初中数学乘法公式

乘法公式概念总汇1、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即〔a+b〕〔a-b〕=a-b说明：〔1〕几何解释平方差公式如右图所示：边长a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。第一种：用正方形的面积公式计算：a2－b2；第二种：将阴影局部拼成一个长方形，这个长方形长为〔a＋b〕，宽为〔a－b〕，它的面积是：〔a＋b〕〔a－b〕结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影局部的面积。所以：a2－b2＝〔a＋b〕〔a－b〕。〔2〕在进展运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只有当这两个多项式它们的一局部完全一样，而另一局部只有符合不同，才能够运用平方差公式。平方差公式的a和b，可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。应用平方差公式可以进展简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算2、完全平方公式完全平方公式：两个数和〔或差〕的平方，等于它们的平方和，加上〔或减去〕它们积的两倍，即〔a+b〕=a+2ab+b，〔a-b〕=a-2ab+b这两个公式叫做完全平方公式。平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式说明：〔1〕几何解释完全平方〔和〕公式如图用多种形式计算右图的面积第一种：把图形当做一个正方形来看，所以它的面积就是：〔a＋b〕2第二种：把图形分割成由2个正方形和2个一样的长方形来看，其正方形的的边长是a，小正方形的边长是b，长方形的长是a，宽是b，所以它的面积就是：a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积所以：〔a＋b〕2＝a2＋2ab＋b2〔2〕几何解释完全平方〔差〕公式如图用多种形式计算阴影局部的面积第一种：把阴影局部当做一个正方形来看，所以它的面积就是：〔a-b〕2第二种：把图形分割成由2个正方形和2个一样的长方形来看，其正方形的的边长是a，小正方形的边长是b，长方形的长是〔a-b〕，宽是b，所以它的面积就是：结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积所以：〔3〕在进展运算时，防止出现以下错误：〔a+b〕=a+b，〔a-b〕=a-b。要注意符号的处理，不同的处理方法就有不同的解法，注意完全平方公式的变形的运用。完全平方公式的a和b，可以表示任意的数或代数式，因此公式的使用就不必限于两个二项式相乘，而可以扩大到两个多项式相乘，但要注意在表示成完全平方公式的形式才能运用公式，完全平方公式有着广泛的应用，尤其要注意完全平方公式和平方差公式的综合应用方法引导1、乘法公式的根本计算例1利用平方差公式计算：〔1〕〔3*＋5y〕〔3*－5y〕；〔2〕〔0.5b＋a〕〔-0.5b＋a〕〔3〕〔-m＋n〕〔-m－n〕难度等级：A解：〔1〕(3*＋5y)(3*－5y)＝(3*)2－(5y)2＝9*2－25y2↓↓↓↓〔a＋b〕〔a－b〕＝a2－b2〔2〕〔0.5b＋a〕〔-0.5b＋a〕＝〔a＋0.5b〕〔a－0.5b〕＝a2－0.25b2↓↓↓↓〔a＋b〕〔a－b〕＝a2－b2〔3〕〔－m＋n〕〔－m－n〕＝〔－m〕2－n2＝m2－n2↓↓↓↓〔a＋b〕〔a－b〕＝a2－b2【知识体验】仔细观察例题，看出两个多项式之间的一样点和不同点，找到两个多项式的第一项一样，而第二项互为相反数，符合运用平方差公式的条件，利用公式解题，得出结果【解题技巧】平方差公式的根本在于找到两个多项式的一样项和不同项，一样项就是a，不同项就是b和-b，所以多项式中项的位置颠倒时，可以先调换位置，再运用平方差公式【搭配练习】用平方差公式计算〔1〕〔－0.25*－y〕〔－0.25*＋y〕〔2〕〔－2*＋3y〕〔－2*－3y〕〔3〕〔2*－5〕〔2*＋5〕－〔2*＋1〕〔2*－1〕例2利用完全平方公式计算〔1〕〔2a＋3〕2〔2〕〔0.5m－0.2n〕2〔3〕〔-2*－3y〕2〔4〕〔1－3*〕〔3*-1〕难度等级：A解：〔1〕〔a＋b〕2＝a2＋2ab＋b2〔2〕〔3〕第一种解法：第二种解法：〔a＋b〕2＝a2＋2ab＋b2〔4〕【知识体验】仔细观察例题，题目都应该符合完全平方的形式，然后根据公式写出结果。