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文档简介
2022-2023学年陕西省西安市83中学高三质量监测(四)数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知为虚数单位,若复数,则A. B.C. D.2.已知直线与直线则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.集合的子集的个数是()A.2 B.3 C.4 D.84.已知函数是定义域为的偶函数,且满足,当时,,则函数在区间上零点的个数为()A.9 B.10 C.18 D.205.抛物线y2=ax(a>0)的准线与双曲线C:x28A.8 B.6 C.4 D.26.已知函数,若关于的方程恰好有3个不相等的实数根,则实数的取值范围为()A. B. C. D.7.集合,,则()A. B. C. D.8.已知函数有两个不同的极值点,,若不等式有解,则的取值范围是()A. B.C. D.9.如图所示,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的各个面中最大面的面积为()A. B. C. D.10.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去三个不同社区进行帮扶活动,每人只能去一个社区,每个社区至少一人.其中甲必须去社区,乙不去社区,则不同的安排方法种数为()A.8 B.7 C.6 D.511.我国古代有着辉煌的数学研究成果,其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》,有丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为()A. B. C. D.12.将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,再将图像向左平移个单位长度,得到函数的图象,则函数图象的一个对称中心为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,在平行四边形中,,,则的值为_____.14.若点为点在平面上的正投影,则记.如图,在棱长为1的正方体中,记平面为,平面为,点是线段上一动点,.给出下列四个结论:①为的重心;②;③当时,平面;④当三棱锥的体积最大时,三棱锥外接球的表面积为.其中,所有正确结论的序号是________________.15.正三棱柱的底面边长为2,侧棱长为,为中点,则三棱锥的体积为________.16.的展开式中的常数项为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,为坐标原点,点为抛物线的焦点,且抛物线上点处的切线与圆相切于点(1)当直线的方程为时,求抛物线的方程;(2)当正数变化时,记分别为的面积,求的最小值.18.(12分)已知函数.(1)若是函数的极值点,求的单调区间;(2)当时,证明:19.(12分)已知函数.(Ⅰ)若是第二象限角,且,求的值;(Ⅱ)求函数的定义域和值域.20.(12分)已知,函数.(1)若函数在上为减函数,求实数的取值范围;(2)求证:对上的任意两个实数,,总有成立.21.(12分)已知△ABC三内角A、B、C所对边的长分别为a,b,c,且3sin2A+3sin2B=4sinAsinB+3sin2C.(1)求cosC的值;(2)若a=3,c,求△ABC的面积.22.(10分)已知的面积为,且.(1)求角的大小及长的最小值;(2)设为的中点,且,的平分线交于点,求线段的长.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
因为,所以,故选B.2、B【解析】
利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系.【详解】若,则,故或,当时,直线,直线,此时两条直线平行;当时,直线,直线,此时两条直线平行.所以当时,推不出,故“”是“”的不充分条件,当时,可以推出,故“”是“”的必要条件,故选:B.【点睛】本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断,前者应根据系数关系来考虑,后者依据两个条件之间的推出关系,本题属于中档题.3、D【解析】
先确定集合中元素的个数,再得子集个数.【详解】由题意,有三个元素,其子集有8个.故选:D.【点睛】本题考查子集的个数问题,含有个元素的集合其子集有个,其中真子集有个.4、B【解析】
由已知可得函数f(x)的周期与对称轴,函数F(x)=f(x)在区间上零点的个数等价于函数f(x)与g(x)图象在上交点的个数,作出函数f(x)与g(x)的图象如图,数形结合即可得到答案.【详解】函数F(x)=f(x)在区间上零点的个数等价于函数f(x)与g(x)图象在上交点的个数,由f(x)=f(2﹣x),得函数f(x)图象关于x=1对称,∵f(x)为偶函数,取x=x+2,可得f(x+2)=f(﹣x)=f(x),得函数周期为2.又∵当x∈[0,1]时,f(x)=x,且f(x)为偶函数,∴当x∈[﹣1,0]时,f(x)=﹣x,g(x),作出函数f(x)与g(x)的图象如图:由图可知,两函数图象共10个交点,即函数F(x)=f(x)在区间上零点的个数为10.故选:B.【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,属于中档题.5、A【解析】
