高等数学第12章：无穷级数

高等数学第12章：无穷(wúqióng)级数第一页，共76页。定义1假设有一个无穷数列u1，u2，u3，，un，此无穷数列构成以下表达式u1+u2+u3++un+(1)称以上(yǐshàng)表达式为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为其中第n项un叫作级数(jíshù)的一般项或通项.

一、无穷级数的概念第二页，共76页。级数(1)的前n项相加得到它的前n项和，记作Sn.即：第三页，共76页。第四页，共76页。我们以级数(jíshù)的前n项和作为研究无穷多项和的根底.由级数(jíshù)(1)的前n项和，容易写出：第五页，共76页。定义2如果级数(jíshù)局部和数列有极限s，即那么称无穷级数(jíshù)收敛.s假设无极限，那么称无穷(wúqióng)级数发散.注意:称为级数的余项，

为代替s所产生的误差.第六页，共76页。第七页，共76页。

二、收敛级数的基本性质性质1假设级数(jíshù)收敛于和s，那么它的各项同乘以一个常数k所得的级数(jíshù)也收敛，且其和为ks.第八页，共76页。性质2如果级数、分别(fēnbié)收敛于即第九页，共76页。性质3在级数(jíshù)前面加上或去掉有限项，不影响级数(jíshù)的敛散性.性质4如果级数(jíshù)收敛，那么对这级数(jíshù)的项任意加括号后所成的级数(jíshù)仍收敛，且其和不变.第十页，共76页。注意：发散级数加括号后有可能(kěnéng)收敛，即加括号后级数收敛，原级数未必收敛.推论：如果加括号以后所成的级数发散(fāsàn)，那么原级数也发散(fāsàn).第十一页，共76页。性质5(收敛的必要条件)如果收敛，则它的一般项趋于零，即级数(jíshù)第十二页，共76页。结论(jiélùn)：由此我们可得第十三页，共76页。注意(zhùyì):级数收敛的必要条件常用于级数发散的判定.第十四页，共76页。第二节正项级数(jíshù)及其敛散性一、正项级数及其收敛的充要条件二、正项级数收敛的比较(bǐjiào)判别法三、正项级数收敛的比值判别法第十五页，共76页。

一、正项级数及其审敛法定义(dìngyì)设级数的每一项都是非(shìfēi)负数,那么(nàme)称此级数是

显然,正项级数的部分和{sn}数列是单调增加的，即正项级数.第十六页，共76页。定理1正项级数收敛的充分必要条件是：它的局部(júbù)和数列{sn}有界.第十七页，共76页。证明:这是一个正项级数，其部分和为:故{sn}有界，所以原级数(jíshù)收敛.第十八页，共76页。定理2(比较审敛法)设和都是正项级数，且若级数收敛，则级数收敛；反之，若级数发散，则级数也发散.

二、正项级数收敛的比较判别法第十九页，共76页。那么(nàme)有：假设发散，那么(nàme)也发散;且当时，有成立，那么(nàme)有：假设收敛，那么(nàme)也收敛.推论(tuīlùn)设级数和是两个正项级数，且存在自然数N，使当时，有〔k>0)成立，第二十页，共76页。例2判定(pàndìng)p-级数的敛散性.常数(chángshù)p>0.第二十一页，共76页。第二十二页，共76页。由此可得结论，p级数(jíshù)当时发散，p>1时收敛.第二十三页，共76页。第二十四页，共76页。由比较判别(pànbié)法可知，所给级数也发散.而级数(jíshù)是发散(fāsàn)的；第二十五页，共76页。定理４(达朗贝尔比值判别法)设为正项(zhènɡxiànɡ)级数，如果(1)当时，级数收敛；(3)当时，级数可能收敛(shōuliǎn)，可能发散.(2)当()时，级数(jíshù)发散.

三、正项级数收敛的比值判别法第二十六页，共76页。第二十七页，共76页。第二十八页，共76页。例7判别(pànbié)级数解:由比值判别法可知(kězhī)所给级数发散.第二十九页，共76页。此时，比值判别法失效，用其他方法判定;第三十页，共76页。第三节绝对(juéduì)收敛与条件收敛一、交错(jiāocuò)级数及其敛散性二、绝对收敛与条件收敛第三十一页，共76页。