第一步确定首尾，分别平方；第二步确定中间项的系数和符号，得出结论。【解题技巧】第三题给出了两种解法，第二解法实质上是利用了乘方的性质，利用互为相反数的幂可以互相转化，改变了原本的形式，便于后续利用完全平方和的公式写出结果，第一种虽然也可以得出正确结果，但涉及到符号问题较多，容易出现错误。第四题外表上看上去不可以用乘法公式，但仔细观察可以发现，这两个多项式的每一项只有符号不同，其他都一样，则也可以利用乘方的性质，把式子进展转化，后续得出的就是一个带有负号的完全平方式，但有一点还要注意的是中，应该先按照完全平方公式展开，再去掉负号【搭配练习】利用完全平方公式计算〔1〕〔2〕〔2〕〔4〕2、简便计算例3利用平方差公式简便计算〔1〕103×97〔2〕59.8×60.2难度等级：A解：〔1〕103×97＝〔100＋3〕〔100－3〕＝1002－32＝10000－9＝9991〔2〕59.8×60.2＝〔60－0.2〕〔60＋0.2〕＝602－0.22＝3600－0.04＝3599.96【知识体验】既然是简便计算，就有巧算的变法，把两个因数分别进展改写，写成一样的两个数的和与差相乘的形式，利用平方差公式求解。【解题技巧】如果可以利用公式，则103和97就分别是一样的两个数的和与差，则〔103+97〕÷2得到的就是第一个数，即公式中的a，〔103-97〕÷2得到的就是第二个数，即公式中的b【搭配练习】利用平方差公式简便计算〔1〕899×901＋1〔2〕98²〔3〕例4利用乘法公式简便计算〔1〕〔2〕〔3〕难度等级：A解：〔1〕〔2〕〔3〕【知识体验】解题时要注意区分使用哪一种公式，平方差公式一定要是两数和与两数差乘积的形式，完全平方公式一定是两数和或差的平方形式【解题技巧】平方差公式是两个不同的数或式子相乘，完全平方公式是一个数或式子平方的形式，当这两种公式混合在一起的时候要注意区别，分清属于哪一种【搭配练习】利用乘法公式简便计算997²－1001×999例题讲解(一〕题型分类全析例1：以下计算正确的选项是〔〕A.B.C.D.难度等级：A【思维直现】根据单项式与多项式的乘法法则，〔-4*〕·(2*2+3*-1)=-8*3-12*2+4*，所以A错；利用多项式乘法法则，计算〔*+y〕(*2+y2)，得*3+*y2+*2y+y3，所以B也不对；利用平方差公式，有(-4a-1)(4a-1)=(-1-4a)(-1+4a)=(-1)2-(4a)2=1-16a2，所以C是正确的；由完全平方公式，得(*-2y)2=*2-4y+4y2，所以D错.因此，选C.解：C【阅读笔记】整式的乘法包括幂的乘法，单项式与单项式的乘法，单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，乘法公式；在解决问题时，要对号入住，看到题目，就要想到用什么样的法则。【题评讲解】此题是常规题，都是考察学生的根本概念和根本法则。在做题时可以每道都做一遍，验证正确或错误的选项。【建议】如果遇到无法确定的时候，就说明知识点没有掌握清楚，此时的做题原则，就是排除法，先选出与待选答案相反结论的选项，在排查剩余选项。【搭配练习】1、以下关系式中，正确的选项是()A.(a－b)2=a2-b2B.(a+b)(a-b)=a2-b2C.(a+b)2=a2+b2D.(a+b)2=a2-2ab+b22、以下计算正确的选项是()A.(a+3b)(a-3b)=a2-3b2B.(-a+3b)(a-3b)=-a2-9b2C.(-a-3b)(a-3b)=-a2+9b2D.(-a-3b)(a+3b)=a2-9b2例2：多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的多项式可以是〔填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况〕难度等级：B【思维直现】根据完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2的特点，假设表示了a2+b2的话，则有a=2*，b=1，所以，缺少的一项为±2ab=±2〔2*〕·1=±4*，此时，±4*=(2*±1)2；如果认为表示了2ab+b2的话，则有a=2*2，b=1，所以，缺少的一项为a2=〔2*〕2=4*4，此时，4*4+=(2*2+1)2，从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方〞中所指的“整式〞既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式.