自考概率论与数理统计(经管类)至历年真题及答案详解(按13章归纳)

∪B）=P（A）+P（B）D.P（B-A）=P（B）2.设事件A，B相互独立，且P（A）=，P（B）>0，则P（A|B）=（D）A.

C.115415B.D.1

315

11.一口袋中装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这2只球恰为一红一黑的概率是_____0.6__________.

12.设A，B为两个随机事件，且A与B相互独立，P（A）=0.3，P（B）=0.4，则

P（A）=______0.18________..

13.设A,B,C为三个随机事件,P(A)=P(B)=P(C)=

P(ABC)=_____11,P(AB)=P(AC)=P(BC)=,P(ABC)=0,则461______.4

26.设某地区地区男性居民中肥胖者占25%，中等者占60%，瘦者占15%，又知肥胖者患高血压病的概率为20%，中等者患高血压病的概率为8%，瘦者患高血压病的概率为2%，试求：

（1）该地区成年男性居民患高血压病的概率；

（2）若知某成年男性居民患高血压病，则他属于肥胖者的概率有多大？

26.解：(1)设A,B,C分别表示肥胖者、中等者和瘦者。

由题意P(A)0.25P(B)0.6P(C)0.15

D表示患高血压病，

P(D|A)0.2P(D|B)0.08P(D｜C)0.02

由全概率公式得该地区成年男性居民患高血压病的概率为

P(D)P(D|A)P(A)P(D|B)P(B)P(D|C)P(C)

0.20.250.080.60.020.150.050.0480.0030.101

(2)由贝叶斯公式得到他属于肥胖者的概率

P(A|D)P(D｜A)P(A)0.05500.495P(D)0.101101

201210

1.已知事件A，B，A∪∪B

【答案】D

【解析】“命中目标”=“甲命中目标”或“乙命中目标”或“甲、乙同时命中目标”，所以可表示为“A∪B”，故选择D.

2.设A，B是随机事件，，P（AB）=0.2，则P（A－B）=（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

【答案】A

【解析】，，故选择A.

11.设A，B是随机事件，P（A）=0.4，P（B）=0.2，P（A∪B）=0.5，则P（AB）=_____.

【答案】0.1

【解析】由加法公式P（A∪B）=P（A）+P（B）－P（AB），则

P（AB）=P（A）+P（B）－P（A∪B）=0.1

故填写0.1.

12.从0，1，2，3，4五个数字中不放回地取3次数，每次任取一个，则第三次取到0的概率为________.

【答案】

，则【解析】设第三次取到0的概率为

故填写.

，则________.13.设随机事件A与B相互独立，且【答案】0.8

【解析】因为随机事件A与B相互独立，所以P（AB）=P（A）P（B）

再由条件概率公式有所以=，故填写0.8.

26.甲、乙两人从装有6个白球4个黑球的盒子中取球，甲先从中任取一个球，不放回，而后乙再从盒中任取两个球，求（1）甲取到黑球的概率；（2）乙取到的都是黑球的概率.

【分析】本题考察“古典概型”的概率.

【解析】

（1）设甲取到黑球的概率为p，则

.

（2）设乙取到的都是黑球的概率为p，则

.

201307

第二章随机变量及其概率分布200704

3．下列各函数可作为随机变量分布函数的是（B）

2x,0x1A．F1(x)0,其他0,x0B．F2(x)x,0x1

1,x1

0,x0D．F4(x)2x,0x1

2,x11,x1C．F3(x)x,1x11,x1

解析：F(x)为分布函数,特征为：

1.F(-∞)=0,F(+∞)=1;

2.1>=F(X)>=0;

3.对于任何x1<x2,F(x1)<=F(x2).

4.(当定义：F(x)=P{X<=x})在任何点，右连续。即F(x+0)=F(x).

|x|,2x24．设随机变量X的概率密度为f(x)4，则P{1X1}（A）

0,其他

A．14

1B．121C．34D．111P{1X1}f(x)dxxdx．2041

15．设随机变量X～N(2,22)，则P{X0}___________．（附：(1)0.8413）

02P{X0}(1)1(1)10.84130.1587．2

下面我们不加证明地介绍正态分布有下面结果

若X~N（μ,σ2），则有

（1）X的分布函数F（x）＝

（2）

1e3x,x016．设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，则当x0时，X的概率密0,x0

度f(x)___________．

x0时，f(x)F(x)3e3x．

1x

e3,x029．设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（单位：分钟）具有概率密度f(x)3，

0,其他

某顾客在窗口等待服务，若超过9分钟，他就离开．

（1）求该顾客未等到服务而离开窗口的概率P{X9}；

（2）若该顾客一个月内要去银行5次，以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数，即事件{X9}在5次中发生的次数，试求P{Y0}．

解：（1）P{X9}9f(x)dx139ex3dxex3e3；9

0(e3)0(1e3)5(1e3)5．（2）P{Y0}C5

200707

1115．已知随机变量X～Bn,，且P{X5}，则n___________．232

由P{X515}Cn11225n551Cnn

2，得51Cnn

215，Cn2n5，n5．32

ae2x,x016．设随机变量X的分布函数为F(x)，则常数a___________．0,x0

由limF(x)lim(ae2x)a，得a1．xx

27．设随机变量X服从参数为3的指数分布．试求：（1）（2）P{1Y2}．YeX的概率密度；

3e3x,x0解：（1）X的概率密度为fX(x)，YeX的分布函数为

0,x0

FY(y)P{Yy}P{eXy}．

y0时，FY(y)P()0，fY(y)FY(y)0，

y0时，FY(y)P(Xlny}FX(lny)，注解：(在logaNb中,a0,a1,N0）

1、以e为底的对数叫做自然对数.为了方便,N的自然对数logeN简记为:lnN.

