平面向量数量积

平面向量数量积第1页，共15页，2023年，2月20日，星期一

物理上力所做的功实际上是将力分解，只有在位移方向上的力做功．θsF思考1：如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？

W=|F||s|cos

其中|F|cosθ是F在物体位移方向上的分量的数量。第2页，共15页，2023年，2月20日，星期一思考2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s“数量积”.

模仿力做功公式，我们定义向量的数量积的运算.

一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么？

W=|F||s|cos第3页，共15页，2023年，2月20日，星期一向量的夹角范围：O(一)向量的夹角O第4页，共15页，2023年，2月20日，星期一请判断，在下列各图中AOB是否为给出向量的夹角(1)oAB(4)oAB(3)oAB(2)oAB第5页，共15页，2023年，2月20日，星期一向量的夹角注意点1.在两向量的夹角的定义中，两向量必须是同起点．当θ＝０时，a与b同向当θ＝π时，a与b反向当θ＝π／2时，a与b垂直，记作ab2.θ∈[０,π]第6页，共15页，2023年，2月20日，星期一通过平移变成共起点！如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。

（3）AC与BC的夹角。ABC第7页，共15页，2023年，2月20日，星期一(二)平面向量的数量积的定义

已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量

叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b

，即规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．（1）向量数量积是一个数量，而不是向量，其值的符号由夹角决定：（3）

a·b不能写成a×b

，a×b

表示向量的另一种运算．（2）向量数量积是一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质并不一定成立．当θ∈［０,π/2)时,a.b＞０当θ∈(π/２,π］时,a.b＜０当θ=π/2,a.b=0第8页，共15页，2023年，2月20日，星期一例题讲解例．已知|a|=2,|b|=3分别在下列条件下求a·b.解：（1）a·b=|a||b|cosθ（1）θ＝1350（2）a∥b(3)a⊥b=2×3×cos1350（2）当a与b同向时，a·b=2×3=6当a与b反向时，a·b=－2×3=－6（3）a·b=|a||b|cosθ

=2×3×cos900

=0第9页，共15页，2023年，2月20日，星期一1.已知|p

|=8,|q

|=6,向量p和q

的夹角是60°,求p·q.

2.设|a|=12,|b|=9,a·

b=−54,求

a

与b之间的夹角。3.已知|a|=4,е为单位向量,它们的夹角为1200

，求a·е

学生练习第10页，共15页，2023年，2月20日，星期一例.已知在△ABC中，BC=５，CA=８，∠C=６００，求BC.CA∵∠C=６００∴向量BC与CA所成的角为１２００=5×8x(-1/2)=-20BC.CA=BCCAcos１２００解：ABC学生练习第11页，共15页，2023年，2月20日，星期一讨论性质：（1）a⊥ba·b=0

(判断两非零向量a、b垂直的依据)

（2）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|，当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|

．特别地（3）（4）a·b≤|a|·|b|交换律：对数乘的结合律：分配律：（5）运算率第12页，共15页，2023年，2月20日，星期一

辨析题:2）若a≠0,且a·b=a·c,则b=c.5）若|a·b|≥|a|·|b|，则a∥b.例题讲解0

·

b=0．若a

·

b=0，则a

·

b中至少有一个为0．若a

·

b=a

·

c,则b≠c,当且仅当a=0时成立．6）对任意向量a有3）(a·b)c=a(b·c).数量积不满足结合律数量积不满足消去律第13页，共15页，2023年，2月20日，星期一已知|a

|=4,|b

|=6,向量a和b的夹角是60°,求a.

(a+b),(2a-b).

(a+3b)的值已知|a

|=2,|b

|=3,向量a和b的夹角是120°,求|a+b|的值已知|a

|=|b

|=1,|3a-2b|=3，求|3a+b|的值例题讲解学生练习学生练习第14页，共15页，2023年，2月20日，星期一性质：（1）a⊥ba·b=0

(判断两非零向量a、b垂直的依据)

（2）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|，当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|

．特