周世勋量子力学习题解答第七章习题

ˆˆˆi7.1.证明：证：由对易关系xyzˆˆˆˆ2iˆ及xyyxzˆˆˆˆ反对易关系0，得xyyxˆˆiˆzxyˆ上式两边乘，得zˆ2zˆˆˆˆ21i∵xyzzˆˆˆi∴xyzˆSS和yˆ(S)中，7.2求在自旋态的测不准关系：12zx(S)2(S)2?xyˆˆ(S)、SSzxyˆS解：在表象中、的矩阵表示分别为z121(S)Sˆ010iS2i0ˆ021012zxy(S)态中∴在12z011(10)0210001011SSx12x12221021004ˆS2S(10)2x12x12(S)2S2Sx224xx0i1ˆSS(10)0002iy12y12001ii2ˆS2S(10)2004202iiy12y12(S)2S2Sy224yy(S)2(S)2416xyˆˆ的对易关系SS、讨论：由xySSiSˆˆˆ[，]xyz2S24(S)2(S)2(S)2(S)2要求z①416xyxy(S)态中，S在212zz4(S)2(S)2∴16xy可见①式符合上式的要求。i0102i0ˆˆSx及Sy7.3.求的本征值和所属的本征函数。210ˆS解：的久期方程为x2202()20222ˆS∴的本征值为。xa1设对应于本征值由本征方程的本征函数为21/2b1ˆS，得2x1/21/2a1a011bb210211ba1abba111111/21/2由归一化条件1，得a1(a*,a*)1a111112a211ab即∴2211112的本征函数为1/2对应于本征值设对应于本征值由本征方程12a22的本征函数为1/2b2aˆS22x1/21/2b2ba2ab2ab2222由归一化条件，得aaa1(,)*2*22a22a212ab11即∴222211212的本征函数为对应于本征值1/22。其相应的本征函数分别为ˆS同理可求得的本征值为y11112ii21212(cos,cos,cos)方向的投影7.4求自旋角动量SSˆcosSˆcosSˆcosˆnxyz本征值和所属的本征函数。ˆˆ的平均值是多少？SS在这些本征态中，测量有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？zzˆSˆ的矩阵元为S解：在表象，zn010i10201Sˆcoscoscos210i20ncos2cosicoscosicosScosn其相应的久期方程为cos(cosicos)022(cosicos)cos22222cos2(cos2cos2)0即44220(利用cos2cos2cos21)422ˆS所以的本征值为。nS2的本征函数的矩阵表示为a12(S)设对应于，则bnncos2cosicoscoscosicosaabb2a(cosicos)bcosb1cosbcosicosa1(a*,b*)ab22由归一化条件，得b1122acosicos21cosa21221cosa211cos1(S)cosicos12n2(1cos)1cos1(S)cosicos12n2(1cos)1cosicos01cos(S)202(1cos)112n1coscosicos122(1cos)1221cosicos01cos(S)202(1cos)112n1coscosicos122(1cos)122ˆS可见，的可能值为22z2(1cos)1coscos2cos21cos相应的几率为221cos1coscosS22222zS同理可求得对应于2的本征函数为n1cos2(S)cosicos12n2(1cos)ˆS在此态中，的可能值为21cos2z1cos相应的几率为22Scosz21RrY21()(,)2117.5设氢的状态是3R(r)Y(,)22110ˆˆ的平均值；LzS①求轨道角动量②求总磁矩z分量和自旋角动量z分量zˆˆeˆeMLS2的z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。解：ψ可改写成101R(r)Y(,)3R(r)Y(,)1020212111211R(r)Y(,)(S)3R(r)Y(,)(S2221111z21101z22ˆLz从ψ的表达式中可看出的可能值为01434相应的几率为Lz4ˆS的可能值为22z1432为C相应的几率4i13SC2S24244ziziMLS()eeee2244zzze1M244B7.6一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？，，则体系可能的状态为j解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为i2(q)(q)(q)1i1ii32(q)(q)(q)2j1jj313[(q)(q)(q)(q)(q)(q)33i1i2j3i1ij2(q)(q)(q)]ji2i31134[(q)(q)(q)(q)(q)(q)3j1j2i3j1ji23(q)(q)(q)]j2ji1(1),(2),(3)和组成的正交归一系。A7.7证明SSS(1)(S)][(S)1z1/2(1)[(S)S(S)]2z解：S1/21z1/22z1/21/2(S)(S)(S)(S)1z1/21/22z1z1/22z(S)2z(S)2z1/21/21(1)(S)1z1/2(2)[(S)S(S)][(S)]2zS1/21z1/22z1/21/2(S)2z(S)1z(S)1z(S)2z1/21/21/2=01(1)(3)[(S)1z1/2(S)]2z2SS1/2[(S)(S)2z(S)1z(S)]2z1/21z1/21/21/21(S)1z1/2[(S)(S)(S)2z1/222z1/21z1/21/2(S)2z(S)1z1/2(S)1z(S)]2z1/21/21[1/2(S)2z(S)0]2z21/2同理可证其它的正交归一关系。1(3)(3)[S(S)(S)(S)(S)]2[S1/21/21z1/21/22z1/21/21z1/21/22z(S)1z(S)2z(S)1z(S)]2z1[21[21[21[2(S)(S)][(S)(S)]2z1/21/21/21/21z1/22z1/21/21/21/21z1/21/21/2(S)1z(S)][2z(S)(S)]1z1/22z(S)(S)][1z(S)1z(S)]1z2z1/21/2(S)(S)][1z(S)(S)]1z2z2z1/21001122U(r)17.8设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是2r2。如果电子之间的库仑能和2U(r)相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程22(r)U(r)(r)E(r)122222)(r)r(r)E(r)22(z22x2y2122222)(r)2r(r)E(r)22(xyz222r2x2yz22，令考虑到(r)X(x)Y(y)Z(z)2)XYZ12222(x2y2z2)XYZEXYZ(xy2z222212X112Y1(22y2)22x2)(2Xx22Yx222212Z12Zx2(2z2)E212X1(22x2)E2Xx22x212Y1(2y2)E22Yx2y212Z12Zx2(2z2)E2zEEEExyzX(x)Ne122x2H(x)nnn1Y(y)Ne2H(y)2y2mmmZ(z)Ne122z2H(z)12r2(r)NNNe2H(x)H(y)H(z)nmnmnm12r2(r)NNNe2H(x)H(y)H(z)nmnmnmE(nmnm3)2Nn2nn!，其中1/