基本初等函-三角函数的图象与性质-余玄函数正切函数的图象与性质“十校联赛”一等奖

正切函数的图象和性质(二)学习目标：知识与技能：在掌握函数y=tanx图象和性质的基础上,明确y=tanx与A＞0,＞0图象间的关系，并掌握函数的性质等.知识讲解：Ⅰ、情境设置上节课我们学习了正切函数的作图及性质，下面我们利用性质解决问题。Ⅱ、知识点探究复习正切函数的图象和性质（略）【应用举例】【例1】求函数y=tan2x的定义域、值域和周期,并作出它在区间内的图象.解：(1)要使函数y=tan2x有意义，必须且只须k∈Z即k∈Z∴函数y=tan2x的定义域为{x∈R|,k∈Z}(2)设t=2x，由k∈Z知k∈Z∴y=tant的值域为（－∞，+∞）即y=tan2x的值域为（－∞，+∞）(3)由∴y=tan2x的周期为.(4)函数y=tan2x在区间的图象如图.说明：类似于y=sinx与图象间的关系，可以通过图象变换，由函数y=tanx的图象得到函数的图象.【例2】作出函数y=|tanx|的图象，并根据图象求其单区间.分析：要作出函数y=|tanx|的图象，可先作出y=tanx的图象，然后将它在x轴上方的图象保留，而将其在x轴下方的图象向上翻（即作出关于x轴对称图象），就可得到y=|tanx|的图象.解：由于y=|tanx|=所以其图象如图所示，单调增区间为：；单调减区间为.说明：根据图象我们还可以发现：函数y=|tanx|的最小正周期为，一般地，

的最小正周期与的最小正周期相同，均为.【例3】求函数的最小正周期.分析：由于=，于是认为函数的最小正周期为，这是错误的.因为与y=的定义域分别为：，

.，所以这两个函数的定义域不相同，故它们不是同

一函数.只有当y=增加了限制条件后才表示同一函数，因此要确定原函数

的最小正周期，就应结合函数y=（）的图象进行考虑.解：∵=（）作出y=（

）的图象.从图象上面可以看出函数的最小正周期为.说明：(1)数学中有许多公式和法则都有适用范围，超出这个范围就会出现偏差.(2)通过化简三角函数求最小正周期时，应特别注意定义域是否改变的问题，否则就会出现本例错解中的错误.【例4】已知f(x)=tanx,对于x1,x2且x1≠x2.试证＞证明：∵0＜x1＜,0＜x2＜,∴－＜x1－x2＜且x1≠x2,∴cos(x1－x2)＜1,即1+cos(x1+x2)＞2cosx1cosx2,＞2cosx1cosx2,＞,＞,＞,即＞.因此＞.说明：通过本题的证明可知函数y=tanx的图象，当x时是下凸的，同样可以证明函数y=tanx的图象当x时中是上凸的.Ⅲ、课内练习1．判断下列函数的周期性：（1）y=2+cosx+|tanx|；（2）y=x2tanx－cot2x；2．求下列函数的单调区间：3．求下列函数的周期：1．2．3．注：也可直接套用公式；Ⅳ、总结提炼：函数的周期性是三角函数最重要的性质，在作函数图象、求函数的单调区间、解三角方程和不等式的过程中都有着广泛的应用；而y=tanx的单调性可应用于比较函数值大小和证明角相等等问题.课后作业：一．选择题1、函数的最小正周期为（）A、B、C、D、2、如果＜cot,那么必有（）A、＜B、＜C、+＜D、+＞3、函数为（）A、奇函数B、偶函数C、既是奇函数又是偶函数D、既不是奇函数又不是偶函数4、要得到y=tan2x的图象，只需把的图象A、向左平移个单位B、向右平移个单位C、向左平移个单位D、向右平移个单位5、下列命题中正确的是（）A、y=cosx在第二象限是减函数B、y=tanx在定义域内是增函数C、的周期是D、y=sin|x|是周期为的偶函数6、以下函数中，不是奇函数的是（）A、y=sinx+tanxB、y=xtanx－1C、D、二．填空题7、函数的定义域为________.8、函数图象的对称中心的坐标是________.9、直线y=m（m为常数）与函数＞0）的图象相交的相邻两点交点间的距离为______.