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文档简介
乘法公式概念总汇1、平方差公式平方差公式:两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差,即〔a+b〕〔a-b〕=a-b说明:〔1〕几何解释平方差公式如右图所示:边长a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。第一种:用正方形的面积公式计算:a2-b2;第二种:将阴影局部拼成一个长方形,这个长方形长为〔a+b〕,宽为〔a-b〕,它的面积是:〔a+b〕〔a-b〕结论:第一种和第二种相等,因为表示的是同一块阴影局部的面积。所以:a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕。〔2〕在进展运算时,关键是要观察所给多项式的特点,是否符合平方差公式的形式,即只有当这两个多项式它们的一局部完全一样,而另一局部只有符合不同,才能够运用平方差公式。平方差公式的a和b,可以表示单项式,也可以表示多项式,还可以表示数。应用平方差公式可以进展简便的多项式乘法运算,同时也可以简化一些数字乘法的运算2、完全平方公式完全平方公式:两个数和〔或差〕的平方,等于它们的平方和,加上〔或减去〕它们积的两倍,即〔a+b〕=a+2ab+b,〔a-b〕=a-2ab+b这两个公式叫做完全平方公式。平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式说明:〔1〕几何解释完全平方〔和〕公式如图用多种形式计算右图的面积第一种:把图形当做一个正方形来看,所以它的面积就是:〔a+b〕2第二种:把图形分割成由2个正方形和2个一样的长方形来看,其正方形的的边长是a,小正方形的边长是b,长方形的长是a,宽是b,所以它的面积就是:a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2结论:第一种和第二种相等,因为表示的是同一个图形的面积所以:〔a+b〕2=a2+2ab+b2〔2〕几何解释完全平方〔差〕公式如图用多种形式计算阴影局部的面积第一种:把阴影局部当做一个正方形来看,所以它的面积就是:〔a-b〕2第二种:把图形分割成由2个正方形和2个一样的长方形来看,其正方形的的边长是a,小正方形的边长是b,长方形的长是〔a-b〕,宽是b,所以它的面积就是:结论:第一种和第二种相等,因为表示的是同一个图形的面积所以:〔3〕在进展运算时,防止出现以下错误:〔a+b〕=a+b,〔a-b〕=a-b。要注意符号的处理,不同的处理方法就有不同的解法,注意完全平方公式的变形的运用。完全平方公式的a和b,可以表示任意的数或代数式,因此公式的使用就不必限于两个二项式相乘,而可以扩大到两个多项式相乘,但要注意在表示成完全平方公式的形式才能运用公式,完全平方公式有着广泛的应用,尤其要注意完全平方公式和平方差公式的综合应用方法引导1、乘法公式的根本计算例1利用平方差公式计算:〔1〕〔3*+5y〕〔3*-5y〕;〔2〕〔0.5b+a〕〔-0.5b+a〕〔3〕〔-m+n〕〔-m-n〕难度等级:A解:〔1〕(3*+5y)(3*-5y)=(3*)2-(5y)2=9*2-25y2↓↓↓↓〔a+b〕〔a-b〕=a2-b2〔2〕〔0.5b+a〕〔-0.5b+a〕=〔a+0.5b〕〔a-0.5b〕=a2-0.25b2↓↓↓↓〔a+b〕〔a-b〕=a2-b2〔3〕〔-m+n〕〔-m-n〕=〔-m〕2-n2=m2-n2↓↓↓↓〔a+b〕〔a-b〕=a2-b2【知识体验】仔细观察例题,看出两个多项式之间的一样点和不同点,找到两个多项式的第一项一样,而第二项互为相反数,符合运用平方差公式的条件,利用公式解题,得出结果【解题技巧】平方差公式的根本在于找到两个多项式的一样项和不同项,一样项就是a,不同项就是b和-b,所以多项式中项的位置颠倒时,可以先调换位置,再运用平方差公式【搭配练习】用平方差公式计算〔1〕〔-0.25*-y〕〔-0.25*+y〕〔2〕〔-2*+3y〕〔-2*-3y〕〔3〕〔2*-5〕〔2*+5〕-〔2*+1〕〔2*-1〕例2利用完全平方公式计算〔1〕〔2a+3〕2〔2〕〔0.5m-0.2n〕2〔3〕〔-2*-3y〕2〔4〕〔1-3*〕〔3*-1〕难度等级:A解:〔1〕〔a+b〕2=a2+2ab+b2〔2〕〔3〕第一种解法:第二种解法:〔a+b〕2=a2+2ab+b2〔4〕【知识体验】仔细观察例题,题目都应该符合完全平方的形式,然后根据公式写出结果。