2023届北京市中学生标准学术能力诊断性测试高三上学期12月测试数学（文）试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat17页2023届北京市中学生标准学术能力诊断性测试高三上学期12月测试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出B集合的元素，再根据并集的定义求解.【详解】由题意，；故选：C.2．若（其中i为虚数单位），，则（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】将代入中，进行分母有理化，再代入求模公式求解即可.【详解】因为，所以，所以.故选：A.3．已知实数x，y满足，，则的最小值为（

）．A． B．0 C． D．1【答案】C【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，将目标函数对应的直线进行平移，找到取最小值的点即可计算．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得如图所示及其内部，将直线平移，当直线经过点时，目标函数有最小值，最小值为.故选：C4．下列函数中在上为增函数的是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可.【详解】依题意，对于A：在上为减函数，故A错误；对于B：在上为增函数，故B正确；对于C：在上为减函数，故C错误；对于D：在上为减函数，故D错误；故选：B.5．已知的三个内角、、所对的边分别为、、，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值.【详解】因为，由正弦定理可得，、，则，所以，，所以，，故.故选：C.6．某公司为了解用电量y（单位：）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：气温x181310用电量y24343864由表中数据可得回归方程为，经计算．由此回归方程可预测气温为℃时，用电量为（

）．A．68 B．70 C．74 D．76【答案】D【分析】先根据表中数据求得，再结合，得到回归方程求解.【详解】解：，又回归方程为，且，所以，则回归方程为，当℃时，，故选：D7．如图为函数在上的图像，则的解析式只可能是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】判断函数的奇偶性，结合函数在给定区间上的符号，利用排除法求解即可．【详解】对于B.的定义域为R，且，故为偶函数；对于D.的定义域为R，且，故为偶函数；由图象，可知为奇函数，故排除B、D；对于C.当时，由，可知，则，而，此时，故排除D；故选：A.8．如图，某几何体的正视图和俯视图是两个全等的矩形，则该几何体不可能是（

）A．三棱柱 B．四棱柱C．五棱柱 D．圆柱【答案】C【分析】由简单几何体的三视图判断．【详解】正三棱柱的三视图可以是两个全等矩形和一个三角形，本题几何体可能是A，正四棱柱的三视图可以是两个全等矩形和一个正方形，本题几何体可能是B，五棱柱的三视图可以是两个矩形和一个五边形，五棱柱有五条侧棱，三视图中不可能只是矩形，矩形中还有其他棱的投影线，本题几何体不可能是C，圆柱的三视图可以是两个全等矩形和一个圆，本题几何体可能是D．故选：C．9．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（

）．A．26种 B．31种 C．36种 D．37种【答案】D【分析】根据题意，设只会划左桨的人，只会划右桨的人，既会划左桨又会划右桨的人，据此按集合中参与人数分3种情况讨论，再由加法原理求解即可．【详解】根据题意，设只会划左桨的人，只会划右桨的人，既会划左桨又会划右桨的人，据此分3种情况讨论：①从中选3人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法；②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法；③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，则有种不同的选法.故选：D．10．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．已知鳖臑的四个顶点均在表面积为的球面上，则该鳖臑体积的最大值为（

