相互重叠的等边三角形的性质讨论 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选相互重叠的等边三角形的性质探讨摘要：利用等边三角形的性质推导相互重叠的两个全等的等边三角形的性质，首先对其公共部分是一个六边形给出性质的证明，然后对其公共部分是一个四边形或是五边形再进行拓展研究，最后给出探讨成果.关键词：等边三角形，全等，重叠.引言：自古以来，人们都将几何教学作为锻炼逻辑思维的体操.至今，几何教程仍在培养逻辑思维方面发挥重大的作用，所以对几何图形的研究就显得十分重要.特别是组合图形，因其具有原图形基础上的独特性质，使对其性质的探讨和深层次的挖掘更有趣，更有新颖性.在几年前的数学竞赛中有一道对两个边长相等的正方形相互重叠的性质探讨题，有人为此给出了一些性质[1].在数学竞赛的命题中，经常出现一些趣味题、智力题、逻辑推理题、探索题等，这些题有一定的难度，有的又有一些趣味性和技巧，令人着迷.对这些竞赛题的探讨和深层次的挖掘也十分有趣，也很有意义.那么，对两个边长相等的等边三角形相互重叠又具有那些性质呢？本文将对其性质做一些探讨.图1重叠部分是一个六边形图2重叠部分是一个四边形图3重叠部分是一个五边形一、公共部分是一个六边形的性质探讨 如图1所示，两个边长相等的等边三角形SPQ和OMN相互重叠，其中公共部分为一个六边形ABCDEF.经挖掘，发现该图形具有以下性质：

性质1.六边形ABCDEF的六个角中，相间的三个角均相等，且每相邻的两角的和为240°.性质2.六边形ABCDEF外的六个三角形都相似.性质3.六边形ABCDEF的六条边中，相间三边的平方和相等.推论：六边形ABCDEF外的六个相似三角形中，相间三个三角形的对应边的平12022年安徽省中小学教育教学论文评选方和相等.性质4.两个全等的等边三角形在重叠时，每条边均被分成三段，则两等边三角形每条边外部两段的乘积之和相等.性质5.六边形ABCDEF的六条边中，相间三边的和相等.性质6.两个全等的等边三角形在重叠时，每条边均被分成三段，则两等边三角形顺次每两段边的乘积之和相等.以下就上述性质给出证明：性质1.六边形ABCDEF中，ÐABC=ÐCDE=ÐEFA,ÐBCD=ÐDEF=ÐFAB,ÐABC+ÐBCD=ÐBCD+ÐCDE=ÐCDE+ÐDEF=ÐDEF+ÐEFA=ÐEFA+ÐFAB=ÐFAB+ÐABC=240o证明：∵ÐABC=1800-ÐPBC,ÐCDE=1800-ÐNDC,ÐPCB=ÐNCD,ÐBPC=ÐDNC=600ÐPBC=1800-ÐBPC-ÐPCB,ÐNDC=1800-ÐDNC-ÐNCD,\ÐPBC=ÐNDC\ÐABC=ÐCDE同理可证 ÐCDE=ÐEFA,ÐBCD=ÐDEF=ÐFABÐABC+ÐBCD=1800-ÐPBC+1800-ÐPCB=3600-Ð( PBC+ÐPCB)=3600-(1800-ÐBPC)=3600-(1800-600)=2400同理可证ÐBCD+ÐCDE=ÐCDE+ÐDEF=ÐDEF+ÐEFA=ÐEFA+ÐFAB=ÐFAB+ÐABC=240o即命题成立.性质2.如图1，其中DSAF、DMAB、DPCB、DNCD、DQED、DOEF均相似.证明：∵在DSAF和DMAB中，ÐSAF=ÐMAB,ÐASF=ÐAMP\DSAF∽DMAB同理可证 DMAB∽DPCB, DPCB∽DNCD, DNCD∽DQED,DQED∽DOEF, DOEF∽DSAF.22022年安徽省中小学教育教学论文评选即六个小三角形都相似.性质3.如图1，六边形ABCDEF中，AB2+CD2+EF2=BC2+DE2+FA2.证明：由性质2可设ÐSAF=ÐMAB=ÐPCB=ÐNCD=ÐQED=ÐOEF=aÐSFA=ÐMBA=ÐPBC=ÐNDC=ÐQDE=ÐOFE=bMA=PC=NC=QE OE=EF=SA=d(d>0)(1)ABBCCDDEFAMB=PBBC=ND QD=DE OF=EF=SF=e(e>0)(2)ABCDFA∵等边DSPQ和等边DOMN边长相等\SDSPQ=SDOMN\SDSPQ=SDSAF+SDPCB+SDQED+六边形ABCDEFSDOMN=SDMAB+SDNCD+SDOEF+六边形ABCDEF\SDSAF+SDPCB+SDQED=SDMAB+SDNCD+SDOEF11\æ1çè2SAAF·sina·1SF·AF·sinbö2÷ø+æçè

