《一元二次方程》word优秀获奖教案

2021年4月，教育部发布文件第二章一元二次方程教学目标【知识与技能】【过程与方法】【情感态度】【教学重点】运用知识、技能解决问题.【教学难点】解题分析能力的提高．教学过程一、知识框图，整体把握二、释疑解惑，加深理解1.一元二次方程的概念：如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：ax2+bx+c=0，(a，b，c是已知数且a≠0)，其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.直接开平方法：对于形如（x+n）2=d(d≥0)的方程，可用直接开平方法解.d直接开平方法的步骤是：把方程变形成x+=d(≥0)，然后直接开平方得x+n=dd和x+n=- ，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的.d配方法：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种方法称为配方法.用配方法解一元二次方程的步骤：把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；把方程的常数项通过移项移到方程的右边；1a；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；两个一元一次方程来解．求根公式－b －b

（b2-4ac≥0）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．用公式法解一元二次方程的一般步骤：首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，再用求根公式求解.因式分解法：利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解.一元二次方程的根的判别式：我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示.即：Δ=b2-4ac⑴当Δ=b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等实数根即，x－b x，1 2a 2

－b－b2－4ac2a .⑵当Δ=b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根⑶当Δ=b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.7.一元二次方程的根与系数的关系：当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有以下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.即：8.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：实际问题建立一元二次方程模型解一元二次方程一元二次方程的根的检验实际问题的解.【教学说明】通过对重点知识的回顾为本节课的学习内容做好铺垫.三、典例精析，复习新知1（）(m+1)x2-2m-1+7x-m=0是一元二次方程，则m是多少？分析：首先根据一元二次方程的定义得，m2-2m-1=2；再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定义中a≠0这一条件得m+1≠0来求m的值．【答案】m=3．（2）若关于x的一元二次方(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0，则m等于（ ）A．1 或2 -3m+2=a2+bx+c=0(≠0)的定义中0这一条m-1≠0m【答案】B命题者常利用a≠02.用适当的方法解一元二次方程(1)x2=3x (2)(x-1)2=3(3)x2-2x-99=0 分析：方程（1）选用因式分解法；方程（2）选用直接开平方法；方程（3）选用配方法；方程（4）选用公式法.33解（）x=0,x=3;(2)x=1+ ,x=1- ;(3)x=11,x=-9;(4)x=1/2,x=-3.331 2 1 2 1 2 1 23.若(x2+y2)2-4(x2+y2)-5=0,则x2+y2= .分析：用换元法设x2+y2=mm2-4m-5=0，解得m5，m=-11 2对所求结果，还要结合“x2+y2”进行取舍，从而得到最后结果．【答案】5若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两不相等的实数根，则k的取值范围是A．k>-1 B．k>-1且k≠0C．k<1 D．k<1k≠0b2-4ac=(-2-×(-1)k=4k+0得＞-ax2+bx+c=0(≠0)的定义中a≠0k≠0．【答案】B3040600110100％，那么销售这种台灯每月要获利10000分析：如果这种台灯售价上涨x元，那么每个台灯获利(40＋x－30)元，每月平均销售(40＋x－30)和(600－10x解：设这种台灯的售价上涨x元，根据题意，得(40＋x－30)(600－10x)=10000．即x2-50x+400=0．x=10，x=40．1 2所以每个台灯的售价应定为50元或80元．当台灯售价定为80元时，销售利润率为5/3，不符合要求；当台灯售价定为50元时，销售利润率为2/3，符合要求．答：每个台灯售价应是50元.60m，宽40m，有两条纵向甬道和一条横向甬10m22xm．(π3)用含x当所有甬道的面积之和比矩形面积的1/536m2时，求x（）π（10+）2π102=32+60（2；（2）依题意，得40×x×2+60×2x-2x2×2+3x2+60x=1/5×60×40+36，整理，得x-260x+516=，解得x=2x=25（不符合题意，舍去，1 2∴x=2；答：x的值为2．四、复习训练，巩固提高一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为（ Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根分析：b2-4ac=(-2)2-4×(-1)=8【答案】B关于x的一元二次方(a－1)x2+x+a－1=0的一个根为0，则实数a的值为（ ）A．－1 分析：把x=0|a|－1=0，∴a=±1.∵a－1≠0，∴a=－1．故选A.【答案】A已知关于x的方程x+2k+x+2-2=0的两实根的平方和等于11则k的值 分析：设方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两根为x，x，得1 2∵Δ=（2k+1）2-4×（k2-2）=4k+9＞0，∴k＞-9/4.∵x+x=-2k+，x·x=-2，1 2 1 2又∵x1+x2 2∴（x+x）2-2xx=11.1 2 12∴（2k+1）2-2（k2-2）=11，解得k=1或-3.∵k＞-9/4，∴k=1.【答案】1若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数根，则a的取值范围分析：∵关于x的一元二次方程有实根解之得a≤1.【答案】a≤1xx2－4x+k－3=0xxx=3x1 2 1 2求出方程的两个实数根及k的值.x=3x1 2即可.:x+x4①，1 2x·x=k－3②1 2又∵x=3x1 2x31 .∴k=xx+3=3×1+3=6.x1 122方程两根为x=3,x=1;k=6.1 2某汽车销售公司612710.1万元10辆以内（含10辆，每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万.若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元；28/12辆汽车？（）（）2－3－）0.1=26.8.（2）设销售汽车x辆，则汽车的进价为27－（x－1）×0.1=（27.1－0.1x）万元，若x≤10,则（28－27.1+0.1x）x+0.5x=12x=6,x=－201 2若x>10,则（28－27.1+0.1x）x+x=12x=5x>10),x－243 4答：公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车.20cm，长60cm竖彩条的宽度比为4∶3，如果要使所有彩条所占面积为原长方形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？分析：由横、竖彩条的宽度比为4∶3，可设每个横彩条的宽为4x，则每个竖彩条的宽为3x．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到长方形ABCD．x