求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程,解得两交点,由三角形的面积公式,计算即可得到所求值.【详解】抛物线y2=ax(a>0)的准线为x=-a4,双曲线C:x28-y24【点睛】本题考查三角形的面积的求法,注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程,考查运算能力,属于基础题.6、D【解析】
讨论,,三种情况,求导得到单调区间,画出函数图像,根据图像得到答案.【详解】当时,,故,函数在上单调递增,在上单调递减,且;当时,;当时,,,函数单调递减;如图所示画出函数图像,则,故.故选:.【点睛】本题考查了利用导数求函数的零点问题,意在考查学生的计算能力和应用能力.7、A【解析】
解一元二次不等式化简集合A,再根据对数的真数大于零化简集合B,求交集运算即可.【详解】由可得,所以,由可得,所以,所以,故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算,涉及一元二次不等式解法及对数的概念,属于中档题.8、C【解析】
先求导得(),由于函数有两个不同的极值点,,转化为方程有两个不相等的正实数根,根据,,,求出的取值范围,而有解,通过分裂参数法和构造新函数,通过利用导数研究单调性、最值,即可得出的取值范围.【详解】由题可得:(),因为函数有两个不同的极值点,,所以方程有两个不相等的正实数根,于是有解得.若不等式有解,所以因为.设,,故在上单调递增,故,所以,所以的取值范围是.故选:C.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围,以及运用分离参数法和构造函数法,还考查分析和计算能力,有一定的难度.9、B【解析】
根据三视图可以得到原几何体为三棱锥,且是有三条棱互相垂直的三棱锥,根据几何体的各面面积可得最大面的面积.【详解】解:分析题意可知,如下图所示,该几何体为一个正方体中的三棱锥,最大面的表面边长为的等边三角形,故其面积为,故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题,解题的关键是要能由三视图解析出原几何体,从而解决问题.10、B【解析】根据题意满足条件的安排为:A(甲,乙)B(丙)C(丁);A(甲,乙)B(丁)C(丙);A(甲,丙)B(丁)C(乙);A(甲,丁)B(丙)C(乙);A(甲)B(丙,丁)C(乙);A(甲)B(丁)C(乙,丙);A(甲)B(丙)C(丁,乙);共7种,选B.11、D【解析】
利用列举法,从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,基本事件有10种情况,所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况,由古典概型概率公式可得结果.【详解】《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》,这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.记这5部专著分别为,其中产生于汉、魏、晋、南北朝时期.从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,基本事件有共10种情况,所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有,共9种情况,所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为.故选D.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用,属于基础题,利用古典概型概率公式求概率时,找准基本事件个数是解题的关键,基本亊件的探求方法有(1)枚举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的;(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时,一定要按顺序逐个写出:先,….,再,…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.12、D【解析】
