2024-2025学年山东省烟台市高一上学期期中学业水平诊断数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省烟台市高一上学期期中学业水平诊断数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={0,1,2,3}，B={x∈Z|−2<x<2}，则A∩B=(

)A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{0,1,2}2.命题“∃x>1，x2−x>0”的否定为(

)A.∃x>1，x2−x≤0 B.∀x>1，x2−x≤0

C.∃x≤1，x23.函数f(x)=4−x2A.(−1,2] B.[−1,2]

C.[−2,−1)∪(−1,2] D.[2,+∞)4.下列各组函数中是同一个函数的是(

)A.f(x)=x2与g(x)=xB.f(x)=x与g(x)=x2x

C.f(x)=|x+1|与5.已知x>1，则4x+1x−1的最小值为(

)A.2 B.4 C.6 D.86.已知函数y=ax与y=bx+c在同一坐标系下的大致图象如图所示，则函数y=ax2+bx+c的图象可能为A.B.C.D.7.已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(1)=−1，且对∀x1，x2f(x2))>0，则不等式f(x−1)+1>0A.(0,2) B.(−∞,0)∪(2,+∞)

C.(−2,0) D.(−∞,−2)∪(0,+∞)8.若集合U的三个子集A、B、C满足A⫋B⫋C，则称(A,B,C)为集合U的一组“亲密子集”.已知集合U={1,2,3}，则U的所有“亲密子集”的组数为(

)A.9 B.12 C.15 D.18二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a，b，c，d均为实数，下列命题正确的有(

)A.若a>b，c>d，则a−d>b−c B.若a>b，c>d，则ac>bd

C.若ac2>bc2，则a>b 10.已知函数f(x)=2x−1x−1，则(

)A.f(x)在(−∞,1)∪(1,+∞)上单调递减 B.f(x)的值域为(−∞,2)∪(2,+∞)

C.f(x)的图象关于直线x=1对称 D.f(x)的图象关于点(1,2)对称11.已知函数y=f(x)的定义域为D，区间I⊆D，若存在非零常数t，使得对任意x∈I，x+t∈D，都有f(x+t)<f(x)，则称函数f(x)是区间I上的“t−衰减函数”.下列说法正确的有(

)A.函数f(x)=1x是(−2,−1)上的“1−衰减函数”

B.若函数f(x)=x2是(−2,−1)上的“t−衰减函数”，则t的最大值为1

C.已知函数f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)=|x−a|−a(a>0)，若f(x)是(−2,−1)上的“1−衰减函数”，则a的最大值为12

D.已知函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=|x−a|−a(a>0)，若f(x)是(−2,−1)上的“三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若函数f(x)=x2(x−a)为奇函数，则实数a的值为

13.若函数f(x)=x2+mx+1,x≤0x+1x+m,x>0的最小值为f(0)14.已知函数f(x)=ax2−2ax+2(a>0)在[0,3]上的最大值为5，则a的值为

;令x0=0，x4=3，若用xi(i=1,2,3且xi−1<xi四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)设集合A={x||x−3|≤1}，B={x|x(1)若a=1，求∁(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16.(本小题12分)已知函数f(x)=(1)若函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围;(2)求函数f(x)在区间[1,+∞)上的最小值．17.(本小题12分)已知某工厂生产一种电子元件，每年需投入固定成本5万元，当年产量为x(单位：万件)时，需额外投入可变成本C(x)(单位：万元).根据市场调研，每个元件售价为7元;在年产量x不超过8万件时，C(x)=12x2+x;在年产量x(注：年利润=年销售收入−固定成本−可变成本)(1)求年利润f(x)关于年产量x的函数解析式;(2)当x为何值时，年利润f(x)最大?最大年利润是多少?18.(本小题12分)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+2f(−x)=x(1)求函数f(x)的解析式;(2)用定义法证明：f(x)在区间(2,+∞)上单调递减;(3)已知函数y=g(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=g(x+a)−b为奇函数.利用上述结论，求函数y=f(x)图象的对称中心.(注：a19.(本小题12分)已知函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且对定义域内任意x，y都有f(xy)=y(1)设g(x)=f(x)x2，证明：函数(2)若f(x)满足：当x>1时，f(x)+2x(ⅰ)求不等式f(x2(ⅱ)若∃m∈(−2,2)，使得对∀s∈[1,+∞)，都有f(s)≤s2t2−(2mt+7)参考答案1.C

2.B

3.A

4.C

5.D

6.D

7.B

8.D

9.ACD

10.BD

11.ACD

12.0

13.[−1,0]

14.1；5

15.解：(1)由|x−3|≤1得，2≤x≤4，所以A={x|2≤x≤4}．

当a=1时，B={x|−1≤x≤3}，

A∪B={x|−1≤x≤4}，

所以∁R(A∪B)={x|x<−1或x>4}．

(2)因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⫋B，．

令x2−2ax−3a2≤0，得(x−3a)(x+a)≤0，

因为a>0，解得−a≤x≤3a，所以B={x|−a≤x≤3a}．

所以16.解：(1)当x<1时，f(x)=x−1，单调递增;

当x⩾1时，f(x)=x2−4ax+3a2，

函数y=x2−4ax+3a2在[2a,+∞)上单调递增，

若函数f(x)为R上的增函数，只需1−1⩽1−4a+3a22a⩽1,解得a≤13．

(2)当x≥1时，函数f(x)=x2−4ax+3a2，对称轴为x=2a．

所以，当2a≤1，即a≤12时，函数f(x)在[1,+∞)上单调递增，

所以f(x)min=f(1)=3a2−4a+1;

当2a>117.解：(1)当0<x≤8时，f(x)=7x−5−(12x2+x)=−12x2+6x−5;．

当x>8时，f(x)=7x−5−(10x+300x−1552)=1452−3(x+100x);

所以f(x)=−12x2+6x−5,0<x≤8,1452−3(x+100x),x>8.

(2)当0<x≤8时，f(x)=−12x2+6x−5=−18.解：(1)因为f(x)+2f(−x)=x3+9x2， ①

将上式中的x用−x替代，得f(−x)+2f(x)=−x3+9x2， ②

 ②×2− ①得：3f(x)=−3x3+9x2，所以f(x)=−x3+3x2．

(2)任取x1，x2∈(2,+∞)且2<x1<x2，

则f(x1)−f(x2)=−x13+3x12−(−x23+3x22)

=(x23−x13)+(3x12−3x22) =(x2−x119.解：(1)由f(xy)=y2f(x)+x2f(y)+2x2y2，得g(xy)=f(xy)x2y2=f(x)x2+f(y)y2+2=g(x)+g(y)+2，

令x=y=1，得g(1)=2g(1)+2，所以g(1)=−2．

令x=y=−1，得g(1)=2g(−1)+2，所以g(−1)=−2．

令y=−1，得g(−x)=g(x)+g(−1)+2=g(x)．

又g(x)的定义域(−∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称，

所以g(x)是(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数．

(2)由(1)知，g(xy)=g(x)+g(y)+2．

∀x1，x2∈(0,+∞)且x2−x1>0，

g(x2)−g(x1)=g(x2x1⋅x1)−g(