概率论与数理统计作业与解答

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐概率论与数理统计作业与解答概率论与数理统计作业及解答

第一次作业★1.甲.乙.丙三门炮各向同一目标放射一枚炮弹?设大事ABC分离表示甲.乙.丙击中目标.则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示?大事E丸大事A,B,C最多有一个发生｝,则E的表示为

E=ABCABCABCABC;或工ABUACUBC;或工ABUACUBC;

或工ABACBC；或工ABC_(ABCABCABC).

(和AB即并AUB,当代B互斥即AB二'时.AUB常记为AB)

2.设M件产品中含m件次品.计算从中任取两件至少有一件次品的概率

★3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只.计算以下大事的概率

A二｛8只鞋子均不成双｝,B=｛恰有2只鞋子成双｝,C珂恰有4只鞋子成双｝.

C6(C2)632

C8C4(C2)480

0.2238,P(B)8皆0.5594,

P(A)8

/143

★4.设某批产品共50件.其中有5件次品?现从中任取3件?求(1)其中无次品的概率-(2)其中恰有一件次品的概率‘/八C51419C：C599

⑴冷

0.724.⑵虫产

0.2526.C501960

C50

392

5.从1?9九个数字中?任取3个排成一个三位数?求(1)所得三位数为偶数的概率-(2)所得三位数为奇数的概率?

4

(1)P｛三位数为偶数｝=P｛尾数为偶数｝=-,

9

⑵P｛三位数为奇数｝=P｛尾数为奇数｝=5,

9

或P｛三位数为奇数｝=1-P｛三位数为偶数｝=1-彳=5.

99

6.某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码求(1)最小号码为5的概率⑵最大号码为5的概率记大事A=｛最小号码为5｝,B=｛最大号码为5｝.

11

2CmCMmCm

m(2M-m-1)

M(M-1)

6—

C16

143

P(C)二C8

CJC2

)

30

0.2098.

143

C16

C2i

C2

⑴P(A)=#詁;(2)P(B)X=

C1012

C10

7.袋中有红、黄、白色球各一个每次从袋中任取一球.登记色彩后放回共取球三次求下列大事的概率：A=｛全红｝B=｛色彩全同｝C=｛色彩全不同｝D=｛色彩不全同｝E=｛无黄色球｝F=｛无红色且无黄色球｝G=｛全红或全黄｝.

11

1

A3!

28

P(A

)

=3^2?P(B)

=3P(A)

=9

,P(C

^#=?

=9

,P(DH^P(BH

?

2

8112

P(E)

亏方P(F)亏审P(Gr2P(A)盲

☆某班n个男生m个女生（m^n1）随机排成一列?计算随意两女生均不相邻的概率

☆?在[0■1]线段上任取两点将线段截成三段?计算三段可组成三角形的概率

1

4

其次次作业

1.设AB为随机大事P(A)=0.92■P(B)=0.93P(B|Z)=0.85求⑴P(A|B)(2)P(AUB)■(1)0.85=P(B|A)=P(AB)P(AB),P(AB)=0.850.08=0.068,

P(A)1-0.92

P(AB)二P(A)-P(AB)二P(A)-P(B)P(AB)=0.92-0.930.068=0.058,

P(A|B):=P(AB)=0.。

58

胡.83.P(B)1-0.93

(2)P(AUB)=P(A)P(B)-P(AB)=0.920.93-0.862=0.988.

2.投两颗骰子已知两颗骰子点数之和为7求其中有一颗为1点的概率.记大事A二{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)},B二{(1,6),(6,1)}

2

P(B|A)

話

★在1—2000中任取一整数?求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率记大事A珂能被5除尽｝,B珂能被7除尽｝.

4001命碱一2000]28557一2000]57

P（A）,取整

285,P（B）,57,P（AB）,20005

17」2000

400厅7」

2000

p（AB）=P（AUB）=1-P（AUB）=1_P（A）_P（B）P（AB）

157

57

=1一丄一竺57

0.686.

54002000

1

20

28557

3.由长久统计资料得知?某一地区在4月份下雨（记作大事A）的概率为4/15刮风（用B

表示)的概率为7/15.既刮风又下雨的概率为1/10.求P(A|B)、P(B|A)、P(AB).

P(A|BrfO=如仝，P(B|Ar

P(AB

)_

1/10

_3

,

P(B)7/15

14

P(A)4/158

4

7119

P(AUB)=P(A)P(B)-P(AB)二喜=--.

151510

30

4.设某光学仪器厂创造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2若第一次落下未摔破第

二次落下时摔破的概率是7/10若前二次落下未摔破第三次落下时摔破的概率是9/10.

试求落下三次而未摔破的概率?

记大事A=｛第i次落下时摔破｝i=1,2,3.

P(AA2A3)=P(AjP(A2|A1)P(A3|入1入2)=

5■设在n张彩票中有一张奖券有3个人参与抽奖分离求出第一、二、三个人摸到奖券概率?

记大事A=｛第i个人摸到奖券｝i=1,2,3.

