数学物理方法课件第三章复变函数积分

PAGEPAGE30第三章复变函数的积分柯西定理与柯西公式(教材第1章4-5节）§3-1复变函数的积分一、复变函数积分的定义：设为复平面上以为起点、以为终点的一段路径（即一根自身不相交的曲线），在上取一系列分点把分为段，在每一小段[]上任取一点作和数：,其中,,如果当且每一小段的长度（）趋于零时，和式的极限存在，并且其值与及的选取方式无关，则称这一极限为沿路径由到的积分:，称为积分路径，在上取值，即在上变化。围道积分：若积分路径的起点与终点重合，则为闭合曲线，简称围道（即自身不相交的简单闭曲线），则积分记为，称为围道积分。二、复变函数积分的几个简单性质1.复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。(与我们以前在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。)2．因为，，，于是，所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质：（1），、分别为之起点、终点。（2），、为复常数。（3）,其中积分路径由路径、连接而成。（4）,表示与方向相反的同一条曲线。4．围道积分的环绕方向：若积分路径的两端点重合（即为自身不相交的封闭曲线），则计算积分时，必须先规定积分路径的环绕方向（因为：）。以后凡遇围道积分，如不加特别说明，都假定积分路径的环绕方向为沿逆时钟方向。(为逆时钟方向，代表顺时钟方向)例：试证，为以为圆心，为半径的圆周（积分的环绕方向为沿逆时钟方向）。证：圆周的参数方程为，在上，。当时，。当为的整数时，。§3-2柯西定理及其推广【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P31-36】柯西定理讨论的是积分值与积分路径之间的关系，与涉及的区域有关。【复习：单连通区域与复连通区域。单连通区域：区域内没有“空洞”，只有一条边界线。复连通区域（多连通区域）：区域内有“空洞”，至少有两条或两条以上的边界线。】(一)单连通区域中的柯西定理若在单连通区域内解析，是内的任一围线（即自身不相交的闭合曲线），则:。证明：由于在上解析，意味着在上各点均存在，实部、虚部有连续偏导数（即、、、在上连续）并满足C-R条件。，，。由于实部、虚部满足C-R条件，，,而由实变函数线积分的格林定理，得：，为所围单连通区域（C－R条件），为所围单连通区域（C－R条件）。单连通区域中柯西定理的另外一种表述：如果函数在闭曲线所围的闭单连通区域内解析，则函数沿闭曲线的积分等于零。【函数在闭区域内解析,是指在区域D内以及它的边界上的每一点都是解析的。一种等价的说法：如果函数在包括区域D和它的边界在内的更大一些的区域内解析，就称它为在闭区域内解析。】单连通区域中柯西定理的几个推论：（1）在解析的单连通区域内，沿任一曲线的积分，只依赖于的起点和终点，而与的具体形状无关。即若在单连通区域内解析，、是内有相同端点的任意两条曲线，则:。证明：因为、的端点相同，所以与组成一围线。由柯西定理：。（2）当积分的端点不动，而积分路线在解析的区域内连续地变形时，积分之值不变；（3）沿闭合回路的积分，当积分回路在解析的区域内连续地变形时，积分之值不变。（连续变形—闭合回路变形时不能跨过不解析的区域。）(二)复连通区域中的柯西定理对于复连通区域，可以作一条或多条辅助线（割线）使之变成一个单连通区域，然后再应用单连通区域中的柯西定理，就可以得到复连通区域中的柯西定理。复连通区域中的柯西定理两种表述：(1)在闭复连通区域中解析的函数，沿所有边界线正方向积分之和为零：【当沿某一方向沿边界线环行时，如果所包围的区域始终在边界线的左边，则该方向称为边界线的正方向；相反的方向则称为边界线的逆方向。】(2)在闭复连通区域中解析的函数，按逆时钟方向沿外边界线的积分等于按逆时钟方向沿所有内边界线的积分之和：（三）柯西定理应用举例例1：计算，为不通过点的围线。解：是的一个奇点，(1)若没有包围点，则在所包围的闭区域内处处都上是解析的,从而（不包围）。(2)若包围【是的奇点】，作以为圆心的圆周包围，则由复连通区域的柯西定理得：。由前面的例子可得:，。例2．设C为单位圆周，计算下列积分：（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）奇点在C外，积分=0；（2），奇点在C外，积分=0；（3），奇点在C内，积分=；（4）被积函数有两个奇点：，，一个奇点在C内，另一个奇点在C外例3：计算的值，为包含圆周在内的任何一条正向简单闭曲线。解：分别以和为圆心、画出半径充分小的两个辅助小园，它们完全包含于积分路径所包含的区域EMBEDEquation.DSMT4内.这两个小圆记作和.根据复连通区域的柯西定理，有：(三)原函数的概念若，则称F(z)是f(z)的原函数，其中zÎB，B是单连通区域。设f(z)是单连通区域B内的解析函数，由Cauchy定理知：沿B内任一路径的积分只与起点、终点有关，而与积分路径无关，因此当起点固定时，该积分就定义了一个关于终点z的单值函数：.