第一步确定首尾,分别平方;第二步确定中间项的系数和符号,得出结论。【解题技巧】第三题给出了两种解法,第二解法实质上是利用了乘方的性质,利用互为相反数的幂可以互相转化,改变了原本的形式,便于后续利用完全平方和的公式写出结果,第一种虽然也可以得出正确结果,但涉及到符号问题较多,容易出现错误。第四题外表上看上去不可以用乘法公式,但仔细观察可以发现,这两个多项式的每一项只有符号不同,其他都一样,则也可以利用乘方的性质,把式子进展转化,后续得出的就是一个带有负号的完全平方式,但有一点还要注意的是中,应该先按照完全平方公式展开,再去掉负号【搭配练习】利用完全平方公式计算〔1〕〔2〕〔2〕〔4〕2、简便计算例3利用平方差公式简便计算〔1〕103×97〔2〕59.8×60.2难度等级:A解:〔1〕103×97=〔100+3〕〔100-3〕=1002-32=10000-9=9991〔2〕59.8×60.2=〔60-0.2〕〔60+0.2〕=602-0.22=3600-0.04=3599.96【知识体验】既然是简便计算,就有巧算的变法,把两个因数分别进展改写,写成一样的两个数的和与差相乘的形式,利用平方差公式求解。【解题技巧】如果可以利用公式,则103和97就分别是一样的两个数的和与差,则〔103+97〕÷2得到的就是第一个数,即公式中的a,〔103-97〕÷2得到的就是第二个数,即公式中的b【搭配练习】利用平方差公式简便计算〔1〕899×901+1〔2〕98²〔3〕例4利用乘法公式简便计算〔1〕〔2〕〔3〕难度等级:A解:〔1〕〔2〕〔3〕【知识体验】解题时要注意区分使用哪一种公式,平方差公式一定要是两数和与两数差乘积的形式,完全平方公式一定是两数和或差的平方形式【解题技巧】平方差公式是两个不同的数或式子相乘,完全平方公式是一个数或式子平方的形式,当这两种公式混合在一起的时候要注意区别,分清属于哪一种【搭配练习】利用乘法公式简便计算997²-1001×999例题讲解(一〕题型分类全析例1:以下计算正确的选项是〔〕A.B.C.D.难度等级:A【思维直现】根据单项式与多项式的乘法法则,〔-4*〕·(2*2+3*-1)=-8*3-12*2+4*,所以A错;利用多项式乘法法则,计算〔*+y〕(*2+y2),得*3+*y2+*2y+y3,所以B也不对;利用平方差公式,有(-4a-1)(4a-1)=(-1-4a)(-1+4a)=(-1)2-(4a)2=1-16a2,所以C是正确的;由完全平方公式,得(*-2y)2=*2-4y+4y2,所以D错.因此,选C.解:C【阅读笔记】整式的乘法包括幂的乘法,单项式与单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式与多项式的乘法,乘法公式;在解决问题时,要对号入住,看到题目,就要想到用什么样的法则。【题评讲解】此题是常规题,都是考察学生的根本概念和根本法则。在做题时可以每道都做一遍,验证正确或错误的选项。【建议】如果遇到无法确定的时候,就说明知识点没有掌握清楚,此时的做题原则,就是排除法,先选出与待选答案相反结论的选项,在排查剩余选项。【搭配练习】1、以下关系式中,正确的选项是()A.(a-b)2=a2-b2B.(a+b)(a-b)=a2-b2C.(a+b)2=a2+b2D.(a+b)2=a2-2ab+b22、以下计算正确的选项是()A.(a+3b)(a-3b)=a2-3b2B.(-a+3b)(a-3b)=-a2-9b2C.(-a-3b)(a-3b)=-a2+9b2D.(-a-3b)(a+3b)=a2-9b2例2:多项式加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则加上的多项式可以是〔填上你认为正确的一个即可,不必考虑所有的可能情况〕难度等级:B【思维直现】根据完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2的特点,假设表示了a2+b2的话,则有a=2*,b=1,所以,缺少的一项为±2ab=±2〔2*〕·1=±4*,此时,±4*=(2*±1)2;如果认为表示了2ab+b2的话,则有a=2*2,b=1,所以,缺少的一项为a2=〔2*〕2=4*4,此时,4*4+=(2*2+1)2,从另外一个角度考虑,“一个整式的完全平方〞中所指的“整式〞既可以是上面所提到的多项式,也可以是单项式.