近三年全国新课标高考数学试卷试题分析

2011~2013年全国新课标数学试题试卷分析高三数学组周继轩纵观2011~2013年的新课标高考数学试题，整体感觉是：试卷结构保持稳定；考查内容相对稳定，仍然遵循主干知识重点考查的原则；对能力的考查力度逐年提升。现把2011~2013年全国课标卷所考查的知识点的情况以及相邻两年的对比分析如下。一、2011~2013年全国课标卷考查的知识点对比：高考数学试卷考点分析题型题号201320122011选择1集合集合复数的运算2复数的运算排列组合函数基本性质3三角函数恒等变换复数的运算命题框图4框图圆锥曲线（椭圆）概率5平面向量（夹角）数列三角函数角的终边6三角函数图像平移框图三视图7排列组合三视图圆锥曲线（双曲线）离心率8线性规划圆锥曲线（双曲线）二项式定理9三视图三角函数单调性定积分10解析几何（抛物线）函数的图象平面向量命题11函数命题立体几何三角函数函数的基本性质12立体几何（体积）函数函数填空13不等式的解法平面向量线性规划14圆锥曲线（双曲线）线性规划圆锥曲线（椭圆）15概率统计（正态分布）概率统计（正态分布）立体几何16三角函数等差数列数列前n项和三角函数（解三角形)解答17数列通项公式求角数列通项公式数列前n项和解三角形数列前n项和18统计的数字特征函数解析式线线垂直概率概率数字特征二面角的大小19面面垂直线线垂直概率二面角的大小二面角的大小概率数字特征20椭圆圆的半径抛物线圆的方程轨迹方程圆的方程点到直线的距离点到直线的距离21函数解析式单调区间函数解析式单调区间参数求值不等式恒成立问题不等式恒成立问题最值恒成立取值范围22选考圆的切线证明线线相等四点共圆切割线定理中位线三角形相似圆的半径23选考直角坐标系与极坐标系间方程的转化极坐标化直角坐标轨迹方程公共弦、参数方程参数方程参数方程24选考解含绝对值的不等式解含绝对值的不等式解含绝对值的不等式恒成立、分段函数恒成立已知解集求参数二、2011年与2012年全国高考课标卷的对比：（一）题型题量稳定，难度偏大2012年新课标全国高考数学试卷与2011年全国高考数学试卷结构相同。选择题比去年略难：填空题比去年多一个难题，特别是文科12题（理科16题）相对难度较大，超出了当前考纲对数列部分的要求，文科16题考查的只是比较灵活，也超出了文科学生的实际水平，很多考生在此题上浪费了时间、影响了情绪；解答题整体难于去年一个档次。（二）重点热点知识，重点考查2012年新课标全国高考数学试卷既考查全面又突出重点，考查内容涵盖了函数、数列】不等式、立体几何、解析几何、概率统计等高中数学模块，对于支撑学科知识体系的主干知识点，如函数的性质、导数的应用、空间几何体、空间直线与平面位置关系、圆锥曲线、概率、统计的考查保持了较高的比例，对于其他非主干知识点也注意适度考查，对新增内容的考查与去年比重相当，重点考查算法、三视图、概率与统计等知识点。（三）突出应用创新，区分度大2012年新课标全国高考数学试卷对数据处理意识要求比去年高，第15题（考查正态分布、概率计算）相比去年的第4题不论从知识还是能力上都高一个档次，第18题虽然与去年的第19题在形式上类似，但从学生答卷反馈来看，由于对阅读理解与转化要求比去年的第19题要高，所以还是要难一些。对于创新，首先是命题者的选材新，解答题个个背景新颖，如理科18题，20题，23题等，其次是立意新，如理科12题，理科16题（文科12题）文科16题，、文理科的21题，理科选修24题都为学生提供了展示创新思维的平台，这也是多数考生感觉今年数学试卷难的关键所在，也是试卷区分度高的保障。（四）试卷结构合理，背景公平本套试题既考查了高中数学的基本概念的理解掌握，基本问题的分析求解，又有常见的基本规律，基本结论的使用，也有各部分知识，各种数学方法的综合运用，最显著的特点是，紧扣教材，注重基础，突出考查了逻辑推理能力和思维的灵活性，严谨性以及对理性思维的当时，学生解题存在的问题：（1）不能够通过两组特殊值得到的方程组从而求出，而是总想只利用一组特殊值建立的等量关系后通过减元进行处理（2）求出后不能对导函数进行因式分解，一是不会利用特殊值找根，二是不能够利用对高次不等式进行因式分解；（3）求出单调区间后求极大值时（）由于运算量大导致错误。（2013年11题）已知函数=，若||≥，则的取值范围是....解法1：注意到时函数为二次函数的结构特征，因此采用特殊到一般的思路得到部分答案，利用答案C、D的区别验证1是否满足即可：∵||=，∴由||≥得，且，由可得，则≥-2，排除Ａ，Ｂ，当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C，故选D.解法2：数形结合法，即作出函数的图象，利用图象直观得到答案：作出函数的图象，如图，恒成立，需函数的图象永远在函数图象的上方，而函数图象是一条过原点的直线，图中的两条红线均不满足要求，而蓝线表示函数在原点处的切线，此时切线的斜率为，则的取值范围为.备注：在利用数形结合解决问题时，部分同学对斜率大于0的红线产生疑问，即当且很小时，在轴的左侧满足，在轴的右侧是不是也满足？即判断方程在的情况下是否一定有解？解决如下：不妨将方程转化为，令，令，则，所以函数单调递减，又，则，则函数单调递减;利用极限知识可知：（涉及到了洛密达法则）则，即在上一定有解.解法三：分离参数法解决恒成立问题由于函数为分段函数，则分两段考虑即可当时，原命题等价转化为：恒成立，分离参数得：