(e=2.71828…)

2、以10为底的对数叫做常用对数.为了方便,N的常用对数log10N简记为:lgN.

33e3lny

,lny04,y11(lny)(lny)fX(lny)y，即fY(y)y，fY(y)FY(y)FXy0,0y10,lny0

3,y1总之，fY(y)y4；

0,y1

2

121（2）P{1Y2}fY(y)dy31dyy4y32

17．8

200710

3．设随机变量X在区间[2,4]上服从均匀分布，则P{2X3}（C）

A．P{3.5X4.5}B．P{1.5X2.5}C．P{2.5X3.5}D．P{4.5X5.5}

133.51111,2x4，P{2X3}dx，P{2.5X3.5}dx．f(x)222222.520,其他

c,x14．设随机变量X的概率密度为f(x)x2，则常数c等于（D）

0,x1

A．1

1B．12C．12D．1由f(x)dxccdxc，得c1．x1x2

15．设随机变量X～N(1,4)，已知标准正态分布函数值(1)0.8413，为使P{Xa}0.8413，则常数a____________．

由P{Xa}0.8413，得a1a11，a3．(1)，22

16．抛一枚均匀硬币5次，记正面向上的次数为X，则P{X1}____________．

3111X～B5,，P{X1}1P{X0}1．32225

28．司机通过某高速路收费站等候的时间X（单位：分钟）服从参数为

（1）求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p；1的指数分布．5

（2）若该司机一个月要经过此收费站两次，用Y表示等候时间超过10分钟的次数，写出Y的分布律，并求P{Y1}．

1xxx1e5,x0解：（1）f(x)5，pP{X10}f(x)dxe5dxe5e2；

0,x01051010

（2）Y～B(2,e2)，Y的分布律为P{Yk}Ck

2(e2)k(1e2)2k，k0,1,2；

P{Y1}1P{Y0}1(1e2)22e2e4

29．设随机变量X的概率密度为f(x)x

2,0x2

0,其他

试求：（3）P{0X1}．

111

（3）P{0X1})dxxx2

f(x1

002dx404

200801

3．设随机变量X的取值范围是(1,1)，以下函数可作为X的概率密度的是（C）

A．f(x)x,1x1

0,其他B．f(x)x2,1x1

0,其他

C．f(x)1

2,1x1D．f(x)

2,1x1

0,其他0,其他

只有C满足条件f(x)dx1．

4．设随机变量X～N(1,4)，(1)0.8413,(0)0.5，则事件{1X3}的概率为（D

A．0.1385B．0.2413C．0.2934D．0.3413P{1X3}31

211

2(1)(0)0.84130.50.3413．）

15．设随机变量X表示4次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.5，则X～___________分布．

X～B(4,0.5)．

16．设随机变量X服从区间[0,5]上的均匀分布，则P{X3}___________．

13313,0x5，P{X3}f(x)dxdx．f(x)55500,其他

28．袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，现从袋中同时取出3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，试求：（1）X的概率分布；（2）X的分布函数；（3）YX21的概率分布．

解：（1）X的可能取值为3,4,5．

P{X3}12C1C2

3C51212C1C3C1C4136，P{X4}P{X5}，，33101010C5C5

12注：X3：先取3，再从1,2中取2个，共C1C2种取法；

12C3种取法；X4：先取4，再从1,2,3中取2个，共C1

12C4种取法．X5：先取5，再从1,2,3,4中取2个，共C1

X的概率分布为

（2）x3时，F(x)P{Xx}P()0，

3x4时，F(x)P{Xx}P{X3}0.1，

4x5时，F(x)P{Xx}P{X3}P{X4}0.10.40.4，

x5时，F(x)P{Xx}P{X3}P{X4}P{X5}0.10.30.61，

0,x30.1,3x4X的分布函数为F(x)；0.4,4x51,x5

（3）YX21的可能取值为10,17,26．

P{Y10}P{X3}0.1，P{Y17}P{X4}0.4，P{Y26}P{X5}0.6，

Y的概率分布为

200804

2．下列各函数中，可作为某随机变量概率密度的是（A）

2x,0x1

A．f(x)

0,其他

1

,0x1

B．f(x)2

0,其他

34x,1x1

D．f(x)

0,其他

2

3x,0x1

C．f(x)

1,其他

只有A满足条件：f(x)0，

f(x)dx1．

100

,x100

3．某种电子元件的使用寿命X（单位：小时）的概率密度为f(x)x2，任取一

0,x100

只电子元件，则它的使用寿命在150小时以）A．

14

150

B．

13

150

C．

12

D．

23

1001001001

P{X150}f(x)dx2dx1．

x1503x100100

4．下列各表中可作为某随机变量分布律的是（C）

150

A．

C．

1

3

B．D．

只有C满足条件：

24

1．515

x55．设随机变量X的概率密度为f(x)ce,x0，则常数c等于（B）

x00,

11A．B．C．1D．555

由

f(x)dxc0xe5dxx5ce55c，得5c1，c01．5

14．已知随机变量X服从参数为的泊松分布，且PX0e1，则_________．由PX0e，即10

0!ee1，得ee1，1．

15．在相同条件下独立地进行4次射击，设每次射击命中目标的概率为0.7，则在4次射击中命中目标的次数X的分布律为PXi________，i0,1,2,3,4．

iPXiC4(0.7)i(0.3)4i．

16．设随机变量X服从正态分布N(1,4)，(x)为标准正态分布函数，已知(1)0.8413，(2)0.9772，则P{|X|3}___________．

3131P{|X|3}P{3X3}(1)(2)(1)(2)122

0.84130.977210.8185．

217．设随机变量X～B4,，则PX1___________．3

1021PX1P{X0}C4．813304

0,x6x6,6x6，则当6x6时，X的概率18．已知随机变量X的分布函数为F(x)12

1,x6

密度f(x)______________．

1x66x6时，f(x)F(x)．1212

19．设随机变量X的分布律

为X1012

P1/83/81/167/16且YX2，记随机变量Y的分布函数为FY(y)，则FY(3)_________________．FY(3)P{Y3}P{X23}1P{X23}1P{X2}179．1616