注意到4*2=(2*)2,1=12,所以,保存二项式中的任何一项,都是“一个整式的完全平方〞,故所加单项式还可以是-1或者-4*2,此时有-1=4*2=(2*)2,或者-4*2=12.综上分析,可知所加上的单项式可以是.解:±4*、4*4、-1或-4*2【阅读笔记】成为一个整式的完全平方,并不一定指的是多项式形式的完全平方,还有可能是单项式的完全平方。因为整式是单项式和多项式的统称。虽然经常见到的多项式形式的完全平方,但单项式的完全平方也是成立的【题评讲解】此题是开放性的题目,主要考察学生对于完全平方公式的熟悉程度。如果能把所有的情况都想清楚,当然更好。【建议】题目的要求一定要看清楚,只要填写正确的一个即可,其他情况不做强制要求。【搭配练习】假设一个多项式的平方的结果为4a2+12ab+m2,则m=()A.9b2B.±3b2C.3bD.±3b例3计算:〔1〕〔2〕〔3〕难度等级:B【思维直现】仔细观察式子,都可以利用平方差公式和完全平方公式。在使用之前,要运用乘法的交换律和加法的结合律,还需要用到添括号法则,把式子变成符合公式的标准形式解:〔1〕〔2〕〔3〕或者【阅读笔记】乘法公式主要就是平方差和完全平方,展开式子的时候会分成一个单项式和一个单项式、一个单项式和一个多项式或一个多项式和一个多项式,而且运用一次公式后,可能还会需要第二次展开,层层递进。【题评讲解】题1只需要交换第二个式子和第三个式子,其余的都很容易看出做法;题2在使用平方差公式时,最主要的是多项式的变形;题3的多项式是三项,所以在使用完全平方公式的时候,要把多项式进展拆分,拆成一个单项式和一个多项式的形式【建议】按照法则,一步一步,每经过一个步骤,对照公式中a、b的形式和结论来求出最后结果【搭配练习】计算:〔1〕(c-2b+3a)(2b+c-3a)〔2〕〔a-b〕〔2a+b〕〔3a2+b2〕;〔3〕〔2a-3b+1〕2例4请你观察右边图形,依据图形面积间的关系,不需要添加辅助线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是.难度等级:A【思维直现】图中所表示的整个正方形的面积是*2,两个小正方形的面积分别是y2与〔*-y〕2,利用这些数据关系,结合图形便可以写出以下乘法公式:〔*-y〕2=*2-2*y+y2;解:〔*-y〕2=*2-2*y+y2【阅读笔记】乘法公式不只有代数式子,根据几何图形的特征,研究其中蕴含的数学公式,是“数形结合思想〞的具体表达。【题评讲解】此题是数形结合的典型试题,从不同的角度去理解题目,理解其中的含义。【建议】在进展知识点讲解的时候,需要从代数和几何两个方面,推出乘法公式例5.计算:.难度等级:C【思维直现】观察此题容易发现可以利用平方差公式,但缺少因式,如果能通过恒等变形构造一个因式,则运用平方差公式就会迎刃而解。解:【阅读笔记】在进展多项式乘法运算时,应先观察给出的算式是否符合或可转化成*公式的形式,如果符合则应用公式计算,假设不符合则运用多项式乘法法则计算。【题评讲解】此题还是考察的平方差公式的运用。当题目有可能转化成所熟悉的式子时,要创造条件,但同时也不能改变题意,要求能够灵活地,熟练地运用所学解决问题。【建议】转换成平方差形式的时候,要说明转化的原因,并且举出例子。【搭配练习】计算1、(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)+12、〔1-〕〔1-〕〔1-〕…〔1-〕〔1-〕例6:,,求:〔1〕a2+b2〔2〕a2+ab+b2〔3〕a4+b4难度等级:A【思维直现】从条件出发很难得知题目的真正意图,再看看结论,和完全平方公式相似,则完全平方公式的变形就可以满足了,题〔1〕就是在的根底上减去了;题〔2〕可以看做的根底上减去了,或是在题〔1〕的根底上加上了;题〔3〕就是在题〔1〕结论的根底上,把平方后减去,而即是。解:〔1〕∵,∴即∴∵,∴∴∵,,∴即∴【阅读笔记】完全平方公式的左边式子比拟简单,右边是个三项式,所以在此根底上可以演化出许多其他的式子,可把三项式的其中两项作为一个多项式来看,如,那就可以用原来公式中左边的式子减去或加上。