则F(z)就是f(z)的原函数:。若和f(z)是单连通区域B内的解析函数，且，则对于区域B内任意两点和及区域B内连接该两点的一条任意曲线,下列积分公式成立：。因积分值只与积分路径的两个端点端点有关，上述公式也可写成：。【解析函数的定积分公式，形式上与牛顿—莱布尼兹公式相似。】§3-1柯西公式【教材第一章第五节】(一)单连通区域中的柯西公式柯西公式：设复变函数在闭单连通区域（）中解析(是区域的边界线)，则在区域内任一点的值可由沿边界线的积分确定（积分路径沿区域边界线的正方向进行）:，，柯西公式说明：解析函数在其解析区域内任一点的函数值可由函数在该区域边界上的值来确定！这是解析函数的重要性质之一。证明：对于任意固定的，由前面的例子知:两边乘以，得:,因此只要证明:，即得:，这就证得柯西积分公式。作为的函数在内除点外均解析。以为圆心，很小的为半径，作圆周。由复连通区域的柯西定理，得:，上式表明右边的积分是与的半径无关的，所以:而当时，（），由于是连续的，则:，，而，。从而。，。例1：利用柯西公式证明:，为以为圆心，为半径的圆周（积分的环绕方向为沿逆时钟方向）。证明：设,在积分路径所包围的闭单连通区域内是解析的，由柯西积分公式可得：例2：计算(沿圆周正向积分)解：由柯西公式,得:例3:计算(沿圆周正向积分)解：由柯西积分公式,得：例4:设，证明积分a.当是圆周时，等于；b.当是圆周时，等于；c.当是圆周时，等于。证明：的奇点为及。a.当是圆周时，及均在圆外，在圆内解析。由柯西定理:。b.当是圆周时，仅在圆内。由柯西积分公式得:。c.当是圆周时，仅在圆内。由柯西积分公式得：。例5:计算，其中积分路径是包围和两点的任一简单闭曲线，积分沿闭曲线的正方向。解：以和为圆心，分别作两个充分小的圆和，使他们都位于积分路径所包围的区域内。在由闭曲线、、所围的复连通区域内，被积分函数是解析的，由复连通区域的柯西定理，得到：，再由单连通区域的柯西积分公式，得到：(二)复连通区域中的柯西公式设函数在闭复连通区域中解析，的边界由外边界线和内边界线，，，，组成。则函数在闭复连通区域内任意一点的函数值可以用它在边界上的值表示出来：，说明：在上述积分公式中积分路径包括复连通区域的全部边界，，全部积分均沿所有边界线的正方向进行。对外边界线，其正方向为沿逆时钟方向；对内边界线，其正方向为沿顺时钟方向，用等表示。复连通区域中柯西公式另一种表述：(三)无界区域中的柯西公式（选读，不要求）设在某一闭合曲线C的外部解析，并且当时f(z)一致地趋于零（即与幅角无关，f(z)随模的增大而趋于零），则对于闭合曲线C的外部的任意一点,有：【几点说明：（1）要求在闭合曲线C的外部解析；（2）当时一致地趋于零；（3）是闭合曲线C的外部的任意一点；（4）积分应沿闭曲线C的顺时钟方向进行。相对于闭曲线C外部的区域而言，依然为沿区域的边界线的正方向进行积分。】§3-4复变解析函数的高阶导数的积分表述——推广的柯西公式由柯西公式:，，而，，从而被积函数是处处连续的。因此可在积分号下对求导，得一阶导数为（相对于来讲）：，()求次导数，得：，（），，）这就是推广的柯西积分公式，它表明：在区域内解析的函数可以求导任意多次，其任意阶导数均可以写成沿区域边界线的积分的形式。【几点补充说明：（1）解析函数在其解析的区域内可以求导任意多次（即任意阶导数都存在），这是解析函数的又一重要特点。（2）对复连通区域，高阶导数公式依然成立（积分沿内、外边界线的正方向进行）。（3）高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导，而在于通过求导来求积分。（求导运算比积分运算要简单的多）。】例1：设代表圆周：.计算积分。解：设,在积分路径所包围的闭单连通区域内是解析的，由推广的柯西积分公式可得：，令：，,得到：例2：计算积分，其中为包围（为任意复数）的任意简单闭曲线。解：根据推广的柯西积分公式:，令,,得:例3:计算其中为正向圆周:解:由公式：,令,,得:第三章习题1、不用计算，证明下列积分之值均为零，其中均为圆心在原点，半径为的单位圆周:（1）；（2）。2、计算：（1）；（2）。3、计算下列积分，其中积分路径C为正向圆周:。（1）；（2）4、设C为正向园周，计算下列积分之值：（1）；（2）第三章习题解答1、不用计算，证明下列积分之值均为零，其中均为圆心在原点，半径为的单位圆周。(1)；(2)。证明：(1)的奇点为，由于，所以它们均不在以原点为圆心的单位圆内。在以原点为圆心的单位圆内无奇点，处处解析。由柯西定理:。(2)的奇点为，，它们均不在以原点为圆心的单位圆内。在以原点为圆心的单位圆内处处解析。由柯西定理:。2、计算:(1)；(2)。解:(1)在所围区域内解析，且在所围区域内。由柯西积分公式得。(2)在所围区域内解析，且在所围区域内。由推广的柯西积分公式得。3.计算下列积分，其中积分路径C为正向圆周:。（1）；（2）解：（1）（2）有两个奇点，分别位于，这两个奇点都位于积分路径