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文档简介

二维随机变量的条件分布——将条件概率的概念推广到随机变量设已知二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布若则称为在X=xi

的条件下，Y的条件分布律二维离散型随机变量的条件分布律

若则称为在Y=yj

的条件下，X的条件分布律类似于乘法公式类似于全概率公式例1把三个球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，每盒容纳的球数无限.记X

为落入1号盒的球数，Y

为落入2号盒的球数，求(X,Y)的联合分布律与边沿分布律；

P(X=i|Y=0

)与P(Y=j|X=2

);联合分布律的求法：由乘法公式在§3.1已计算过由问题的意义可知

X0123

Y01另一方面，若已知联合分布律，则可由它求出条件分布律.假设已知本例的联合分布律如下表所示求条件分布律即对矩形框中的数据进行运算XYpij01230123000000pi•1p•j例2一射手进行独立射击,已知每次他击中目标的概率为p(0<p<1),射击一直进行到击中两次目标为止.令X

表示他首次击中目标所进行射击的次数,Y

表示他总共进行射击的次数.求X和Y的联合分布律、条件分布律和边沿分布律.解——第n次击中目标，前

n–1次恰有一次击中目标故联合分布律为边沿分布律为条件分布律为对每个n,对每个m,设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),联合概率密度为f(x,y)X的边沿分布函数为FX

(x),边沿概率密度为fX(x)Y的边沿分布函数为FY

(y),边沿概率密度为fY(y)

二维连续型随机变量的条件分布函数和条件概率密度函数xy-

yy

y设xy-

yy定义对于二维连续型随机变量(X,Y),如果存在极限则称此极限为在条件Y=y的条件下X的条件分布函数.相应的,在条件X=x的条件下Y的条件分布函数定义为(在极限存在的条件下):记为:注若f(x,y)在点(x,y)连续，fY(y)在点y处连续且fY(y)>0,则为Y=y

的条件下X

的条件分布函数.称为Y=y

的条件下X

的条件概率密度函数，记作类似地,若f(x,y)在点(x,y)连续，fX(x)在点x处连续且fX(x)>0,则称为X=x

的条件下Y

的条件概率密度函数，记作为X=x

的条件下Y

的条件分布函数.注意：对于每一fY(y)>0的y处，只要符合定义的条件，都能定义相应的函数.是y的函数,x

是常数,对于每一fX(x)>0的x处，只要符合定义的条件，都能定义相应的函数.是x的函数,y

是常数,类似于乘法公式：类似于全概率公式类似于Bayes公式例3已知(X,Y)服从圆域x2+y2

r2

上的均匀分布,求r解

x-r=同理，边沿分布不是均匀分布！当–r<y<r

时，

y—这里y

是常数，当Y=y时，当–r<x<r

时，—这里x

是常数，当X=x时，

x例4已知求解同理，例5设求解y=x11y=x11当0<y<1时，y当0<x<1时，y=x11x例6已知求解y=x11当fX(x)>0时，即

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