根据函数图象的变换规律可得到解析式,然后将四个选项代入逐一判断即可.【详解】解:图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到再将图像向左平移个单位长度,得到函数的图象,故选:D【点睛】考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质,基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据ABCD是平行四边形可得出,然后代入AB=2,AD=1即可求出的值.【详解】∵AB=2,AD=1,∴=1﹣4=﹣1.故答案为:﹣1.【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则,相等向量和相反向量的定义,向量数量积的运算,考查了计算能力,属于基础题.14、①②③【解析】
①点在平面内的正投影为点,而正方体的体对角线与和它不相交的的面对角线垂直,所以直线垂直于平面,而为正三角形,可得为正三角形的重心,所以①是正确的;②取的中点,连接,则点在平面的正投影在上,记为,而平面平面,所以,所以②正确;③若设,则由可得,然后对应边成比例,可解,所以③正确;④由于,而的面积是定值,所以当点到平面的距离最大时,三棱锥的体积最大,而当点与点重合时,点到平面的距离最大,此时为棱长为的正四面体,其外接球半径,则球,所以④错误.【详解】因为,连接,则有平面平面为正三角形,所以为正三角形的中心,也是的重心,所以①正确;由平面,可知平面平面,记,由,可得平面平面,则,所以②正确;若平面,则,设由得,易得,由,则,由得,,解得,所以③正确;当与重合时,最大,为棱长为的正四面体,其外接球半径,则球,所以④错误.故答案为:①②③【点睛】此题考查立体几何中的垂直、平行关系,求几何体的体积,考查空间想象能力和推理能力,属于难题.15、【解析】
试题分析:因为正三棱柱的底面边长为,侧棱长为为中点,所以底面的面积为,到平面的距离为就是底面正三角形的高,所以三棱锥的体积为.考点:几何体的体积的计算.16、31【解析】
由二项式定理及其展开式得通项公式得:因为的展开式得通项为,则的展开式中的常数项为:,得解.【详解】解:,则的展开式中的常数项为:.故答案为:31.【点睛】本题考查二项式定理及其展开式的通项公式,求某项的导数,考查计算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)x2=4y.(2).【解析】试题解析:(Ⅰ)设点P(x0,),由x2=2py(p>0)得,y=,求导y′=,因为直线PQ的斜率为1,所以=1且x0--√2=0,解得p=2,所以抛物线C1的方程为x2=4y.(Ⅱ)因为点P处的切线方程为:y-=(x-x0),即2x0x-2py-x02=0,∴OQ的方程为y=-x根据切线与圆切,得d=r,即,化简得x04=4x02+4p2,由方程组,解得Q(,),所以|PQ|=√1+k2|xP-xQ|=点F(0,)到切线PQ的距离是d=,所以S1==,S2=,而由x04=4x02+4p2知,4p2=x04-4x02>0,得|x0|>2,所以==+1≥2+1,当且仅当时取“=”号,即x02=4+2,此时,p=.所以的最小值为2+1.考点:求抛物线的方程,与抛物线有关的最值问题.18、(1)递减区间为(-1,0),递增区间为(2)见解析【解析】
(1)根据函数解析式,先求得导函数,由是函数的极值点可求得参数.求得函数定义域,并根据导函数的符号即可判断单调区间.(2)当时,.代入函数解析式放缩为,代入证明的不等式可化为,构造函数,并求得,由函数单调性及零点存在定理可知存在唯一的,使得成立,因而求得函数的最小值,由对数式变形化简可证明,即成立,原不等式得证.【详解】(1)函数可求得,则解得所以,定义域为,在单调递增,而,∴当时,,单调递减,当时,,单调递增,此时是函数的极小值点,的递减区间为,递增区间为(2)证明:当时,,因此要证当时,,只需证明,即令,则,在是单调递增,而,∴存在唯一的,使得,当,单调递减,当,单调递增,因此当时,函数取得最小值,,,故,从而,即,结论成立.【点睛】本题考查了由函数极值求参数,并根据导数判断函数的单调区间,利用导数证明不等式恒成立,构造函数法的综合应用,属于难题.19、(Ⅰ)(Ⅱ)函数的定义域为,值域为【解析】
(1)由为第二象限角及的值,利用同角三角函数间的基本关系求出及的值,再代入中即可得到结果.(2)函数解析式利用二倍角和辅助角公式将化为一个角的正弦函数,根据的范围,即可得到函数值域.【详解】解:(1)因为是第二象限角,且,所以.所以,所以.(2)函数的定义域为.化简,得,因为,且,,所以,所以.所以函数的值域为.(注:或许有人会认为“因为,所以”,其实不然,因为.)【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式,三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题,涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题,意在考查学生的转化能力和计算求解能力,属于常考题型.20、(1)(2)见解析【解析】
(1)求出函数的导函数,依题意可得在上恒成立,参变分离得在上恒成立.设,求出即可得到参数的取值范围;(2)不妨设,,,利用导数说明函数在上是减函数,即可得证;【详解】解:(1)∵∴,且函数在上为减函数,即在上恒成立,∴在上恒成立.设,∵函数在上单调递增,∴
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