200807

x0010x125．已知随机变量X的分布函数为F(x)2，则P{X1}（A）

1x33x31

A．16B．12C．23D．1

X是离散型随机变量，P{X1}P{0X1}F(1)F(0)211．326

14．设随机变量X服从区间0,10上的均匀分布，则P{X4}________________．

11016,0x10，P{X4}f(x)dxdx0.6．f(x)101041040,其他

15．在0,T内通过某交通路口的汽车数X服从泊松分布，且已知P{X4}3P{X3}，则在0,T内至少有一辆汽车通过的概率为________________．

由P{X4}3P{X3}，得4

4!3!

12012P{X1}1P{X0}1e1e12．0!e33e，12，所求概率为

28．甲在上班路上所需的时间（单位：分）X～N(50,100)．已知上班时间为早晨8时，他每天7时出门，试求：（1）甲迟到的概率；（2）某周（以五天计）甲最多迟到一次的概率．（Φ(1)0.8413，Φ(1.96)0.9750，Φ(2.5)0.9938）

6050解：（1）所求概率为P{X60}11(1)10.84130.1587；10

（2）用Y表示五天中迟到的次数，则Y～B(5,0.1587)，所求概率为

01P{Y1}P{Y0}P{Y1}C5(0.1587)0(0.8413)5C5(0.1587)1(0.8413)40.1675．

200810

1F()3．设随机变量X服从参数为3的指数分布，其分布函数记为F(x)，则3（C）

1e

A．3eB．3

设随机变量X~U(1,1)，则

1X~B(4,)3，则PX0___65/81____.15．设随机变量

解：P{X>0}=1-P{X=0}=1-(2/3)=65/81

16．设随机变量X~N(0,4)，则PX0___0.5____.

1,x1,fX(x)x2

0,x1.28．设随机变量X的概率密度为

1PX3；（1）求X的分布函数FX(x)；（2）求2（3）令Y=2X，求Y的概率密度fY(y).