一、交错级数及其审敛法定义正负项相间的级数，称为(chēnɡwéi)交错级数.第三十二页，共76页。定理(dìnglǐ)1(莱布尼兹定理(dìnglǐ))那么级数(jíshù)收敛，且其和，并且其余项的绝对值:(1)级数(jíshù)前项大于后项，即(2)级数(jíshù)的通项趋于零，即如果交错级数第三十三页，共76页。证明(zhèngmíng):先证明(zhèngmíng)前2n项的和s2n的极限存在，为此将s2n写成两种形式:由(1)式可知{s2n}是单调(dāndiào)增加的；由(2)式可知s2n<u1.第三十四页，共76页。由单调有界数列必有极限的准那么，知：当n无限增大(zēnɡdà)时，s2n趋于一个极限s，并且s不大于u1，即再证明(zhèngmíng)前2n+1项的和s2n+1的极限也是s，有第三十五页，共76页。第三十六页，共76页。第三十七页，共76页。

二、绝对收敛与条件收敛任意项级数：一般的级数，它的各项为又有正数(zhèngshù)，又有负数的任意实数.定义(1)如果(rúguǒ)级数的各项绝对值所组成的级数收敛，那么称原级数绝对收敛；(2)如果(rúguǒ)级数收敛，而它的各项绝对值所组成的级数发散，那么称原级数条件收敛.第三十八页，共76页。定理2如果任意项级数的各项绝对值组成的级数收敛，则原级数必定收敛.第三十九页，共76页。解因为而级数收敛，是绝对收敛还是条件收敛．例２判定级数所以也收敛，故绝对收敛．第四十页，共76页。注意：(1)由于任意项级数各项的绝对(juéduì)值组成的级数是正项级数，一切判别正项级数敛散性的判别法，都可以用来判定任意项级数是否绝对(juéduì)收敛.第四十一页，共76页。

第四节幂级数一、函数项级数的概念(gàiniàn)二、幂级数及其敛散性三、幂级数的运算第四十二页，共76页。

一、函数项级数的概念定义(dìngyì)在区间I上的函数列那么由这函数(hánshù)列构成的表达式称为定义在区间(qūjiān)I上的(函数)无穷级数，简称(函数项)级数.

对于每一个确定的值，函数项级数(1)成为常数项级数第四十三页，共76页。定义(dìngyì)形如的级数(jíshù)，称为(x−x0)的幂级数(jíshù)，均是常数，称为(chēnɡwéi)幂级数的系数.称为x的幂级数，它的每一项都是x的幂函数.我们主要讨论这种类型的幂级数.当x0=0时，(1)式变为：

二、幂级数及其敛散性第四十四页，共76页。定理(dìnglǐ)2如果幂级数的系数(xìshù)满足条件：第四十五页，共76页。第四十六页，共76页。第四十七页，共76页。例2求幂数的收敛半径(bànjìng)与收敛区间.对于端点x=1，级数成为交错级数,收敛.第四十八页，共76页。对于端点(duāndiǎn)x=1，级数成为：第四十九页，共76页。第五十页，共76页。第五十一页，共76页。第五十二页，共76页。第五十三页，共76页。第五十四页，共76页。

三、幂级数的运算如果(rúguǒ)幂级数的收敛半径(bànjìng)分别为R1>0和R2>0，那么收敛(shōuliǎn)半径R等于R1和R2中较小的一个.第五十五页，共76页。性质1如果(rúguǒ)幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续.性质2如果幂级数的和函数(hánshù)s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式第五十六页，共76页。即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且(bìngqiě)积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.第五十七页，共76页。性质(xìngzhì)3幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(R,+R)内可导，且有逐项求导公式即幂级数在其收敛(shōuliǎn)区间内可以逐项求导，并且求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛(shōuliǎn)半径.第五十八页，共76页。第五十九页，共76页。第六十页，共76页。第六十一页，共76页。第五节函数(hánshù)展开成幂级数一、泰勒(tàilè)级数二、函数展开成幂级数第六十二页，共76页。

一、泰勒级数定义(dìngyì)如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，那么称幂级数为f(x)在x0的泰勒(tàilè)级数.当x0=0时，泰勒(tàilè)级数为:称之为f(x)的麦克劳林级数.第六十三页，共76页。定理1(泰勒中值定理)如果函数f(x)在含点x0的区间(a,b)内，有一阶直到n阶的连续(liánxù)导数，那么当x取区间(a,b)内的任何值时，f(x)可以按(x−x0)的方幂展开为：其中(qízhōng)：第六十四页，共76页。公式(3)称为(chēnɡwéi)函数f(x)的泰勒公式，余项(4)称为(chēnɡwéi)拉格朗日余项.第六十五页，共76页。定理2设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，那么f(x)在该邻域内可展开成泰勒级数(jíshù)的充分必要条件是f(x)的泰勒公式余项Rn(x)当时的极限为零，即：第六十六页，共76页。

二、函数展开成幂级数将函数展开成x的幂级数(也称麦克劳林展开式)的根本法，其一般(yībān)步骤为：第