仅仅是半动点，且P、D横坐标相同，故本题只需一个字母便可表示出4个点的坐标，对于菱形四个点满足：x xA

x xB Dy yA

y yxxCx2y y2BCB x x2y y2A B A B若只有1个未知数或2个未知数，便出现方程个数＞未知量个数的情况，就有可能会无解．方程个数<未知数个量，可能无法确定有限组解；方程个数>未知数个量，可能会无解．1231+1情况．421+2半动，甚4个半动点．练习：如图，抛物线yx2bxc与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知抛物9线的对称轴所在的直线是x4，点B的坐标为，．求抛物线解析式；若Mx轴上一动点，在抛物线上是否存在点N，使得点NN坐标，若不存在，请说明理由．yyCBOAx【分析】（1）抛物线：yx29x2；22）本题是“两定两动x需两个字母即可表示，未知量个数少于方程个数，结果可能会无解．设M点坐标为，0N点坐标为,n29n2，又（，0、（02． 2 当CB为对角线时，取对角线互相平分及MB=MC，可得：40mn 92020n2 n22m42002m02022方程组无解，故这种情况不存在；当CM为对角线时，取对角线互相平分及BC=BM，可得：m0n4 9202n2 n2024020224m2002方程组依然无解；这种情况也不存在；当CN为对角线时，取对角线互相平分及CB=CM，可得：0n4m 922n2 n20020422020m2202方程组还是无解．综上，不存在这样的M、N．致出现不存在的情况．【一定三动】讲真在翻了一些中考题，并没有看到类似的题型，举些数据编一个吧：如图，抛物线过（-，、（0、03，点C关于抛物线对称轴的对称点为DPMADNOPMNP点坐标，若不能，说明理由．yyCDABO x【分析】抛物线解析式为：yx22