第05讲图表信息性问题2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲（解析版）

PAGE【难点突破】着眼思路，方法点拨,疑难突破；图表信息题是中考常考的一种新题型，它是通过图象、图形及表格等形式给出信息，通过认真阅读、观察、分析、加工、处理等手段解决的一类实际问题．主要考查同学们的读图、识图、用图能力，以及分析问题、解决问题的能力．图表信息问题往往和“方程(组)、不等式(组)、函数、统计与概率”等知识结合考查.解题基本思路：“细读图表→分析→理清关系→解决问题”。首先要注意细心地观察、搜集、整理和加工题目中所透露出来的信息,包括题目中的细微之处,努力回想相应的知识点,并进行梳理,作出合理的推断和决策；然后在捕捉有用信息的基础上,将其转化为数学模型,并进行解释与应用。根据图表信息型试题的特点，可将其大致分为五类：(1)图形信息型；(2)表格类信息型；(3)情景图象信息型；(4)函数图象信息型；(5)统计图表信息型．类型1、图形信息型图形信息型试题常以图形来呈现信息(图形本身具有的特征及其性质)或数量关系，解答时要借助于图形本身的性质，结合推理、计算甚至图形变换的方法来解决问题．类型2、表格类信息型用表格呈现数据信息，比较直观、简洁，在日常生活中使用极为普遍，工厂的产值、股市的行情、话费的计算等，表格信息型问题近年来成为了中考数学试题的一道亮丽风景．解答这类问题关键是分析表格数据，抽取有效信息，找出内在规律，需要同学们具备一定的分析、理解、处理数据的能力．类型3、情景图象信息型这类试题一般是以一段生活实际情景、一场新颖且富有趣味性的游戏为背景或以图片中人物对话的形式呈现信息，寓数学问题、数学思想和方法于情景之中的一类新颖题型．需要将获取的信息结合所学的数学知识(方程、函数、不等式等)来解决．类型4、函数图象信息型函数图象信息型是以函数图象为背景，表示两个变量之间的数量关系，常见的有一次函数图象、二次函数图象和反比例函数图象有关的信息题．解决这类问题，需要同学们能看懂函数的图象，并从图象的形状、位置、发展趋势等方面获取有效的信息，从而找到解决问题的突破口．类型5、统计图表信息型此类题是通过常见的统计图表(频数分布表、频率分布直方图、条形统计图、折线统计图、扇形统计图等)给出数据信息和变化规律的常考题型．考查读图、识图能力和分析数据此类题是通过常见的统计图表(频数分布表、频率分布直方图、条形统计图、折线统计图、扇形统计图等)给出数据信息和变化规律的常考题型．考查读图、识图能力和分析数据。【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】“保护水资源，节约用水”应成为每个公民的自觉行为．下表是某小区随机抽查到的10户家庭的月用水情况，则下列关于这10户家庭的月用水量说法错误的是 ()月用水量(吨)4569户数(户)3421A.中位数是5吨B．众数是5吨C．极差是3吨D．平均数是5.3吨

【原创2】随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，上网成了人们生活中的必需品，针对个人客户国内移动数据流量资费问题，有以下两种套餐(不含行业应用)：套餐名称套餐用费/元包含流量/h超过部分A标准套餐000.01元/KBB10元套餐1070M1元/M设每月需用的流量为xM，套餐A，B的消费金额分别为yA，yB．如图是yB与x之间函数关系的图象。（注：1M＝1024kb）（1）写出yA与x之间的函数关系式．（2）写出超过70M后yB与x之间的函数关系式．（3）选择哪种流量套餐合算，为什么？

【解析】本题考查了一次函数的应用及其分类讨论等数学思想，得到两种流量消费的关系式是解决本题的关键．（1）根据已知条件可以判断yA与x之间的函数关系式为正比例关系，故yA=1024×0.01=10.24，（2）根据已知条件即可求得yB与x之间的函数关系式为：当x＞70时，yB=10+（x﹣70）×1=x-60，（3）先求出yB与x之间函数关系为：当x≤1000KB时，yB=10；当70Mx1000KB时，yB=10;当x70M，yB=10+（x﹣70）×1=x-60；；然后分段求出哪种方式上网学习合算即可．

当x70M，yB=10+（x﹣70）×1=x-60；yA=x；yA＞yB，选择B10元套餐；学#科网【原创3】为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自XX年1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后收费价格如表所示：每月用气量单价(元/m3)不超出75m3的部分2.5超出75m3不超出125m3的部分a超出125m3的部分a＋0.25(1)若甲用户3月份的用气量为60m3，则应缴费________元；