29．设连续型随机变量X的分布函数为

x0,0,xF(x)0x8,8x8.1,

求：（1）X的概率密度f(x)；

200901

x,0x13．设随机变量X的概率密度为f(x)2x,1x2，则P{0.2X1.2}的值是（C）

0,其他

A．0.5

1B．0.61.2C．0.6621.2D．0.7

P{0.2X1.2}

0.2xdx(2x)dx1x22x2x20.20.480.180.66．1

4．某人射击三次，其命中率为0.7，则三次中至多击中一次的概率为（D）

A．0.027B．0.081C．0.189D．0.216

01(0.7)0(0.3)3C3(0.7)1(0.3)20.216．击中的次数X～B(3.0.7)，P{X1}C3

0,x01,0x1215．已知随机变量X的分布函数为F(x)，则P{2X4}___________．2,1x331,x3

P{2X4}F(4)F(2)121．33

16．已知随机变量X的概率密度为f(x)ce|x|，x，则c___________．

由

f(x)dx2cedx2ce0xx02c，得2c1，c1．2

28．某地抽样调查结果表明，某次统考中，考生的数学成绩（百分制）X服从正态分布

且96分以上的考生占考生总数的2.3%．试求考生的数学成绩在60～84分之间N(72,2)，

的概率．（已知(1)0.8413,(2)0.977）

24967224解：由P{X96}2.3%，即1得0.9考772，12．0.023，

生的数学成绩在60～84分之间的概率为

84726072P{60X84}(1)(1)2(1)120.841310.6826．1212

200904

3．设随机变量X在[1,2]上服从均匀分布，则随机变量X的概率密度f(x)为（A）

1,1x2A．f(x)3

0,其他

1,1x2C．f(x)0,其他3,1x2B．f(x)0,其他1,1x2D．f(x)3

0,其他

14．设随机变量X～B3,，则P{X1}（C）3

A．127B．827

03C．1927D．2627819012P{X1}1P{X0}1C3．1272733

2Ax,0x113．设随机变量X的概率密度f(x)，则常数A____________．0,其他

Ax3

由f(x)dxAxdx302110AA，得1，A3．33

14．设离散型随机变量X的分布律为

则常数C____________．XP100.41C2C

由2C0.4C1，得3C0.6，C0.2．

0,x10.2,1x015．设离散型随机变量X的分布函数为F(x)0.3,0x1则P{X1}___________．

0.6,1x21,x2

P{X1}1F(1)10.60.4．

0,x1016．设随机变量X的分布函数为F(x)10，则当x10时，X的概率密度1,x10x

f(x)_____________．

x10时，f(x)F(x)10．x2

27．设有10件产品，其中8件正品，2件次品，每次从这批产品中任取1件，取出的产品不放回，设X为直至取得正品为止所需抽取的次数，求X的分布律．

解：X的可能取值为1,2,3．记Ai{第i次取到正品}，则

P{X1}P(A1)84，105

P{X2}P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)288，10945

211．P{X3}P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)10945

X的分布律为

28．某气象站天气预报的准确率为0.8，且各次预报之间相互独立．试求：

（1）5次预报全部准确的概率p1；（2）5次预报中至少有1次准确的概率p2．解：设X为预报准确的次数，则X～B(5,0.8)．

5（1）p1P{X5}C5(0.8)5(0.2)00.32768；

0(0.8)0(0.2)510.000320.99968（2）p2P{X1}1P{X0}1C5

200907

4．设函数f(x)在[a,b]上等于sinx，在此区间外等于零，若f(x)可以作为某连续型随机变量的概率密度，则区间[a,b]应为（B）A．,02πB．0,2

C．[0,π]3πD．0,2

2ππ在0,上sinx0，且sinxdxcosx021，所以[a,b]应为0,．220

x,0x15．设随机变量X的概率密度为f(x)2x,1x2，则P{0.2X1.2}（C）

0,其他

A．0.5

1B．0.61.2

1C．0.66121.2D．0.7P{0.2X1.2}0.2xdx(2x)dxx220.2x0.480.180.66．2x21

同09年1月第3题

6．设在三次独立重复试验中，事件A出现的概率都相等，若已知A至少出现一次的概率为19，则事件A在一次试验中出现的概率为（C）27

111A．B．C．643D．1200设A在一次试验中出现的概率为p，则1C3p(1p)3198，即(1p)3，2727

1p21，p．33

14．设连续型随机变量X～N(1,4)，则

X1

～____________．2

X1

～N(0,1)．2

15．设随机变量X的概率分布为

XP

1

1

4

2

18

3

47

4

356

F(x)为其分布函数，则F(3)____________．

F(3)P{X3}1P{X4}1

353．5656

5

，则P{Y1}____________．9

5542002

由P{X1}，得P{X0}1，C2pq，得q．

9993

819003

于是P{Y1}1P{Y0}1C3．pq1

2727

16．设随机变量X～B(2,p)，Y～B(3,p)，若P{X1}

200910

5．设随机变量X的分布律为

A．0

B．0.2

C．0.3

D．0.5

，则P{X1}（C）

P{X1}P{X0}0.3．

6．下列函数中可作为某随机变量的概率密度的是（A）

100,x100,A．x2

x1000,1,0x2,C．

0,其他100100dx1．x2

x100100

10

,x0,B．x

0,x0131，x,D．222

其他0,

0，x0，π

17．设X的分布函数为F(x)sinx，0x,其概率密度为f(x)，则

2

π1,x,

2

f________．6

πcosx,0x．f(x)F(x)2，fcos6260,其他

18．设X～U(0,5)，且Y2X，则当0y10时，Y的概率密度fY(y)________．解法一：0x5时，fX(x)；

yyFY(y)P{Yy}P{2Xy}PXFX；22

yyy1y111fX．0y10时，05，fY(y)FY(y)FX22222251015

解法二：由X～U(0,5)，可得Y2X～U(0,10)，当0y10时，fY(y)1．10

29．设测量距离时产生的随机误差X～N(0,102)（单位：m），现作三次独立测量，记Y为三次测量中误差绝对值大于19.6的次数，已知(1.96)0.975．（1）求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p；（2）问Y服从何种分布，并写出其分布律；（3）求E(Y)．解：（1）pP{|X|19.6}P{X19.6}P{X19.6}(1.96)1(1.96)

22(1.96)220.9750.05；

k(0.05)k(0.95)3k，k0,1,2,3；（2）Y～B(3,0.05)，分布律为P{Xk}C3

（3）E(Y)np30.050.15．

201001

4．设随机变量X的概率分布为

则k（D）

A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4由0.20.3k0.11，可得k0.4．

5．设随机变量X的概率密度为f(x)，且f(x)f(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意的实数a，有（B）

a

A．F(a)1f(x)dx

1B．F(a)f(x)dx20D．F(a)2F(a)1

aC．F(a)F(a)

13．设随机变量X～B(1,0.8)（二项分布），则X的分布函数为___________．X的分布律

为XP00.20,x0分布函数为F(x)0.2,0x1．

1,x10.81

224x,0xc14．设随机变量X的概率密度为f(x)，则常数c___________．0,其他

c

由

f(x)dx24x2dx8x30c08c31，得c1．2

15．X服从均值为2，方差为2的正态分布，且P{2X4}0.3，则P{X0}_______．由P{2X4}

20.8；4222220.5，即0.50.3，得

022P{X0}110.80.2．

100,x10028．设某种晶体管的寿命X（以小时计）的概率密度为f(x)x2．

x1000,

（1）若一个晶体管在使用150小时后仍完好，那么该晶体管使用时间不到200小时的概率是多少？（2）若一个电子仪器中装有3个独立工作的这种晶体管，在使用150小时内恰有一个晶体管损坏的概率是多少？

1001002，解：（1）注意到P{X150}f(x)dx2dxx1503150150x

1001001P{150X200}f(x)dx2dx，x1506150150x

所求概率为P{X200|X150}200200200P{150X200}1/61；P{X150}2/34

（2）每一个晶体管在使用150小时C）

1,0x1;A．F1(x)10,其他.x0;1,B．F2(x)x,0x1;

1,x1.

x0;0D．F4(x)x,0x1;

2,x1.x0;0,C．F3(x)x,0x1;1,x1.

只有F3(x)满足F3()0，F3()1．

4．设离散型随机变量X的分布X

律为

则P{1X1}（C）

A．0.3B．0.4100.212P0.10.40.3D．0.7C．0.6P{1X1}P{X0}P{X1}0.20.40.6．

1,0x115．设X的概率密度为f(x)，则当0x1时，X的分布函数F(x)_______．0,其他

xx

0F(x)f(t)dtdtx．

16．设随机变量X～N(1,32)，则P{2X4}________．（附：(1)=0.8413）

4121P{2X4}(1)(1)2(1)120.841310.6826．33

A,2x2;28．设随机变量X的概率密度为f(x)0,其他.