长方形ABCD的面积cm2；(2)列出方程并完成本题解答1）一条竖纹宽度为3x，长方形宽减去两条竖纹宽度，即为AB长度，同理，长方形长减去两条横纹宽度，即为AD长度；长方形面积为20×60×（1-1/3）=800；（2）在（1）的基础上，根据所有彩条所占面积为原长方形图案面积的三分之一列方程求解即可．AB20-6cmAD60-8c620（1-1/）=800cm2．（2）由题意列方程得20-660-8）=2/3×1200，x=5，x=1（舍去．答：每个横彩纹的宽度为10/3cm，每个竖彩纹宽度为5/2cm．五、师生互动，课堂小结1、回顾整理今日收获.2课后作业2、45、11、12教学反思通过画知识框图，完成对一元二次方程的知识点的梳理，建构知识体系；让学生对典型例题、自身错题进行整理，从而使学生抓住本章的重点、突破学习的难点.[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。学生都获得了成功的体验，建立自信心。一元二次方程根的判别式教学目标【知识与技能】能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证.【过程与方法】经历思考、探究过程，发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.【情感态度】积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲.【教学重点】能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证.【教学难点】从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系.教学过程一、情景导入，初步认知二、思考探究，获取新知问题：什么是求根公式？它有什么作用？x

2a 回答下列问题：当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？综上所知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况是由b2-4ac【归纳结论】我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示.即：Δ=b2-4ac⑴当Δ=b2-4ac>0时，一元二次方程ax2 1

，x2

2a .⑵当Δ=b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根.⑶当Δ=b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.(1)3x2+4x-3=0(2)4x2=12x-9解：(1)因为Δ=b2-4ac=42-4×3×（-3）=52>0所以，原方程有两个不相等的实数根.4x2-12x+9=0因为Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0所以，原方程有两个相等的实数根.5y2-7y+5=0因为Δ=b2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51<0所以，原方程没有实数根.三、运用新知，深化理解已知方程x2+px+q=0pq【答案】p2-4q=0若方程x2+px+q=0-23，则p，q【答案】-1，-6判断下列方程是否有解：（1）5x2-2=6x（2）3x2+2x+1=0解析：演算或口算出b2－4ac（）有）没有（1）16x2+8x=-3（2）9x2+6x+1=0（3）2x2-9x+8=0（4）x2-7x-18=0分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac00行分析即可．（）化为16+8x+3=0这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0所以，方程没有实数根．（2）a=9，b=6，c=1，b2-4ac=36-36=0，∴方程有两个相等的实数根．（3）a=2，b=-9，c=8b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0∴方程有两个不相等的实根．（4）a=1，b=-7，c=-18b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0∴方程有两个不相等的实根．若关于x的一元二次方程没有实数解，求ax+3>0（a的式子表示．分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a．因为一元二次方程a-）-2ax+a+1=0没有实数根，即<0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2）-4a-2（a+=4a-4a+4a+8<0∴a<-2∵ax+3>0ax>-3,∴x<-3/a∴所求不等式的解集为x<-3/a已知关于xx2+2x+m=0．当m=3当m=-3（=－4ac的值的符号即可方程没有实数根.（2）把m（）∵当m=3∴原方程无实数根.（2）当m=-3x2+2x-3=0，∵（x-x+）=，∴x-1=，x+3=0.∴x1=1，x2=-3.已知一元二次方程x2+px+q+1=0(1)求qp求证：