弹塑性力学第一章

弹塑性力学第一章2023/4/291第1页，共53页，2023年，2月20日，星期一第六章弹性力学平面问题的直角坐标系解答第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答第八章等截面直杆的扭转第九章空间轴对称问题第十章弹性力学问题的能量原理第十一章塑性力学基础知识弹塑性力学

2023/4/292第2页，共53页，2023年，2月20日，星期一

1.徐芝纶，弹性力学：上册.第三版,高等教育出版社.1990年

2.陆明万.罗学富,弹性理论基础,清华大学出版社.1990年

3.杜庆华.余寿文.姚振汉,弹性理论,科学出版社.1986年

4.王龙甫,弹性理论.第二版,科学出版社.1984年

5.吴家龙,弹性力学：高等教育出版社.2001年参考书目

2023/4/293第3页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-1弹塑性力学的任务和对象第一章绪论§1-2基本假设和基本规律§1-3弹性力学的研究方法§1-4弹性力学的发展梗概（略）

§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识

2023/4/294第4页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-1弹塑性力学的任务和对象

1.1

任务：弹塑性力学是固体力学的一个分支学科，它是研究可变形固体当受到外部因素（如载荷作用、温度变化、边界约束移动等）作用时，研究变形固体的变化和内力，为保证变形体或结构在使用周期内有足够的强度、刚度和稳定性，提供设计和施工（制造）的依据。2023/4/295第5页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-1弹塑性力学的任务和对象弹塑性力学是根据固体材料受外因作用时所呈现的弹性与塑性性质而命名。它们是固体材料变化过程的两个阶段。2023/4/296第6页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-1弹塑性力学的任务和对象当外部因素作用时，固体发生变形，如果当外因去掉，变形体恢复原样（状），称固体（材料）处于弹性性质，

单值；2023/4/297第7页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-1弹塑性力学的任务和对象如果当外因去掉，变形体未能恢复原状并存在永久变形，变形固体在外因作用时已进入塑性阶段，

曲线不是单值函数。当然变形体常遇到在物体某一局部处于弹性、而另一区域处于塑性状态，弹塑性交织在一起。2023/4/298第8页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-1弹塑性力学的任务和对象1.2研究的对象：

材料力学和结构力学是大学的主干课程，它们也是固体力学中较基本的力学课程。在许多工程设计中，工程师运用它们进行设计和计算，但它们研究的对象单一：杆件型构件或杆系结构，（一维问题），具有局限性。2023/4/299第9页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-1弹塑性力学的任务和对象1.2研究的对象：

弹塑性力学研究的对象就广泛的多，除了杆件外，二维、三维实体结构、板、壳结构。所以弹塑性理论基本方程要复杂的多，具有一般性。

2023/4/2910第10页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-2基本假设和基本规律2.1基本假设假设1：固体材料是连续的介质，即固体体积内处处充满介质，没有任何间隙。从材料的微观看此假设不正确。因为粒子间有空隙，但从宏观上看作为整体进行力学分析时，假设1是成立的。假设1的目的：变形体的各物理量为连续函数（坐标函数）。2023/4/2911第11页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-2基本假设和基本规律假设2：物体的材料是均匀的。认为物体内各点的材料性质相同（力学特性相同），所以从物体内任一部分中取出微元体进行研究，它的力学性质代表了整个物体的力学性质。2023/4/2912第12页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-2基本假设和基本规律假设3：小变形假设。物体在外因作用下，物体产生的变形与其本身几何尺寸相比很小。假设4：应力与应变关系为线性。此假设适用于线弹性理论。2023/4/2913第13页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-2基本假设和基本规律2.2基本规律完成弹塑性力学任务所要遵循的三个基本规律（或应满足的三方面的条件）：1.

平衡规律：固体受到外力与自身的内力要满足平衡方程，在弹性理论中它们为微分方程（3个）。2023/4/2914第14页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-2基本假设和基本规律2.

几何连续性规律：要求变形前连续的物体，变形后仍为连续物体，由这个规律建立几何方程（6个）或变形协调方程，均为微分方程。2023/4/2915第15页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-2基本假设和基本规律3.物理（本构）关系：应力（内力）与应变（变形）之间的关系，据材料的不同性质来建立，最常见的为各向同性材料。在线弹性中本构方程为线性代数方程（6个）。2023/4/2916第16页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-3弹性力学的研究方法数学方法：精确解法（解析解）、近似解法、数值解法。实验方法：电测方法、光测方法等。§1-4弹性力学的发展梗概（略）2023/4/2917第17页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、张

量基本知识

由于弹性力学研究对象的普遍性，导致方程也较繁杂，推导也同样复杂，为了使得公式表示简捷，近几十年弹性力学的论述及方程列式采用指标符号表示。为了这一原因，这里也简单介绍一些基本概念。这些符号或公式都是在笛卡尔坐标系中采用。

2023/4/2918第18页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识

5.1力学中常用的物理量1.标量：只有大小、没有方向性的物理量，与坐标系选择无关。用字母表示，如温度T、时间t、密度

等。标量无下标。2023/4/2919第19页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识

2.