注意到4*2=(2*)2，1=12，所以，保存二项式中的任何一项，都是“一个整式的完全平方〞，故所加单项式还可以是-1或者-4*2，此时有-1=4*2=(2*)2，或者-4*2=12.综上分析，可知所加上的单项式可以是.解：±4*、4*4、-1或-4*2【阅读笔记】成为一个整式的完全平方，并不一定指的是多项式形式的完全平方，还有可能是单项式的完全平方。因为整式是单项式和多项式的统称。虽然经常见到的多项式形式的完全平方，但单项式的完全平方也是成立的【题评讲解】此题是开放性的题目，主要考察学生对于完全平方公式的熟悉程度。如果能把所有的情况都想清楚，当然更好。【建议】题目的要求一定要看清楚，只要填写正确的一个即可，其他情况不做强制要求。【搭配练习】假设一个多项式的平方的结果为4a2+12ab+m2,则m=()A.9b2B.±3b2C.3bD.±3b例3计算：〔1〕〔2〕〔3〕难度等级：B【思维直现】仔细观察式子，都可以利用平方差公式和完全平方公式。在使用之前，要运用乘法的交换律和加法的结合律，还需要用到添括号法则，把式子变成符合公式的标准形式解：〔1〕〔2〕〔3〕或者【阅读笔记】乘法公式主要就是平方差和完全平方，展开式子的时候会分成一个单项式和一个单项式、一个单项式和一个多项式或一个多项式和一个多项式，而且运用一次公式后，可能还会需要第二次展开，层层递进。【题评讲解】题1只需要交换第二个式子和第三个式子，其余的都很容易看出做法；题2在使用平方差公式时，最主要的是多项式的变形；题3的多项式是三项，所以在使用完全平方公式的时候，要把多项式进展拆分，拆成一个单项式和一个多项式的形式【建议】按照法则，一步一步，每经过一个步骤，对照公式中a、b的形式和结论来求出最后结果【搭配练习】计算：〔1〕(c－2b+3a)(2b+c－3a)〔2〕〔a－b〕〔2a＋b〕〔3a2＋b2〕；〔3〕〔2a－3b＋1〕2例4请你观察右边图形，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是．难度等级：A【思维直现】图中所表示的整个正方形的面积是*2，两个小正方形的面积分别是y2与〔*-y〕2，利用这些数据关系，结合图形便可以写出以下乘法公式：〔*-y〕2=*2-2*y+y2；解：〔*-y〕2=*2-2*y+y2【阅读笔记】乘法公式不只有代数式子，根据几何图形的特征，研究其中蕴含的数学公式，是“数形结合思想〞的具体表达。【题评讲解】此题是数形结合的典型试题，从不同的角度去理解题目，理解其中的含义。【建议】在进展知识点讲解的时候，需要从代数和几何两个方面，推出乘法公式例5．计算：.难度等级：C【思维直现】观察此题容易发现可以利用平方差公式，但缺少因式，如果能通过恒等变形构造一个因式，则运用平方差公式就会迎刃而解。解：【阅读笔记】在进展多项式乘法运算时，应先观察给出的算式是否符合或可转化成*公式的形式，如果符合则应用公式计算，假设不符合则运用多项式乘法法则计算。【题评讲解】此题还是考察的平方差公式的运用。当题目有可能转化成所熟悉的式子时，要创造条件，但同时也不能改变题意，要求能够灵活地，熟练地运用所学解决问题。【建议】转换成平方差形式的时候，要说明转化的原因，并且举出例子。【搭配练习】计算1、(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)+12、〔1－〕〔1－〕〔1－〕…〔1－〕〔1－〕例6：，，求：〔1〕a2＋b2〔2〕a2＋ab＋b2〔3〕a4＋b4难度等级：A【思维直现】从条件出发很难得知题目的真正意图，再看看结论，和完全平方公式相似，则完全平方公式的变形就可以满足了，题〔1〕就是在的根底上减去了；题〔2〕可以看做的根底上减去了，或是在题〔1〕的根底上加上了；题〔3〕就是在题〔1〕结论的根底上，把平方后减去，而即是。解：〔1〕∵，∴即∴∵，∴∴∵，，∴即∴【阅读笔记】完全平方公式的左边式子比拟简单，右边是个三项式，所以在此根底上可以演化出许多其他的式子，可把三项式的其中两项作为一个多项式来看，如，那就可以用原来公式中左边的式子减去或加上。无论式子怎样变化，的关系是不会变的【题评讲解】此题是完全平方公式的提高题，对学生的要求比拟高。