恒成立，令由解法二中备注知识可得：，则需；当时，原命题等价转化为：恒成立，即恒成立，从而得到综上可得：选D解法四：构造函数法解决恒成立问题当时，原命题等价转化为：恒成立，即恒成立，令，则在时单调递增，则需当时，原命题等价转化为：恒成立，令

令分母大于0，分子中系数为与0大小关系不定，故需分类讨论：当时，显然分子小于0，则，故函数单调递增，则成立；当时也成立当时，令由于不知道与定义域中0的大小关系，故分类（1）当时，函数在单调递增，在单调递减由于，则函数的图象大致如下图1或2；图象1图象2若为图象1，显然成立，若为图象2，则不成立，需要考虑函数在的极限，显然为无穷减无穷型，不妨考虑两个函数图象的变化图象1图象2即的图象变化，如下图：当时，则不成立；备注：或者利用解法二中的备注来解决；（2）当时，在递增，在上单调递减，则在上递减，又，故不成立综上可得：的取值范围为.知识点与方法整理：该题虽然为小题，但在解题过程中用到了大量的知识点与方法，现整理如下：（1）当时，基本不等式；（2）高等数学中的洛密达法则求型函数的极限；（3）分离参数法；（4）构造函数法此题最好的方法是利用图象或特殊到一般结合排除法最为简单，尤其是在考场上，建议用最直接的方法得到答案，而且在构造函数时发现当时不容易解决，但能够解决。反思与总结：我们仅看以上两例，但不难看出新课标命题的一些基本特征，掌握了这些特征，能对我们高考的辅导起到指导作用。现将我的体会分享如下：主干知识重点考查，但追求知识点的覆盖面：试题主要内容分布在函数（含导数）、不等式、数列、立体几何、解析几何、概率统计、三角等主干知识上，不刻意追求知识的覆盖面，如新增内容中函数的零点、二分法、幂函数、茎叶图、条件概率、全称命题与特称命题、合情推理与演绎推理、独立性检验等今年就没有涉及到。而对支撑学科知识体系的重点知识，考查时保持了较高的比例，构成了数学试卷的主体。注重对数学思想的诠释和对数学能力的考查：新课标试卷命题按照考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平。加大了试卷的区分度：新课标试卷命题遵循了考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必