无论式子怎样变化,的关系是不会变的【题评讲解】此题是完全平方公式的提高题,对学生的要求比拟高。必须要在熟悉公式的根底下,还要灵活运用,逆向思维比拟强。【建议】一开场可以在公式的根底上进展变形,等学生熟悉后,再得出计算结果比拟好。【搭配练习】,,求,的值.〔二〕思维重点突破例7观察以下各式〔*-1〕〔*+1〕=*2-1,〔*-1〕〔*2+*+l〕=*3-l.〔*-l〕〔*3+*2+*+l〕=*4-1,根据前面各式的规律可得〔*-1〕〔*n+*n-1+…+*+1〕=.难度等级:C【思维直现】由给定的等式,可以发现结果是以*为底数的幂与1的差,并且这个幂的指数比第二个括号中*的最高次幂的指数大1,所以〔*-1〕〔*n+*n-1+…+*+1〕=*n+1-1.解:〔*-1〕〔*n+*n-1+…+*+1〕=*n+1-1【阅读笔记】找规律的题目,就一定要发现它的规律,虽然第一个式子时平方差公式,但第二个、第三个式子已经不是了,找到变化过程中变的项和不变的项,结果就很容易得出了。【题评讲解】此题主要考察用类比思想总结规律,给出特殊的例子,找到一般的规律。此类题目要求综合能力比拟高,还要积累一定的知识,才容易发现规律。【建议】可以把式子进展比照,每一次的变化只会是式子的局部变化,式子从左到右,发生了什么样的变化,找到自我变化的式子和因它变化的式子。【搭配练习】观察以下各式:……通过观察,用你发现的规律写出的末位数字是。例8.甲、乙两家超市3月份的销售额均为a万元,在4月和5月这两个月中,甲超市的销售额平均每月增长*%,而乙超市的销售额平均每月减少*%。〔1〕5月份甲超市的销售额比乙超市多多少?〔2〕如果a=150,*=2,则5月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元?难度等级:C【思维直现】列表分析3月份4月份5月份甲超市销售额aa(1+*%)a(1+*%)*(1+*%)=a(1+*%)2乙超市销售额aa(1-*%)a(1-*%)*(1-*%)=a(1-*%)2解:〔1〕〔2〕当a=150,*=2时【阅读笔记】应用题使用列表的方法可以让题目的数量关系变得清晰,题目中的文字都用表格和式子来进展表示。能把表格填好,也就意味着题目分析清楚了【题评讲解】此题要求在理解清楚题目意思的前提下,列出式子,并且还需要化简求值。列出式子是一个难点,化简式子是另一个难点。【建议】分析问题的时候,建议用列表的方法,把数量关系表示出来,再结合题目,给出符合题目意思的式子,列完式子后,也可以在代回到原题中,看是否符合【搭配练习】如图,点M是AB的中点,点P在MB上分别以AP,PB为边,作正方形APCD和正方形PBEF,设AB=4a,MP=b,正方形APCD与正方形PBEF的面积之差为S。〔1〕用a,b的代数表示S。〔2〕当a=4、b=1/2时,S的值是多少?当a=S,b=1/4时呢?课后作业A类作业:一、填空题1、〔2a-b〕〔〕=b2-4a2.2、〔a-b〕2=〔a+b〕2+_____________.3、20×19=〔〕·〔〕=________.二、选择1、假设a≠b,以下各式中不能成立的是……………〔〕〔A〕〔a+b〕2=〔-a-b〕2〔B〕〔a+b〕〔a-b〕=〔b+a〕〔b-a〕〔C〕〔a-b〕2n=〔b-a〕2n〔D〕〔a-b〕3=〔b-a〕32、以下各式中正确的选项是…………………〔〕〔A〕〔a+4〕〔a-4〕=a2-4〔B〕〔5*-1〕〔1-5*〕=25*2-1〔C〕〔-3*+2〕2=4-12*+9*2〔D〕〔*-3〕〔*-9〕=*2-27三、解答1、利用公式法计算〔1〕(EQ\F(1,3)a2-EQ\F(1,4)b)(-EQ\F(1,4)b-EQ\F(1,3)a2)〔2〕(a-EQ\F(1,2))2(a2+EQ\F(1,4))2(a+EQ\F(1,2))2〔3〕(-2a-3b)2〔4〕(a-3b+2c)2〔5〕101×99〔6〕982〔7〕899×901+1〔8〕〔〕2002·〔0.49〕10002、x+y=4,xy=3,求:3x2+3y2;〔x-y〕2B类作业:一、填空题1、〔-a+1〕〔a+1〕〔a2+1〕等于………………〔〕〔A〕a4-1〔B〕a4+1〔C〕a4+2a2+1〔D〕1-a42、假设〔*+m〕〔*-8〕中不含*的一次项,则m的值为………〔〕〔A〕8〔B〕-8
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