(2)若调价后每月支出的燃气费为y(元)，每月的用气量为x(m3)，y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，若乙用户2，3月份共用天然气175m3(3月份用气量低于2月份用气量)，共缴费455元，乙用户2，3月份的用气量各是多少？

(3)设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气(175－x)m3，当x＞125，175－x≤75时，3x－50＋2.5(175－x)＝455，解得：x＝135，175－135＝40，符合题意；当75＜x≤125，175－x≤75时，2.75x－18.75＋2.5(175－x)＝455，解得：x＝145，不符合题意，舍去；当75＜x≤125，75＜175－x≤125时，2.75x－18.75＋2.75(175－x)－18.75＝455，此方程无解．∴乙用户2，3月份的用气量各是135m3，40m3.【原创:4】为进一步推进青少年毒品预防教育“6·27”工程，切实提高广大青少年识毒、防毒、拒毒的意识和能力，甘肃省各市地高度重视全国青少年禁毒知识竞赛活动，强化措施落实，靠实工作责任，取得了一定成绩。某县实验中学对该校九年级学生的竞赛成绩绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，请根据图标信息回答下列问题：知识竞赛成绩频数分布表：组边成绩（分数）人数A95≤x＜100300B90≤x＜95aC85≤x＜90150D80≤x＜85200E75≤x＜80b根据所给信息，解答下列问题：（1）求出a、b的值，补全频数分布直方图；（2）如果该县九年级有3500名学生，请估算全县九年级知识竞赛成绩低于80分的有多少人？分析：（1）由D组的人数及所占百分比可得总人数，由扇形统计图可直接得a的值；再利用总人数，减去其他组别的人数即可得到b的值；结合数据补全频数分布直方图即可。（2）结合样本中所占比例来估计总人数，利用总人数与该组所占比例的乘积即可得到答案；解：（1）该校九年级学生人数为200÷20%=1000（人）；×1000=300（人）1000-300-300-150-200=50（人）频数分布直方图补充如下：

【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【例题1】为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2.(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

【解析】(1)方法一：设AE＝a，分别用含a的代数式表示BE，AB，根据题意建立y关于x的函数表达式；方法二：先分别用含x，y的代数式表示CF和DF，再根据2BC＋2CF＋3DF＝80，确定y与x之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；(2)用配方法把二次函数配成顶点形式，结合抛物线的开口方向和自变量取值范围确定二次函数的最值．

【点拨】此类问题容易出错的地方是：(1)由于不能用含x，y代数式表示线段长，导致无法求解；(2)在配方时，对于二次项系数不是1的容易与解一元二次方程相混淆，导致错误；(3)求二次函数的最值时，由于没有考虑自变量取值范围导致错误．【例题2】(XX·温州)温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件获利减少2元．设每天安排x人生产乙产品．(1)根据信息填表.产品种类每天工人数/人每天产量/件每件产品可获利润/元甲15乙xx(2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润；(3)该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙(每人每天只能生产一件产品)，丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W(元)的最大值及相应的x值．

(3)设生产甲产品m人，生产乙产品x人，丙种产品(65－x－m)人，甲种产品的产量为2m件，乙种产品的产量x件，丙种产品的产量(65－x－m)件，得W＝x(130－2x)＋15×2m＋30(65－x－m)＝－2(x－25)2＋3200，二次函数图象的对称轴为x＝25，要求每天甲、丙两种产品的产量相等，所以2m＝65－x－m，解得m＝eq\f(65－x,3)，因为x，m都是非负整数，所以取x＝26，此时m＝13,65－x－m＝26，利用二次函数的图象和性质得：当x＝26时，W大＝3198(元)．【解析】解：(1)产品种类每天工人数/人每天产量/件每件产品可获利润/元甲65－x2(65－x)15乙xx130－2x(2)由题意得15×2(65－x)＝x(130－2x)＋550，∴x2－80x＋700＝0，解得x1＝10，x2＝70(不合题意，舍去)，∴130－2x＝110(元)，所以每件乙产品可获得的利润是110元；(3)设生产甲产品m人，W＝x(130－2x)＋15×2m＋30(65－x－m)＝－2x2＋100x＋1950＝－2(x－25)2＋3200，∵2m＝65－x－m，∴m＝eq\f(65－x,3)，∵x，m都是非负整数，∴取x＝26，此时m＝13,65－x－m＝26，即当x＝26时，W大＝3198(元)．所以安排26人生产乙产品时，可获得的最大总利润为3198元．【点拨】本题是利用二次函数解决利润问题，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．【例题3】许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料,节约用气是我们日常生活中非常现实的问题,某款燃气灶旋钮位置从0度到90度(如图),燃气关闭时,燃气灶旋钮的位置为0度,旋钮角度越大,燃气流量越大,燃气开到最大时,旋钮角度为90度.为测试燃气灶旋钮在不同位置上的燃气用量,在相同条件下,选择在燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水(当旋钮角度太小时,其火力不能够将水烧开,故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90),记录相关数据得到下表:

旋钮角度(度)2050708090所用燃气量(升)73678397115(1)请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律?说明确定是这种函数而不是其他函数的理由,并求出它的解析式.(2)当旋钮角度为多少时,烧开一壶水所用燃气量最少?最少是多少?(3)某家庭使用此款燃气灶,以前习惯把燃气开到最大,现采用最节省燃气的旋钮角度,每月平均能节约燃气10立方米,求该家庭以前每月的平均燃气用量.

解得所以(18≤x≤90).把x=80代入得y=97,把x=90代入得y=115,符合题意.所以选用二次函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律.

(3)由(2)及表格知,采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用燃气115-65=50(升),设该家庭以前每月平均用燃气量为a立方米,则由题意得=10,解得a=23(立方米),即该家庭以前每月平均用气量为23立方米.学#科网【例题4】在一条直线上依次有A，B，C三个港口，甲、乙两船同时分别从A，B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港.设甲、乙两船行驶x(h)后，与B港的距离分别为y1，y2(km)，y1，y2与x的函数关系如图所示.(1)填空：A，C两港口间的距离为__________km，a=__________；(2)求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；(3)若两船的距离不超过10km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围.

方法二：由图可得，甲的速度为＝60(km/h)，乙的速度为=30(km/h).则甲追上乙所用的时间为＝1(h).此时乙船行驶的路程为30×1=30(km).所以点P的坐标为(1，30).该点坐标的意义为：两船出发1h后，甲船追上乙船，此时两船离B港的距离为30km.(3)①当x≤0.5时，由点(0，30)，(0.5，0)求得y1=-60x+30.依题意，(-60x+30)+30x≤10，解得x≥不合题意，舍去.②当0.5＜x≤1时，依题意，30x-(60x-30)≤10.解得，所以≤x≤1.③当x＞1时，依题意，(60x-30)-30x≤10.解得，x≤所以1＜x≤综上所述，当时，甲、乙两船能够相互望见。【例题5】为了解本校七年级同学在双休日参加体育锻炼的时间，课题小组进行了问卷调查(问卷调查如下图所示)，并用调查结果绘制了图1、图2两幅统计图(均不完整)，请根据统计图解答以下问题．

(1)本次接受问卷调查的同学有多少人？补全条形统计图；(2)本校有七年级同学800人，估计双休日参加体育锻炼时间在3小时以内(不含3小时)的人数．解：(1)40÷25%＝160(人)，补全条形统计图如图：(2)800×eq\f(20＋40＋60,160)＝600(人)，所以全校七年级同学中，估计双休日体育锻炼时间在3小时以内大约有600人．

【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。一、选择题：1.小林家今年1～5月份的用电量情况如图所示，由图可知，相邻的两个月中，用电量变化最大的是()

A．1月至2月B．2月至3月C．3月至4月D．4月至5月

2.(XX·北京中考)小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示的方向经过B跑到点C，共用时30秒.他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程.设小翔跑步的时间为t(单位：秒)，他与教练距离为y(单位：米)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2，则这个固定位置可能是图1的()

A.点M B.点N C.点P D.点Q【解析】如果固定位置是点M,点N,点P，则图象中有两个点的纵坐标相等,即到教练的距离相等，从图2中可以看出没有这样的两个点，所以这个固定位置可能是图1的点Q.选D.3.一个树形图的生长过程如图所示：一个实心圆点到了下一行生成一个空心圆点，一个空心圆到了下以行生成一个实心圆点和一个空心圆点．在某一行中，记空心圆点的数目为m，实心圆点的数目为n，则下列计数不对的是（）

A．m=5，n=3 B．m=13，n=8 C．m=22，n=13 D．m=55，n=34【分析】根据图示可以看出：一个空心圆点到了下一行变成一个实心圆点和一个空心圆点，一个实心圆点到了下一行变成一个空心圆点，在树形图中这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列．

4.两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中ACDB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是