试求：（1）常数A；（3）P{|X|1}．

2

解：（1）由

f(x)dxAdx4A1，得A2

11；4111（3）P{|X|1}P{1X1}f(x)dxdx．4121

201007

4．已知离散型随机变量X的概率分布如下表所示：

B．P{X0}0则下列概率计算结果正确的是（A）C．P{X1}1D．P{X4}1A．P{X3}0

2ab5．已知连续型随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布，则PX（B）3

A．01B．3C．23D．1

1,axb2abX的概率密度为f(x)ba，注意到ab，30,其他

2abPX32ab32ab3f(x)dxa11ba1dxbaba33

15．在时间[0,T]内通过某交通路口的汽车数X服从泊松分布，且已知P{X4}3P{X3}，则在时间[0,T]内至少有一辆汽车通过的概率为_________．

由P{X4}3P{X3}，即4

4!e33

3!e，得12，所求概率为

P{X1}1P{X0}1e12．

16．设随机变量X～N(10,2)，已知P{10X20}0.3，则P{0X10}________．由P{10X20}201010101010(0)0.50.3，得

101010010100.8，所以P{0X10}(0)

100.510.50.810.3．

28．设袋中有依次标着2,1,1,2,3,3数字的6个球，现从中任取一球，记随机变量X为取得的球标有的数字，求：（1）X的分布函数；（2）YX2的概率分布．

解：（1）X的分布律为

X

P

2111/621/631/31/61/6

0,x21/6,2x11/3,1x1X的分布函数为F(x)；1/2,1x22/3,2x31,x3

（2）YX2的概率分布为

Y1

1/341/391/3P

201010

2．设X～N(1,4)，F(x)为X的分布函数，(x)为标准正态分布函数，则F(3)（C）

A．(0.5)B．(0.75)C．(1)D．(3)

31F(3)(1)．2

2x,0x113．设随机变量X的概率密度为f(x)，则P0X（A）20,其他

A．14

1

21B．31C．12D．3411P0X2xdxx22．0204

1cx,1x04．设随机变量X的概率密度为f(x)，则常数c（B）20,其他

A．3

0B．10C．12D．1cx2x11cf(x)dxcxdx1，c1．222211

5．设下列函数的定义域均为(,)，则其中可作为概率密度的是（C）

A．f(x)ex

B．f(x)exC．f(x)1|x|e2D．f(x)e|x|11|x|e0，e|x|dxexdx1．220

14．设X的分布律

为记YX2，则P{Y4}_________．

P{Y4}P{X2}P{X2}0.10.40.5．

15．设X是连续型随机变量，则P{X5}_________．

P{X5}0．

16．设X的分布函数为F(x)，已知F(2)0.5，F(3)0.1，则P{3X2}_________．P{3X2}F(2)F(3)0.50.10.4．

1ex,x017．设X的分布函数为F(x)，则当x0时，X的概率密度f(x)_________．0,x0

x0时，f(x)F(x)(1ex)ex．

118．若随机变量X～B4,，则P{X1}_________．3

P{X1}1P{X010}1C4652．338104

201101

4．已知随机变量X只能取值1,0,1,2，其相应概率依次为1357，则,,,2c4c8c16c

1625P{X1|X0}（B）48B．2525

135737由，1，得c2c4c8c16c16A．C．1225D．

116

P{X1,X0}P{X1}8P{X1|X0}．P{X0}1P{X0}1125

4c437

5．下列各函数是随机变量X的分布函数的是（D）

A．F(x)1，x1x2B．F(x)ex，x

31C．F(x)arctanx，x420,x0D．F(x)x,x01x

只有D满足：F()0和F()1．

14．已知离散型随机变量X服从参数为3的泊松分布，则概率P{X0}_________．

303P{X0}ee3．0!

Ax1,0x215．设随机变量X的概率密度为f(x)，则常数A_________．0,其他

Ax212A21，得A．由f(x)dx(Ax1)dxx2200

16．设随机变量X的概率密度为f(x)

11221|x|e，x，则P{0X1}_________．21111P{0X1}f(x)dxexdxex(1e1)．202200

28．设10件产品中有2件次品，现进行连续无放回抽样，直至取到正品为止，求：

（1）抽样次数X的概率分布；（2）X的分布函数F(x)；（3）P{X2}，P{1X3}．解：（1）X的可能取值为1,2,3，设Ai{第i次取到正品}（i1,2,3），则

P{X1}P(A1)84，105

P{X2}P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)288，

10945

211，P{X3}P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)；X的概率分布为0,x14,1x25（2）X的分布函数为F(x)；

44,2x3451,x3

（3）P{X2}P()1，P{1X3}P{X2}8．45

201104

3．设随机变量X～B(3,0.4)，则P{X1}（C）

A．0.352B．0.432C．0.784D．0.936

0P{X1}1P{X0}1C3(0.4)0(0.6)30.784．

4．已知随机变量X的分布

律为

A．0.2B．0.35，则P{2X4}（C）D．0.8C．0.55

P{2X4}P{X1}P{X2}0.20.350.55．

13．设随机变量X服从参数为3的泊松分布，则P{X2}______．

32393P{X2}ee．2!2

14．设X～N(0,42)，且P{X1}0.4则(0.25)____．013，(x)为标准正态分布函数，由P{X1}0.4013，即1(0.25)0.4013，得(0.25)0.5987．

axb,0x2128．设随机变量X的概率密度为f(x)，且P{X1}，求：40,其他

（1）常数a,b；（2）X的分布函数F(x)；（3）E(X)．（（3）是第四章）

ax22a2b1，解：（1）由f(x)dx(axb)dxbx200

22

且P{X1}1ax311，得，b1；af(x)dx(axb)dxbxab222411

x222

（2）x0时，F(x)

f(t)dt0，

xxt2x2t，0x2时，F(x)f(t)dt1dttx24400x

x2时，F(x)tf(t)dt1dt1，20x2

0,

总之，F(x)x

1,

x0

x2

,0x2；4x1

2

2

x2x3x22

dx．（3）E(X)xf(x)dxx262030

201107

1

3．设随机变量X的分布律为P{Xn}a，n1,2,，则a（A）

2

A．1

B．

n

12

n

C．2D．3

1

alimP{Xn}an

n1n12

n

11

12212

a1．

4．设随机变量X～N(1,22)，(1)0.8413，则P{1X3}（D）A．0.1385

B．0.2413

C．0.2934

D．0.3413

3111

P{1X3}(1)(0)0.84130.50.3413．

22

1e3x,x0

14．设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，则P{X1}_________．

0,x0

P{X1}F(1)1e3．

15．设随机变量X～P()，且P{X0}e1，则P{Xk}(k1,2,)_________．

由P{X0}e1，得1，所以P{Xk}

11

e．k!