一1由古典概率直接得P(A1HP(A2^P(A3).

n

n_11

1

或

P(A

2

)=P(A1

A

2

)=

P(A1

)P(A2

|A1

)

,

nn-1n

n-1n-211

P(A3)=P(A^A2A3^P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=

nn—1n—2n

1

或第一个人中奖概率为p(A)二-,

n

21

前两人中奖概率为P(A1A2HP(A1)P(A2^-,解得P(A2)=—,

nn

3

1前三人中奖概率为P(A1A，A3^P(A1)P(A2)P(A3),解得P(A3)

.n

n

6甲、乙两人射击?甲击中的概率为08.乙击中的概率为07?两人同时射击?假定中靶与否是自立的求(1)两人都中靶的概率?(2)甲中乙不中的概率-(3)甲不中乙中的概率?记大事A=｛甲中靶｝B=｛乙中靶｝.

(1)P(AB)二P(A)P(B)=0.70.7=0.56,(2)P(AB)二P(A)-P(AB)=0.8-0.56=0.24,(3)P(AB)二P(B)-P(AB)=0.7-0.56=0.14.

★7-袋中有a个红球b个黑球?有放回从袋中摸球?计算以下大事的概率(1)A冗在n次摸球中有k次摸到红球｝-

.1.7.9111——

2.10.10

3200

(2)B=｛第k次首次摸到红球｝

(3)C冗第r次摸到红球时恰好摸了k次球｝■

次.已知他至少命中一次的概率为80

求该射手射击

81

次命中目标的概率.

彳4,8011,2P

,q=

1_

'P.q1,q,p=1-q

8181

33

9■设某种高射炮命中目标的概率为0.6问至少需要多少门此种高射炮举行射击才干以0.99

的概率命中目标

(1-0.6)n=d-0.99,0.4n<0.01,由0.4^0.01024,0.46<0.01,得n_6.

☆.证实普通加法(容斥)公式

n

P(IXA)八P(A)，P(AAj)'P(AAjAk)…(-1)2卩心：,).

i4

i<j

id<k

证实只需证分块人IliAk

AjIlAnUAjILAk

只计算1次概率.(i1川，in是1川,n的一个罗列k=1,2,

HI,n.)分块概率重数为

AJIIA中任取1个-任取2个(-1厂任取k个即

c

：-C：+川+(—1)k

」c；=1u

1_ck+C：+川+(_1)kc：=(1_1)k=0.

将u,n互换可得对偶加法(容斥)公式

n

P(IXA)P(A)」P(AUAj)?

P(AUAjUAk)……(-1)n'pQ角A).

i=1

i<j

ig

☆.证实若AB自立AC自立?则ABUC自立的充要条件是ABC自立.证实

P(A(BUC))二P(ABUAC)二P(AB)P(AC)-P(ABC)

二P(A)P(B)P(A)P(C)-P(ABC)充分性?二：

P(A(BUC))=P(A)P(B)P(A)P(C)_P(ABC),代入P(ABC)=P(A)P(BC)二P(A)(P(B)P(C)-P(BC))二P(A)P(BUC),即A,BUC自立.

须要性=：

P(A(BUc))=P(A)P(BUC)工P(A)(P(B)P(C)-P(BC))

=P(A)P(B)P(A)P(C)-P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(A)P(C)-P(ABC)P(ABC)=P(A)P(BC),即代BC自立.

J_k

Cn

P(A)

=Ck—

2+bJ(a+bJ

k

」kJaabP(B

八代r^=(r^^；J产-^-r

P(C2C；4a+b八a+b

ak

bn-

(ab)n

rk_r

A

ab

二(ab)k.

8一射手对一目标自立地射击4设射击一次命中目标的概率为

☆.证实：若三个大事A、B、C自立，则AUB、AB及A—B都与C自立.证实由于

P[(AljB)C]二P(ACUBC)二P(AC)P(BC)-P(ABC)=P(A)P(C)P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)-[P(A)P(B)-P(A)P(B)]P(C)=P(AUB)P(C)

P[(AB)C]=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)二[P(A)P(B)]P(C)=P(AB)P(C)

P[(A_B)C]=P(AC_B)=P(AC)_P(ABC)=P(A)P(C)_P(A)P(B)P(C)=[P(A)_P(AB)]P(C)=P(A_B)P(C)

所以AUB、AB及A—B都与C自立.第三次作业

1?在做一道有4个答案的挑选题时.假如同学不知道问题的正确答案时就作随机猜想.设他知道问题的正确答案的概率为P.分离就P=0.6和p=0.3两种情形求下列大事概率：(1)同学答对该挑选题；⑵已知同学答对了挑选题求同学的确知道正确答案的概率?记大事A=｛知道问题正确答案｝B=｛答对挑选题｝.(1)由全概率公式得P(B^P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)

0.70?当报警系统B单独使用时?其有效的概率为0.80.在报警系统A有效的条件下?报警系统B有效的概率为0.84.计算以下概率：(1)两种报警系统都有效的概率；(2)在报警系统B有效的条件下.报警系统A有效的概率；(3)两种报警系