图1图2A．小红的运动路程比小兰的长B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径

5.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃后停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与开机后用时x(min)成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y(℃)和时间x(min)的关系如图，为了在上午第一节下课时(8：45)能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的()A.7：20B.7：30C.7：45D.7：50【解析】考虑第一个自动程序过程：∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需要7分钟，当0≤x≤7时，设y＝k1x＋b，将(0，30)，(7，100)代入y＝k1x＋b，得k1＝10，b＝30，∴当0≤x≤7时，y＝10x＋30；若y＝50，则x＝2；当x>7时，设y＝eq\f(k,x)，将(7，100)代入y＝eq\f(k,x)，得k＝700，∴当x>7时，y＝eq\f(700,x)，若y＝30，则x＝eq\f(70,3)，若y＝50，则x＝14.如图．∵eq\f(70,3)分钟为一个循环．在这个循环内，0～2分钟(加热阶段水温不超过50度)以及14～eq\f(70,3)分钟(降温阶段水温不超过50度)都可以直接饮用．(即在一个循环内从第2分钟至14分钟内的水温均超过50度，不可直接饮用)．

假设7：50开机，到8：45经历了55分钟，饮水机经历2次重复开机，关机所用时间为eq\f(140,3)分钟，55－eq\f(140,3)＝eq\f(25,3).此数据在2～14之间，因此7：50开机，8：45时的水超过50度，不可饮用；同理，选项B、C中时间均不正确，选A.学#科网二、填空题：6.（XX·湖南省常德·3分）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是．

【分析】设报4的人心想的数是x，则可以分别表示报1，3，5，2的人心想的数，最后通过平均数列出方程，解方程即可．

7.（XX·山东威海·3分）用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为．

【分析】图①中阴影部分的边长为=2，图②中，阴影部分的边长为=2；设小矩形的长为a，宽为b，依据等量关系即可得到方程组，进而得出a，b的值，即可得到图③中，阴影部分的面积．

8.根据图中给出的信息，解答下列问题：(1)放入一个小球水面升高________cm，放入一个大球水面升高________cm；(2)如果要使水面上升到50cm，应放入大球________个、小球________个．

解析：(1)放入三个体积相同的小球水面升高32－26＝6(cm)，则放入一个小球水面升高2cm，放入两个体积相同的大球水面升高32－26＝6(cm)，则放入一个大球水面升高3cm.(2)设应放入x个大球，y个小球，由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝50－26，,x＋y＝10，))解这个方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝6.))所以应放入4个大球，6个小球．9.如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为.（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）

【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题；【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．

在Rt△AEM中，tan24°=，∴0.45=，∴AB=21.7（米），10.一天早晨，小玲从家出发匀速步行到学校，小玲出发一段时间后，她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小玲行进的路线，匀速去追小玲，妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半，小玲继续以原速度步行前往学校，妈妈与小玲之间的距离y（米）与小玲从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示（小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计）．当妈妈刚回到家时，小玲离学校的距离为米．

【分析】由图象可知：家到学校总路程为1200米，分别求小玲和妈妈的速度，妈妈返回时，根据“妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半”，得速度为60米/分，可得返回时又用了10分钟，此时小玲已经走了25分，还剩5分钟的总程．

三、解答题：11.4月9日上午8时，XX徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．

【点拨】用方程(组)解决实际问题关键是要将数学“文字语言”转化为“符号语言”，所以理解数学语言既是学习数学的基础，也是解决数学问题的关键．年龄问题要随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量，且两个人的年龄差是不变的．

∴妹妹年龄为6岁，哥哥的年龄为10岁．12.先阅读材料，再解答问题：小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图，点A、B、C、D均为⊙O上的点，则有∠C=∠D．小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB同侧，则有∠D＞∠E．请你参考小明得出的结论，解答下列问题：

（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）．①在图1中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；②若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ACB=∠ADB，则点D的坐标为；（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），其中m＞n＞0．点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标．【分析】（1）①作出△ABC的两边的中垂线的交点，即可确定圆心，则外接圆即可作出；②D就是①中所作的圆与x轴的正半轴的交点，根据作图写出坐标即可；（2）当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，对应的∠APB最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解．【解答】解：（1）①

②根据图形可得，点D的坐标是（7，0）；

13.（XX•陕西•8分）经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国，小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：商品红枣小米规格1kg/袋2kg/袋成本（元/袋）4038售价（元/袋）6054根据上表提供的信息，解答下列问题：(1)已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3000kg，获得利润4．2万元，求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋；(2)根据之前的销售情况，估计今年6月到10月这后五个月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共2000kg，其中，这种规格的红枣的销售量不低于600kg．假设这后五个月，销售这种规格的红枣味x（kg），销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为y（元），求出y与x之间的函数关系式，并求出这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元．【答案】（1）前五个月小明家网店销售这种规格的红枣1500袋，销售小米750袋；（2）小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润23200元．【