16．设随机变量X的分布律为

记YX2，则P{Y4}_________．

P{Y4}P{X2}P{X2}P{X3}0.20.20.20.6．

201110

5．设X服从参数为的泊松分布，且满足P{X1}2P{X3}，则（C）3

A．1B．2C．3D．4

P{X1}2

3P{X3}，即e232

36e，19，29，3．

6．设随机变量X～N(2,32)，(x)为标准正态分布函数，则P{2X4}（A

A．21B．12

323C．22

31D．2

3

P{2X4}4222221

333(0)32．

13．设随机变量X的分布函数为F(x)1e2x,x0则P{X2}___________

0,x0．

P{X2}1F(2)1(1e4)e4．

x,0x1

27．设随机变量X的概率密度为f(x)1

2,1x2，求X的分布函数F(x)．

0,其他

xx

解：x0时，F(x)0dt0，

f(t)dt

xx

0x1时，F(x)f(t)dttdtx2

，

02

x1x

1x2时，F(x)f(t)dt111x

tdtdt(x1)，012222

x12

x2时，F(x)f(t)dttdt1

2dt1，

01）

0,x02x,0x1总之，F(x)2x,1x22其他1,

201201

4．设随机变量X服从泊松分布，且已知P(X1)P(X2)，则P(X3)（D）

1A．e131B．e23

2C．e234D．e23由P(X1)P(X2)，即e2

2e23242，得2，所以P(X3)ee．3!3

2K(4x2x),1x25．设随机变量X的概率密度为f(x)，则K（C）0,其他

A．516

2B．12C．234D．452x334K2由f(x)dx2K(2xx)dx2K，得．Kx143311

1e3x,x013．设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，则P{X1}___________．x00,

P{X1}1F(1)1(1e3)e3．

14．已知离散型随机变量X的分布律为

则X的分布函数值3F___________．2

31113FPXP{X0}P{X1}．23622

15．设随机变量X～B(3,0.2)，且随机变量YX(3X)，则P{Y0}__________．2

03P{Y0}P{X0}P{X3}C3(0.2)0(0.8)3C3(0.2)3(0.8)00.52．

26．由历史记录知，某地区年总降雨量是一个随机变量，且此随机变量X～N(500,1002)（单位：mm）．求：（1）明年总降雨量在400mm～600mm之间的概率；（2）明年总降雨量小于

何值的概率为0.1．（(1)0.8413，(1.28)0.9）

600500400500解：（1）P{400X600}(1)(1)2(1)1100100

20.841310.6826；

a500a500（2）设P{Xa}0.1，即0.1，则10.9，100100

a500a5001.28，a372．0.9(1.28)，100100

ax,0x2329．设随机变量X的概率密度为f(x)cxb,2x4，已知E(X)2，P{1X3}．40,其他

求：（1）常数a,b,c；

cx2ax22a2b6c1，解：（1）f(x)dxaxdx(cxb)dxbx222020

2

0422424E(X)22xf(x)dxaxdx(cxbx)dxax33cxbx856a6bc2，323230

22232432

132P{1X3}1f(x)dxaxdx(cxb)dxax2cx2353abc，bx224223

2a2b6c12a2b6c156118c2，即8a18b56c6，得a，b1，c．解方程组a6b34436a4b10c3533abc242

201204

1,3<x<6,3．设随机变量X的概率密度为f(x)3则P3<X≤4=(B)

0,其他，

A．P1<X≤2

C.P3<X≤5B.P4<X≤5D.P2<X≤7

4．已知随机变量X服从参数为的指数分布，则X的分布函数为(C)

ex,x0,A．F(x)

0,x0.

1ex,x0,C.F(x)0,x0.

A．F()1

C.F()01ex,x0,B.F(x)0,x0.1ex,x0,D.F(x)0,x0.B.F(0)0D.F()15．设随机变量X的分布函数为F(x)，则(D)

15．设随机变量X的分布律为

,则P{x≥1)=____0.7__．

cx2,0≤x≤1，26．设随机变量X的概率密度为fx

0，其他.

求：(1)常数c；(2)X的分布函数Fx；(3)P0x

1．

2

201207

3.设随机变量X的概率密度为f(x)，则f(x)一定满足（C）

A.0≤f(x)≤1B.P{Xx}f(t)dtX

C.f(x)dx1D.f(+∞)=1

4.设随机变量X的概率密度为f(x)，且P｛X≥0｝＝1，则必有（C）

A.f(x)在（0，＋∞））

yA.2fX(-2y)B.fX()2

yy11C.fX()D.fX()2222

14.设X为连续随机变量，c为一个常数，则P｛X＝c｝＝____0___________.

1xx0;3e,

115.已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)(x1),0≤x2;

3

1,x≥2.