必须要在熟悉公式的根底下，还要灵活运用，逆向思维比拟强。【建议】一开场可以在公式的根底上进展变形，等学生熟悉后，再得出计算结果比拟好。【搭配练习】，，求，的值.〔二〕思维重点突破例7观察以下各式〔*－1〕〔*＋1〕=*2－1，〔*-1〕〔*2＋*＋l〕=*3－l．〔*－l〕〔*3＋*2＋*＋l〕=*4-1，根据前面各式的规律可得〔*－1〕〔*n＋*n-1＋…＋*＋1〕＝.难度等级：C【思维直现】由给定的等式，可以发现结果是以*为底数的幂与1的差，并且这个幂的指数比第二个括号中*的最高次幂的指数大1，所以〔*－1〕〔*n＋*n-1＋…＋*＋1〕＝*n+1-1.解：〔*－1〕〔*n＋*n-1＋…＋*＋1〕＝*n+1-1【阅读笔记】找规律的题目，就一定要发现它的规律，虽然第一个式子时平方差公式，但第二个、第三个式子已经不是了，找到变化过程中变的项和不变的项，结果就很容易得出了。【题评讲解】此题主要考察用类比思想总结规律，给出特殊的例子，找到一般的规律。此类题目要求综合能力比拟高，还要积累一定的知识，才容易发现规律。【建议】可以把式子进展比照，每一次的变化只会是式子的局部变化，式子从左到右，发生了什么样的变化，找到自我变化的式子和因它变化的式子。【搭配练习】观察以下各式：……通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是。例8．甲、乙两家超市3月份的销售额均为a万元，在4月和5月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长*%，而乙超市的销售额平均每月减少*%。〔1〕5月份甲超市的销售额比乙超市多多少？〔2〕如果a=150，*=2，则5月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元？难度等级：C【思维直现】列表分析3月份4月份5月份甲超市销售额aa(1＋*%)a(1＋*%)*(1＋*%)=a(1＋*%)2乙超市销售额aa(1－*%)a(1－*%)*(1－*%)=a(1－*%)2解：〔1〕〔2〕当a=150，*=2时【阅读笔记】应用题使用列表的方法可以让题目的数量关系变得清晰，题目中的文字都用表格和式子来进展表示。能把表格填好，也就意味着题目分析清楚了【题评讲解】此题要求在理解清楚题目意思的前提下，列出式子，并且还需要化简求值。列出式子是一个难点，化简式子是另一个难点。【建议】分析问题的时候，建议用列表的方法，把数量关系表示出来，再结合题目，给出符合题目意思的式子，列完式子后，也可以在代回到原题中，看是否符合【搭配练习】如图，点M是AB的中点，点P在MB上分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，设AB=4a，MP=b，正方形APCD与正方形PBEF的面积之差为S。〔1〕用a，b的代数表示S。〔2〕当a=4、b=1/2时，S的值是多少？当a=S，b=1/4时呢？课后作业A类作业：一、填空题1、〔2a－b〕〔〕＝b2－4a2．2、〔a－b〕2＝〔a＋b〕2＋_____________．3、20×19＝〔〕·〔〕＝________．二、选择1、假设a≠b，以下各式中不能成立的是……………〔〕〔A〕〔a＋b〕2＝〔－a－b〕2〔B〕〔a＋b〕〔a－b〕＝〔b＋a〕〔b－a〕〔C〕〔a－b〕2n＝〔b－a〕2n〔D〕〔a－b〕3＝〔b－a〕32、以下各式中正确的选项是…………………〔〕〔A〕〔a＋4〕〔a－4〕＝a2－4〔B〕〔5*－1〕〔1－5*〕＝25*2－1〔C〕〔－3*＋2〕2＝4－12*＋9*2〔D〕〔*－3〕〔*－9〕＝*2－27三、解答1、利用公式法计算〔1〕(EQ\F(1,3)a2－EQ\F(1,4)b)(－EQ\F(1,4)b－EQ\F(1,3)a2)〔2〕(a－EQ\F(1,2))2(a2+EQ\F(1,4))2(a+EQ\F(1,2))2〔3〕(－2a－3b)2〔4〕(a－3b+2c)2〔5〕101×99〔6〕982〔7〕899×901＋1〔8〕〔〕2002·〔0.49〕10002、ｘ＋ｙ＝4，ｘｙ＝3，求：3ｘ2＋3ｙ2；〔ｘ－ｙ〕2B类作业：一、填空题1、〔－a＋1〕〔a＋1〕〔a2＋1〕等于………………〔〕〔A〕a4－1〔B〕a4＋1〔C〕a4＋2a2＋1〔D〕1－a42、假设〔*＋m〕〔*－8〕中不含*的一次项，则m的值为………〔〕〔A〕8〔B〕－8