）．A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】把鳖臑放到长方体中，利用长方体的性质，结合球的表面积公式、基本不等式进行求解即可.【详解】把鳖臑放到长方体中，如下图所示：设该长方体的长、宽、高分别为，显然该长方体的对角线长为，所以有，显然该鳖臑体积为，因为，当且仅当时取等号，即，当且仅当时取等号，故选：B11．记函数的最小正周期为T，为的导函数．若，为偶函数，则的最小值为（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】对求导，由题设可得求得，再由为偶函数，求得，即可得最小值.【详解】由且，则，又，故，则，得，由为偶函数，即为偶函数，所以且，则，，当时的最小值为2.故选：B12．设，，，则（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据数字特征、对数的运算性质、同角的三角函数关系式、二倍角正弦公式，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性进行判断即可.【详解】构造函数，所以有，因为，所以，所以此时函数单调递增，故有，显然，所以有，即；，，构造函数，则有，因为，所以，因此，所以函数是增函数，于是有，而，所以，即，于是有，故选：A【点睛】关键点睛：根据代数式的特征构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性进行判断是解题的关键.二、填空题13．已知向量，．若，则__________．【答案】1或【分析】根据平面向量平行的性质进行求解即可.【详解】因为向量，，，所以有，或，故答案为：1或14．经过点且与圆相切的直线方程为__________．【答案】【分析】根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离相等，分直线的斜率不存在和存在讨论求解.【详解】解：圆的标准方程为：，当直线的斜率不存在时，直线方程为，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离相等，即，化简得，解得，，综上：直线方程为：，故答案为：15．已知双曲线C的左焦点为F，过F且倾斜角为的直线与C的右支交于点P，O为坐标原点．若，则C的离心率为__________．【答案】##【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合余弦定理、双曲线的定义和离心率公式进行求解即可.【详解】由题意可知，所以，，因此由余弦定理可知：，设该双曲线的另一个焦点坐标为，因为，所以三角形是等边三角形，因此，由双曲线的定义可知：，所以C的离心率为，故答案为：16．如果实数x，y满足，则称x，y“余弦相关”．设，若存在，使得x，y“余弦相关”，则x的最小值为__________．【答案】【分析】利用余弦和差公式展开与辅助角公式，再由三角函数的最值建立不等式即可求解.【详解】依题意，因为，所以，所以，所以，因为，所以，整理得：，解得：，所以，所以x的最小值为：.故答案为：.三、解答题17．已知数列的前n项和为，且对任意正整数，都有．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；（2）求得，可求得，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.【详解】（1）解：当时，，所以，当时，由可得，上述两个等式作差可得，则，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以．（2）解：，所以，，所以，数列为等差数列，所以，所以当或时，取得最大值．18．某校高三共有500名学生，为了了解学生的体能情况，采用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生进行体能测试，整理他们的成绩得到如下频率分布直方图：(1)估算：若进行高三学生全员测试，测试成绩低于50的人数；(2)已知从样本中的男同学中随机抽取1人，该同学成绩不低于70的概率为；从样本中成绩不低于70的学生中随机抽取1人，该学生为男生的概率也为．试估计该校高三学生中男同学和女同学人数的比例．【答案】(1)50人(2)【分析】（1）从频率分布直方图中可求成绩不低于50的频率0.9，进而可求成绩低于50的频率0.1，再用即可求解；（2）先求样本中成绩不低于70的人数，再求样本中成绩不低于70的男同学人数，进而可求样本中男同学人数，易得女同学的人数，即可得出比例.【详解】（1）依题意，样本中成绩不低于50的频率为，所以成绩低于50的频率为0.1，所以估计总体中成绩低于50的人数为（人）．（2）样本中成绩不低于70的频率为，所以样本中成绩不低于70的人数为（人）．因为从样本中成绩不低于70的学生中随机抽取1人，该学生为男生的概率为，所以样本中成绩不低于70的男同学有30人，又因为从样本中的男同学中随机抽取1人，该同学成绩不低于70的概率为，所以样本中有男同学60人，进而有女同学40人，所以估计总体中男同学和女同学人数的比例为．19．如图所示，已知三棱台中，，，，，．(1)求二面角的余弦值；(2)设E、F分别是棱、的中点，若平面，求棱台的体积．【答案】(1)(2)【分析】（1）由二面角定义可得二面角的平面角为，结合垂直关系及余弦定理求其余弦值即可；（2）将棱台补全为棱锥，利用垂直关系证明面，进而得到相关线段垂直并求出线段的长度，根据求体积.【详解】（1）因为，，所以二面角的平面角为．因为，，所以，．因为，所以．因为，所以，故二面角余弦值为．（2）因为是三棱台，所以直线、、共点，设其交点为O，因为E、F分别是棱、的中点，所以直线经过点O．因为，，且面，所以面，又面，所以．因为，，所以．因为平面，平面，所以，所以，，故F为的中点．三棱台的体积．20．已知函数满足．(1)求的解析式；(2)设，求证：在上存在唯一的极小值点，且．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由求导，再求即可；（2）由（1）得到，求导，再利用零点存在定理求解.【详解】（1）解：因为，所以．进而，得．又，所以，所以．（2）由（1）知，所以，且在上递增，又，，所以存在，使得．因为当时，，综上，当时，，当时，，所以在区间上存在唯一的极小值点．因为，，所以．因为，所以．因为，所以．因为，所以．综上所述得：．【点睛】关键点点睛：第二问由零点存在定理得到，根据，得到而得解.21．如图所示，已知点A、B、C、D均在椭圆上，点A在第一象限，直线垂直于x轴，直线分别与y轴正半轴和x轴负半轴交于点E、F，E为线段的中点，直线经过点E．(1)若F为椭圆的左焦点，求的周长；(2)求当直线的倾斜角取得最小值时点A的坐标．【答案】(1)8(2)【分析】（1）设直线与x轴交于点，由已知得出是的中位线，再判断出为椭圆的右焦点，则的周长可表示为，代入即可求出答案；（2）设，，设直线斜率为k，得出，将直线与直线的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和斜率公式，得出直线的斜率，利用基本不等式，结合点在椭圆上，求出的值，即可求出点的坐标．【详解】（1）解：设直线与x轴交于点，如图所示，E为的中点，为的中点，是的中位线，，为椭圆的右焦点，，，周长为：．（2）设，点在第一象限，，则，，，设直线斜率为k，则，直线的斜率，则直线的方程为，直线的方程为，将两直线方程分别代入椭圆方程，得，，设，，则，，直线的斜率：，所以，当且仅当时，等号成立，即时取等号，所以当斜率取得最小值时，，即，又点在椭圆上，且，，，，，即点A的坐标为．22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（其中为参数）．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，点P是曲线C上的一动点，求面积的最大值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用公式法，把极坐标方程转化为直角坐标方程；利用消参，把在参数方程化为普通方程；（2）求出弦长，利用点到直线的距离公式和三角形的面积公