1设X的概率密度为f(x)，则当x<0,f(x)=______ex_________.3

16.已知随机变量X的分布函数为FX(x),则随机变量Y=3X+2的分布函数

y2FY(y)=_____Fx()______.3

17.设随机变量X～N（2，4），则P｛X≤2｝＝_____0.5__________.

cx,0x1;27.设随机变量X的概率密度为f(x)且E(X)=0.75，求常数c和.

0,其它.

1cxadx1.0解：由1a1cxdx0.75.0

可得

c1,a1c0.75,a2

解得

2,c3.

x,0x128.设随机变量X的概率密度为f(x)2x,1x2

0,其它,

求：（1）X的分布函数F（x）;(2)P{X<0.5},P{X>1.3}.

解：(1)当x0时，F(x)f(t)dt0；x

当0x1时，F(x)x

x2；f(t)dttdt02x

1x当1x2时，F(x)f(t)dttdt0x1x2(2t)dt2x1；2

当x2时，F(x)f(t)dt1；x

x00,2x,0x12即F(x)2x2x1,1x22x21,

(2)P(X0.5)F(0.5)0.125P(X1.3)1F(1.3)0.245

201210

2.设F(x)为随机变量X的分布函数，则有C

A.F(-∞)=0，F(+∞)=0B.F(-∞)=1，F(+∞)=0

C.F(-∞)=0，F(+∞)=1D.F(-∞)=1，F(+∞)=1

14.设随机变量X的分布律

，则a=___0.1_______.

15.设随机变量X～N(1，22)，则P{-1≤X≤3}=_____0.6826________.(附：Ф(1)=0.8413)

1,2x，16.设随机变量X服从区间[2，θ]上的均匀分布，且概率密度f(x)=4

其他，0,

则θ=_____6_________.

28.某次抽样结果表明，考生的数学成绩(百分制)近似地服从正态分布N(75，σ2)，已知85分以上的考生数占考生总数的5％，试求考生成绩在65分至85分之间的概率.

201301

解：本题考查的是分布函数的性质。

由F()1可知，A、B不能作为分布函数。

再由分布函数的单调不减性，可知D不是分布函数。所以答案为C。

解：

P{|X|2}P{X2}P{X2}

1P{X2}P{X2}1(2)(2)

1(2)1(2)22(2)

故选A。

解：可以得到X的分布律为

123P(X1),P(X2),P(X3)aaa

由分布律的性质，可得

12361，故a6。

aaaa

解：P{X1}e01xdxex101e0.3e0.7

2

0所以P{X2}exdxex1e21(e)20.51

02

解：P{2X1}P{X1}P{X0}0.20.40.6

2Ax,0x1解：(1)X的概率密度函数为f(x)F(x)A,1x2

0,其他

由性质则A+-f(x)dx1，有+-f(x)dx2AxdxAdxAx2A2A10101212

x,0x11（2）所以X的概率密度函数为f(x)F(x),1x2

2

0,其他

3333（3）P{0x}F()F(0)02244

201304

3.设随机变量X的分布函数为F（X）则

（）A.F（b－0）－F（a－0）B.F（b－0）－F（a）C.F（b）－F（a－0）D.F（b）－F（a）【答案】D【解析】根据分布函数的定义及分布函数的性质，选择D.详见【提示】.【提示】1.分布函数定义：设X为随机变量，称函数

，

的分布函数.

为

2.分布函数的性质：

①0≤F（x）≤1；

②对任意x1，x2（x1<x2），都有

③F（x）是单调非减函数；

④，；；

⑤F（x）右连续；

⑥设x为f（x）的连续点，则f′（x）存在，且F′（x）=f（x）.

3.已知X的分布函数F（x），可以求出下列三个常用事件的概率：①

②

③ⅰ）F（+∞，+∞）=1

（ⅱ）F（-∞，Y）=0，F（X，-∞）=0

F（-∞，-∞）=0

（3）X～FX（X）=F（X,+∞）

Y～FY（Y）=F（+∞,Y）

2217．已知当0x1,0y1时，二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)xy，记

11f(,)(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则44____1/4___.

18．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

1,0x1,0y1,f(x,y)其他,0,11PX,Y22__1/4_____.则

27．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

1y

2

f(x,y)2e,0x1,y0,

0,其他.

（1）分别求(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度fX(x),fY(y)；（2）问X与Y是否相互独立，并说明理由

.

200901

5．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

00.200.1

10.10.30

20.100.2

F(x,y)，其联合概率分布为

则F(0,1)（B）A．0.2

B．0.6

C．0.7D．0.8

F(0,1)P{X0,Y1}P{X1,Y0}P{X1,Y1}P{X0,Y0}P{X0,Y1}

0.20.100.30.6．

k(xy),0x2,0y1

6．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则k

0,其他

（B）

A．

14

B．

2

13

C．

12

1

D．

23

22

1y21

dxk由f(x,y)dxdyk(xy)dydxkxyxdx3k，2200000

1

．3

17．设二维随机变量(X,Y)的分布律为

得3k1，k

则P{XY0}___________．

01/41/3

51/61/4

P{XY0}P{X0,Y0}P{X0,Y5}P{X2,Y0}

1113．4634

xy,x0,y0e

18．设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则X的边缘概率密度为

0,其他

fX(x)___________．

x0时，fX(x)

f(x,y)dye

x

yxyxedye(e)e；x0时，fX(x)0．00

ex,x0

总之，fX(x)．

0,x0

19．设X与Y为相互独立的随机变量，其中X在(0,1)上服从均匀分布，Y在(0,2)上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度f(x,y)___________．

11

,0y21,0x1,0x1,0y2

fX(x)，fY(y)2，f(x,y)fX(x)fY(y)2．

0,其他0,其他0,其他

200904

5．设二维随机变量(X,Y)的分布律为

则P{XY2}（C）

11/103/10

22/101/10

32/101/10

A．

15

B．

310

C．

12

D．

35

P{XY2}P{X1,Y2}P{X2,Y1}

231．10102

4xy,0x1,0y1

6．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则当0y1时，

0,其他(X,Y)关于Y的边缘概率密度为fY(y)（D）

A．

1

2x

B．2x

C．

12y

D．2y

1

当0y1时，ff(x,y)dx4xydx2yx

21Y(y)

