高二数学选修2-1-双曲线简单几何性质(一)

高二数学选修(xuǎnxiū)2-1-双曲线简单几何性质(一)第一页，共30页。定义图象方程焦点a.b.c的关系||MF1|-|MF2||=2a〔０<2a<|F1F2|〕F(±c,0)

F(0,±c)第二页，共30页。

2、对称性

一、研究双曲线的简单几何性质1、范围(fànwéi)关于(guānyú)x轴、y轴和原点都是对称。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做(jiàozuò)双曲线的中心。xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)课堂新授

第三页，共30页。3、顶点(dǐngdiǎn)〔1〕双曲线与对称轴的交点(jiāodiǎn)，叫做双曲线的顶点xyo-bb-aa如图，线段叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长（2）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线（3）第四页，共30页。M(x,y)4、渐近线N(x,y’)Q慢慢(mànmàn)靠近xyoab（1）（2）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图（3）动画演示(yǎnshì)第五页，共30页。5、离心率(xīnlǜ)离心率。c>a>0e>1e是表示(biǎoshì)双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大〔1〕定义(dìngyì)：〔2〕e的范围：〔3〕e的含义：第六页，共30页。〔4〕等轴双曲线的离心率(xīnlǜ)e=?(5)第七页，共30页。xyo-aab-b（1）范围:（2）对称性:关于x轴、y轴、原点都对称（3）顶点:(0,-a)、(0,a)（4）渐近线:（5）离心率:第八页，共30页。小结或或关于(guānyú)坐标轴和原点都对称性质双曲线范围对称性

顶点

渐近线离心率图象第九页，共30页。例1:求双曲线的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率(xīnlǜ).渐近线方程。解：把方程(fāngchéng)化为标准方程(fāngchéng)可得:实半轴长a=4虚半轴长b=3半焦距(jiāojù)c=焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率:渐近线方程:14416922=-xy1342222=-xy53422=+45==ace例题讲解

第十页，共30页。例2第十一页，共30页。例3:求以下(yǐxià)双曲线的标准方程：例题(lìtí)讲解第十二页，共30页。法二：巧设方程,运用(yùnyòng)待定系数法.⑴设双曲线方程为,第十三页，共30页。法二：设双曲线方程(fāngchéng)为∴双曲线方程为∴,解之得k=4,第十四页，共30页。1、“共渐近线〞的双曲线的应用(yìngyòng)λ>0表示(biǎoshì)焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示(biǎoshì)焦点在y轴上的双曲线。第十五页，共30页。2、“共焦点〞的双曲线（1）与椭圆有共同焦点的双曲线方程表示为（2）与双曲线有共同焦点的双曲线方程表示为第十六页，共30页。第十七页，共30页。

4.

求与椭圆有共同焦点，渐近线方程为的双曲线方程。

解：椭圆的焦点在x轴上，且坐标为

双曲线的渐近线方程为

解出

第十八页，共30页。例2、点M（x,y）与定点F（5,0），的距离和它到定直线：的距离的比是常数,求点M的轨迹.

y0d第十九页，共30页。xyOlF延伸：点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线的距离比是常数(c>a>0)，求点M的轨迹.M解：设点M(x,y)到l的距离(jùlí)为d，那么即化简得(c2－a2)x2－

a2y2=a2(c2

－a2)设c2－a2=b2，(a>0,b>0)故点M的轨迹(guǐjì)为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.b2x2－a2y2=a2b2即就可化为:M点M的轨迹(guǐjì)也包括双曲线的左支.第二十页，共30页。双曲线的第二(dìèr)定义平面内，假设定点F不在定直线(zhíxiàn)l上，那么到定点F的距离与到定直线(zhíxiàn)l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线。定点F是双曲线的焦点，定直线叫做(jiàozuò)双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.对于双曲线是相应于右焦点F(c,0)的右准线类似于椭圆是相应于左焦点F′(-c,0)的左准线xyoFlMF′l′点M到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义.第二十一页，共30页。想一想：中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的准线方程(fāngchéng)是怎样的？xyoF相应(xiāngyīng)于上焦点F(c,0)的是上准线相应(xiāngyīng)于下焦点F′(-c,0)的是下准线F′第二十二页，共30页。[根底(gēndǐ)练习]1.双曲线的中心在原点,离心率为4,一条准线方程是,求双曲线的方程.2.双曲线4y2-x2=16的准线方程是；两准线间的距离是;焦点(jiāodiǎn)到相应准线的距离是.

点评：双曲线的焦点到相应准线的距离是第二十三页，共30页。3.双曲线的渐近线方程为一条准线方程是,则双曲线的方程是

.A.B.C.D.D4.双曲线上的一点P到它的右焦点的距离为8,那么P到它的左准线的距离

.第二十四页，共30页。例3、

已知双曲线F1、F2是它的左、右焦点.

设点A(9,2),在曲线上求点M，使的值最小,并求这个最小值.xyoF2MA由：解：a=4,b=3,c=5,双曲线的右准线(zhǔnxiàn)为l:作MN⊥l,AA1⊥l,垂足(chuízú)分别是N,A1,NA1当且仅当M是AA1与双曲线的交点(jiāodiǎn)时取等号,令y=2,解得:第二十五页，共30页。四、归纳(guīnà)总结1.双曲线的第二(dìèr)定义平面内，假设定点F不在定直线(zhíxiàn)l上，那么到定点F的距离与到定直线(zhíxiàn)l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线。

定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。2.双曲线的准线方程对于双曲线准线为对于双曲线准线为注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.第二十六页，共30页。12=+byax222（a＞b＞0）12222=-byax(a＞0b＞0)222=+ba(a＞0b＞0)c222=-ba(a＞b＞0)c椭圆双曲线方程abc关系图象椭圆(tuǒyuán)与双曲线的比较yXF10F2MXY0F1F2p小结第二十七页，共30页。渐近线离心率顶点对称性范围

准线|x|a,|y|≤b|x|≥

a，yR对称轴：x