控制系统的稳定性分析

控制系统的稳定性分析MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答第1页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答本章主要内容原理要点11.1系统稳定性的MATLAB直接判定

11.1.1MATLAB直接判定的相关函数11.1.2MATLAB直接判定实例11.2系统稳定性的MATLAB图解判定11.2.1MATLAB图解判定的相关函数11.2.2MATLAB图解判定实例11.3MATLABLTIViewer稳定性判定实例第2页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答原理要点

——系统稳定的概念

经典控制分析中，关于线性定常系统稳定性的概念是：若控制系统在初始条件和扰动作用下，其瞬态响应随时间的推移而逐渐衰减并趋于原点(原平衡工作点)，则称该系统是稳定的。反之，如果控制系统受到扰动作用后，其瞬态响应随时间的推移而发散，输出呈持续振荡过程，或者输出无限制地偏离平衡状态，则称该系统是不稳定的。第3页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答原理要点

——系统稳定的意义

系统稳定性是系统设计与运行的首要条件。只有稳定的系统，才有价值分析与研究系统自动控制的其它问题，例如只有稳定的系统，才会进一步计算稳态误差。所以控制系统的稳定性分析是系统时域分析、稳态误差分析、根轨迹分析与频率分析的前提。对一个稳定的系统，还可以用相对稳定性进一步衡量系统的稳定程度。第4页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答系统的相对稳定性越低，系统的灵敏性和快速性越强，系统的振荡也越激烈。第5页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答原理要点

——系统特征多项式

设线性定常系统闭环传递为：式中，称为系统特征多项式。第6页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答为系统特征方程。第7页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答原理要点

——系统稳定的判定

对于线性连续系统，如果系统的所有特征根(极点)的实部为负，则系统是稳定的；如果有实部为零的根，则系统是临界稳定的（在实际工程中视临界稳定系统为不稳定系统）；反之，如有正实部的根，则系统不稳定。

线性连续系统稳定的充分必要条件是：描述该系统的微分方程的特征方程的根全具有负实部，即第8页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答全部根在左半复平面内。或者说系统的闭环传递函数的极点均位于左半s平面内。线性离散系统稳定的充分必要条件是：如果闭环线性离散系统的特征方程根或者闭环脉冲传递函数的极点为则当所有特征根的模都小于1时，即该线性离散系统是稳定的：如果模的值大于1时，则该线性离散系统是不稳定的。第9页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答原理要点

——其它稳定性判据

除上述判据之外，还有很多其它判据（其它分析方法中，后面各章将阐述）从各个不同的角度对系统的稳定性加以判别，说明系统稳定性是系统能够成立与运行的首要条件。第10页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答

结束第11页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答11.1系统稳定性的

MATLAB直接判定第12页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答本节主要内容11.1.1MATLAB直接判定的相关函数11.1.2MATLAB直接判定实例第13页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答由系统的稳定判据可知，实际上是判定系统闭环特征方程的根的位置。其前提需要求出特征方程的根。MATLAB提供了与之相关的函数，见表11.1：第14页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答

表11.1判定系统稳定的MATLAB函数

p=eig(G)求取矩阵特征根。系统的模型G可以是传递函数、状态方程和零极点模型，可以是连续或离散的P=pole(G)/Z=zero(G)分别用来求系统的极点和零点。G是已经定义的系统数学模型[p,z]=pzmap(sys)求系统的极点和零点。sys是定义好的系统数学模型r=roots(P)求特征方程的根。P是系统闭环特征多项式降幂排列的系数向量第15页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答

11.1.2MATLAB直接判定实例

例1：已知系统闭环传递函数为用MATLAB判定稳定性。>>num=[1021];>>den=[12812201616];>>G=tf(num,den)

%得到系统模型第16页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答Transferfunction:s^3+2s+1-------------------------------------------------s^6+2s^5+8s^4+12s^3+20s^2+16s+16>>p=eig(G)%求系统的特征根p=0.0000+2.0000i0.0000-2.0000i-1.0000+1.0000i

-1.0000-1.0000i0.0000+1.4142i0.0000-1.4142i>>p1=pole(G)%求系统的极点第17页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答p1=0.0000+2.0000i0.0000-2.0000i-1.0000+1.0000i-1.0000-1.0000i0.0000+1.4142i0.0000-1.4142i>>r=roots(den)%求系统特征方程的根r=0.0000+2.0000i0.0000-2.0000i-1.0000+1.0000i-1.0000-1.0000i0.0000+1.4142i0.0000-1.4142i第18页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答系统特征根有2个是位于s左半平面的，而4个位于虚轴上。由于有位于虚轴的根，系统是临界稳定的。在实际工程应用上看，系统可认为是不稳定的。

