人教课标实验版八年级下册第十九章四边形1平行四边形“百校联赛”一等奖_第1页
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文档简介

典题精析——平行四边形的性质【例1】已知：如图1，E、F是□ABCD的对角线上的两点，AE＝CF．(1)图中是否存在与△ABE全等的三角形？如果有，请予以证明；如果没有，请说明理由；(2)除了□ABCD的对边外，图中是否存在其他的平行线？如果有，请予以证明；如果没有，请说明理由；图1【命题意图】考查的知识点主要涉及平行四边形的性质、全等三角形以及平行线的性质与判定等．【解题思路】师：我们可以从直观的角度入手，观察与△ABE全等的三角形可能是哪个？生：根据形状和大小，估计△ABE≌△CDF．师：怎么证明它们全等呢？生：要证明△ABE与△CDF两个三角形全等，根据平行线的性质可得∠BAE=∠DCF，加之AE＝CF的已知条件，还需一个条件．这时就可用平行四边形对边相等的性质，得AB=CD，从而利用SAS证明△ABE≌△CDF．师：你的分析很正确．那么除了□ABCD的对边外，图中是否存在其他的平行线呢？生：直观地看，可以猜想BE∥DF．师：你能证明这一猜想吗？生：利用第（1）小题的结论，借助全等三角形的性质，即可证得BE∥DF．【解题误区】一忌用错定理，想当然的编造条件．比如发现∠BAE=∠DCF和AE＝CF两个条件后，又由AB//CD，得到∠ABE=∠CDF，误以为它们是内错角．二忌孤立求解，不能发现两个小题之间的联系．比如为了证明内错角∠CBE=∠AFD，又重新证明△CBE≌△ADF．这样做，虽然称不上错误，但终归大不合理．【正确解答】（1）△ABE≌△CDF．证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，（2）BE∥DF．证明如下：由（1）可知【问题探究】已知：如图，□ABCD中，对角线AC，BD相交于O，OE⊥AD，OF⊥BC，垂足垂足分别为E，F．图中相等的线段有哪些？试证明你的结论．注：根据所得结论的思维深度给予不同的分值（1~4分）图2【参考答案】1分的结论，比如AB=CD，AD=BC；2分的结论，比如AO=CO，BO=DO；3分的结论，比如OE=OF；4分的结论，比如AE=CF，DE=BF．以证明OE=OF为例，如下：在△AOE和△COF中，∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AEO＝∠CFO＝90°．∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC．∵AD//BC，∴∠EAO＝∠FCO．∴△AOE≌△COF(AAS)．∴OE=OF．注意：“∠1=∠2(对顶角相等)”不能直接使用．原题只是说OE⊥AD，OF⊥BC，并没有说EF过点O．因此，如果用到∠1=∠2，必须首先证明E，O，F三点共线．图1【例2】如图，中，、分别是、的中点，和相交于点，与相交于点，求证：与互相平分．图1【分析】要证明与平分，可证四边形是平行四边形．可采取证两组对边分别平行．【证明】在中，∵，．∴，又∵，∴四边形是平行四边形．∴．同理可

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