2y．

17．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)1

4,1x1,1y1

，

0,其他P{0X1,0Y1}______________．

1111

P{0X1,0Y1}1100

f(x,y)dxdy0

4dxdy4．

18．设二维随机变量(X,Y)的分布律为

1231/61/81/4

1/12

1/8

1/4

则P{Y2}______________．

P{Y2}P{X1,Y2}P{X2,Y2}

18181

4

．26．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)e

-(xy),x0,y0．

0,其他

（1）分别求(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度；（2）问X与Y是否相互独立，为什么？

解：（1）f,y)dyexey

dy,x0x

X(x)f(x0

e,x0

0,x0

0,x0，则

yx

y

eedx,y0e,y0

fY(y)f(x,y)dx；0

0,y0

0,y0

（2）对任意的x,y，都有f(x,y)fX(x)fY(y)，所以X与Y相互独立．

200907

7．设随机变量X,Y相互独立，其联合分布为

则有（B）A．

123

1

613

19118

12,

9

1

B．2

21

,99

3

C．

12

,33

D．

21

,33

1

61312

19118

1

9

1

18

1323

11211111

由得，得．3993189918

0.5x

)(1e0.5y),x0,y0(1e

17．设随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则X的边

0,其他

缘分布函数FX(x)____________．

1e0.5x,x0

．FX(x)F(x,)

0,x0

A(xy),0x2,0y1

18．设二维随机变量(X,Y)的联合密度为f(x,y)，则A

0,其他

____________．

22

1x2xy21dxAxdxA由f(x,y)dxdyA(xy)dydxAxy2202200000

2

1

2

3A，得3A1，A

1．3

200910

19．设相互独立的随机变量X，Y均服从参数为1的指数分布，则当x0,y0时，(X,Y)的概率密度f(x,y)________．

x0,y0时，f(x,y)fX(x)fY(y)exeye(xy)．

1，0x1,0y1,

20．设(X,Y)的概率密度f(x,y)则P{XY1}________．

0,其他，

axy，0x1,0y1,

21．设(X,Y)的概率密度为f(x,y)则常数a________．

0,其他，x2

由f(x,y)dxdyaxdxydya

200

1

1

1

y2

2

1

1

a

1，得a4．4

12(x2y2)

e22．设(X,Y)的概率密度f(x,y)，则(X,Y)关于X的边缘概率密度2

fX(x)________．

解法一：fX(x)

f(x,y)dy

12

e

x22

12

e

y22

dy

121

e

x22

．

x22

解法二：由(X,Y)～N(0,0,1,1,0)，可得X～N(0,1)，fX(x)

2

e

．

1

26．设二维随机变量(X,Y)只能取下列数组中的值：(0,0)，(1,1)，(1,)，(2,0)，且取

3

这些值的概率依次为

1511

，，，．（1）写出(X,Y)的分布律；（2）分别求(X,Y)关631212

于X，Y的边缘分布律．解：（1）(X,Y)的分布律为

001/65/12

1/31/1200

11/300

（2）(X,Y)关于X，Y的边缘分布律分别为

XP

1

5/12

01/6

25/12

YP

07/12

1/31/12

11/3

201001

6．设二维随机变量(X,Y)的分布律为

则P(XY0}A．

1

12

16

23

B．

1C．

3

D．

111112．12661263

11

16．设X，Y相互独立，且P{X1}，P{Y1}，则P{X1,Y1}___________．

32

111

P{X1,Y1}P{X1}P{Y1}．

236P(XY0}

2e2xy,0xy1

17．X和Y的联合密度为f(x,y)，则P{X1,Y1}_________．

0,其他

P{X1,Y1}

x1,y1

f(x,y)dxdy0dxdy0．

x1,y1

6x,

18．设(X,Y)的概率密度为f(x,y)

0,

x0,y0其他

，则Y的边缘概率密度为________．

注：第18题联合概率密度是错误的，不满足规范性．

201004

5．设二维随机变量(X,Y)的分布律为

00.1

10.1

a

b

且X与Y相互独立，则下列结论正确的是（C）A．a0.2,b0.6C．a0.4,b0.4

B．a0.1,b0.9D．a0.6,b0.2

边缘分布律分别为P{X0}0.2,P{X1}ab；P{Y0}0.1a,P{Y1}0.1b．因为X与Y独立，所以P{X0,Y0}P{X0}P{Y0}，即0.10.2(0.1a)，a0.4；

P{X0,Y1}P{X0}P{Y1}，即0.10.2(0.1b)，b0.4．

1

,0x2,0y2

6．设(X,Y)的概率密度f(x,y)4，则P{0X1,0Y1}（A）

0,其他

A．

14

B．

12

C．

34

D．1

11

P{0X1,0Y1}dxdy．

4004

17．设二维随机变量(X,Y)的分布律为

11

则P{X1,Y2}_________．

P{X1,Y2}P{X0,Y1}P{X0,Y2}0.200.100.30．

201007

6．设(X,Y)的概率分布如下表所示，当X与Y相互独立时，(p,q)=（C）

11B．,15511A．,51512C．,101521D．,1510

P{X2}13141，P{Y1}q，P{Y1}p．5102152

3111；p，可得p102210

1142q，可得q．521515由P{X2,Y1}P{X2}P{Y1}，即由P{X2,Y1}P{X2}P{Y1}，即

k(xy),0x2,0y1,7．设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)则k（A）0,其他,

1A．3