分析：由不同MATLAB函数求得的系统特征方程根是一致的。在需要时根据情况选择使用。第19页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答例2：给定系统如图11.1，给出MATLAB程序判定系统是否稳定，要求程序给出适当提示。第20页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答um0=[13];den0=[245810];G=tf(num,den);Gc=feedback(G,1);[num,den]=tfdata(Gc,'v');r=roots(den);disp('系统闭环极点：');disp(r)a=find(real(r)>0);b=length(a);ifb>0disp('系统不稳定.');elsedisp('系统稳定.');end第21页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答程序运行结果：系统闭环极点：0.0682+2.1811i0.0682-2.1811i-1.1469+0.7535i-1.1469-0.7535i0.0786+1.4147i0.0786-1.4147i系统不稳定.例3：某控制系统的方框图如图11.2所示。试用MATLAB确定当系统稳定时，参数K的取值范围（假设）。第22页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答图11.2例3系统框图由题，闭环系统的特征方程为：整理得：

第23页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答当特征方程的根均为负实根或实部为负的共轭复根时，系统稳定。先假设K的大致范围，利用roots()函数计算这些K值下特征方程的根，然后判断根的位置以确定系统稳定时K的取值范围。程序如下：k=0:0.01:100;forindex=1:100p=[21527k(index)+12k(index)+1];r=roots(p);ifmax(real(r))>0

第24页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答break;endendsprintf('系统临界稳定时K值为:K=%7.4f\n',k(index))程序运行结果为：ans=系统临界稳定时K值为:K=0.9900第25页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答

结束第26页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答

11.2系统稳定性的

MATLAB图解判定

第27页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答本节主要内容

11.2.1MATLAB图解判定的相关函数11.2.2MATLAB图解判定实例第28页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答

11.2.1MATLAB图解判定的相关函数

对于给定系统G，pzmap(G)函数在无返回参数列表使用时，直接以图形化的方式绘制出系统所有特征根在S－复平面上的位置，所以判定系统是否稳定只需看一下系统所有极点在S－复平面上是否均位于虚轴左侧即可。这种图形化的方式更直观。第29页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答

11.2.2MATLAB图解判定实例

例4：已知一控制系统框图，如图11.3所示，试判断系统的稳定性。第30页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答>>G1=tf([11],[21]);>>G2=tf([5],[231]);>>H1=tf(1,[21]);>>Gc=feedback(G2*G1,H1)%得到闭环系统传递函数

Transferfunction:10s^2+15s+5----------------------------------8s^4+20s^3+18s^2+12s+6>>pzmap(Gc)第31页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答第32页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答分析：由于特征根全部在S-平面的左半平面，所以此负反馈系统是稳定的。例5：给定离散系统闭环传递函数分别为：和采样周期均为0.1秒。分别绘制系统零极点分布图，并判定各系统稳定性。

第33页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答>>num=[14.25.43];>>den=[1-2.72.52.43-0.56];>>Gc=tf(num,den,0.1)Transferfunction:z^2+4.2z+5.43---------------------------------------z^4-2.7z^3+2.5z^2+2.43z-0.56Samplingtime:unspecified>>pzmap(Gc)第34页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答图11.5例5运行结果第35页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答由上图可知，系统G在单位圆外有极点存在，系统是不稳定的。>>num=[0.685.43];>>den=[1-1.350.40.080.002];>>G2=tf(num,den,0.1)Transferfunction:0.68z+5.43-----------------------------------------z^4-1.35z^3+0.4z^2+0.08z+0.002Samplingtime:0.1>>pzmap(G2)第36页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答图11.6例5运行结果第37页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答由图可知，系统G2闭环传递函数的所有极点都位于单位圆内部，据此可知此闭环系统是稳定的。第38页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答

结束

第39页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答11.3MATLABLTIViewer

稳定性判定实例

MATLABLTIViewer是MATLAB为LTI（LinearTimeInvariant）系统的分析提供的一个图形化工具。用它来可以很直观简便地分析控制系统的时域和频域响应。用MATLABLTIViewer来观察闭环系统的零极点分布情况，需要首先在MATLAB中建立系统的闭环系统传递函数模型第40页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答例6：已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为

用MATLABLTIViewer观察闭环系统的零极点分布情况，并判断此闭环系统的稳定性。第41页，共46页，2023年，2月20日，星期一MATLAB与控制系统仿真实践，北京航空航天大学出版社，2009.8.在线交流，有问必答1.建立系统模型。>>z=[-3];>>p=[0-2-5];>>k=3;>>G=zpk(z,p,k)Zero/