矢量：有大小，又有方向性的物理量

矢量的符号记法。

如矢径

（或黑体）、位移

、力

等，

矢量也可以用它的标量表示：

x1

x3

x2r2023/4/2920第20页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、张

量基本知识

其中

、、为坐标的基方向（单位向量），r1、r2、r3为r在坐标轴的投影（分量），都有一个下标。x1

x3

x2r2023/4/2921第21页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识

3.

张量：有大小，并具有多重方向性的量每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个并在一起基矢量（并矢），称为二阶张量。矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。

如应力

、应变，张量的符号记法。2023/4/2922第22页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识

5.2求和约定在张量表示说明中，看到张量分量表示是一组符号之和，很长，特别是高阶张量，为了书写简捷，采用求和约定。求和约定：当在同一项中，有一个下标字母出现两次时，则表示该项在该指标的取值范围内遍历求和，且称此种在同一项重复出现一次的下标为哑标。

2023/4/2923第23页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识哑标如：由于哑标i仅表示要遍历求和，因此哑标可以成对的任意换标。

2023/4/2924第24页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识5.3自由指标一个表达式中如果出现非重复的标号或一个方程每项中出现非重复的而且为相同字母的指标，称为自由指标。矢径r

的表示：

矢径的三个分量为ri

(i=1,2,3)，用ri表示矢径；同样位移矢量u，用ui表示位移，ij

表示应力

张量。2023/4/2925第25页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识i为自由指标，取i=1,2,3表示三个方程。

j为哑指标，表示求和。

2023/4/2926第26页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识5.4克罗内克符号

ij

（Kroneckerdelta）

定义：ij（i,j为自由指标）共有九个分量，

i,j各取1—3。

2023/4/2927第27页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、张

量基本知识由

ij

定义9个元素组成矩阵为单位阵：ij符号的应用

笛卡尔坐标系的基向量的点积

2023/4/2928第28页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识由

ij定义及哑标、自由标定义，可得：2023/4/2929第29页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识如果

ij

符号的两个指标中有一个指标和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标替换成ij的另一个指标，而

ij

自动消失。ij

也称为换标符号。两个任意向量点积

2023/4/2930第30页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识5.5排列符号（levi－civtita）eijk定义：

eijk(i,j,k=1,2,3)

共有27个元素。

2023/4/2931第31页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识排列符号的作用可以简化公式书写，如：

1．

三阶行列式：

（共六项，三项为正，三项为负）。

2023/4/2932第32页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识2.基向量的叉积：右手系

任意基向量的叉积可写为

2023/4/2933第33页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识3．向量叉积的展开式：

而

2023/4/2934第34页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识

得

2023/4/2935第35页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识5.6梯度（grad）、散度（div）、旋度rot或curl）：1．标量场的梯度：标量场

(xi,)

的梯度为：

标量场：=(x1,x2,x3)=(xi,)

2023/4/2936第36页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识标量场

(xi,)

的梯度为：

其中

2023/4/2937第37页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识标量场的梯度为一矢量场，类推矢量场的梯度为二阶张量。标量场梯度的方向与等值面

(xi,)=C垂直，大小为

(xi,)在其法线方向上的方向导数2023/4/2938第38页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识2．矢量场的散度：

矢量

定义向量场的散度为

或

类推对张量场也可得它的散度。

2023/4/2939第39页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识3．矢量场的旋度：矢量

，定义向量场的旋度为2023/4/2940第40页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识4．拉普拉斯算子（laplaceopertor）：标量场中的拉普拉斯算子定义为标量场

(xi,)的梯度的散度，是一个标量，2023/4/2941第41页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识标量场

(xi,)的梯度的散度，是一个标量2023/4/2942第42页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识

矢量场的拉普拉斯算子定义为矢量场的梯度的散度：是一个向量

2023/4/2943第43页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识2023/4/2944第44页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识2023/4/2945第45页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识5.7高斯（Gauss）公式（散度定理）：矢量场

定义在三维域V内，S为V的表面。在表面上任一微元面dS，单位外法线为（）。若

在V＋S上有连续偏导数，则：2023/4/2946第46页，共53页，2023年，2月20日，星期一§1-5笛卡尔坐标系下的矢量、

张量基本知识矢量场散度的体积积分等于矢量场在表面法线上投影的积分。高斯公式表示了体积积分与面积积分的关系：2023/4/2947