12PC·BC·sina·1PBBC·sinbö2÷ø2211=æçè

12MAAB·sina·1MB·AB·sinbö2÷ø+æçè

12NCCD·sina·1NDCD·sinbö2÷ø221+æçè

12OE·EF·sina·1OF·EF·sinbö2÷ø2化简得(SASF1)2·AF+(PC·PB1)2·BC+(QEQD1)2·DE=(MAMB1)2·AB+(NC·ND1)2·CD+(OEOF1)2·EF即(de1)2·AF2+(de1)2·BC2+(de1)2·DE2=(de1)2·AB2+(de1)2·CD2+(de1)2·EF2\AB2+CD2+EF2=AF2+BC2+DE2推论：SA2+PC2+QE2=MA2+NC2+OE2SF2+PB2+QD2=MB2+ND2+OF232022年安徽省中小学教育教学论文评选证明：由性质3及(1)和(2)式即得.性质4.SAPB+PCQD+QE·SF=MAOF+OE·ND+NC·MB()·eFA分析：由(1)和(2)式可知，要证明()式成立，只需证明+dDEdAB·eEF+dEF·eCD+dCD·eAB=dFA·eBC+dBC·eDE即证ABEF+EF·CD+CD·AB=FABC+BC·DE+DE·FA证明：∵等边DSPQ和等边DOMN边长相等\SP=OM,PQ=MN,QS=NO\SA+AB+PB=OF+FA+MAPC+CD+QD=MB+BC+NCQE+EF+SF=ND+DE+OE由(1)和(2)式可得dFA+AB+eBC=eEF+FA+dABdBC+DC+eDE=eAB+BC+dDCdDE+EF+eAF=eDC+DE+dEF将上述三式左右两边分别平方得=d2d2FA2+AB2+e2BC2+2dFAAB+2eABBC+2deFABC(3)EF2+FA2+e2AB2+2dEF·FA+2eFAAB+2deEF·AB=d2d2BC2+DC2+e2DE2+2dBC·DC+2eDC·DE+2deBC·DE(4)AB2+BC2+e2DC2+2dABBC+2eBC·DC+2deABDC=d2d2DE2+EF2+e2FA2+2dDE·EF+2eEF·FA+2deDE·FA(5)DC2+DE2+e2EF2+2dDC·DE+2eDE·EF+2deDC·EF(3)+(4)+(5)，由性质3并化简即得ABEF+EF·CD+CD·AB=FABC+BC·DE+DE·FA\ SAPB+PCQD+QE·SF=MAOF+OE·ND+NC·MB性质5.六边形ABCDEF中，AB+CD+EF=BC+DE+FA.证明：∵(AB+CD+EF)

2=AB2+CD2+EF2+2ABCD+2CDEF++2EF·AB(BC+DE+FA)

2=BC2+DE2+FA2+2BC·DE+2DE·FA++2FABC由性质3和性质4可得\(AB+CD+EF)

2=(BC+DE+FA)

2AB+CD+EF=BC+DE+FA.42022年安徽省中小学教育教学论文评选性质6.SAAB+ABBP+BPPC+PCCD+CDDQ+DQQE+QE·EF+EF·FS+FS·SA=OF·FA+FAAM+AM·MB+MBBC+BCCN+CN·DN+DN·DE+DEOE+OEOF(6)证明：由性质2可得SAAB=MAFA,PB·AB=MBBC,,PC·DC=NC·BC,DQDC=NDDEQE·EF=OE·DE,SF·EF=OF·FA以上各式相加可得SAAB+ABBP+PCCD+CDDQ+QE·EF+EF·FS=OF·FA+FAAM+MBBC+BCCN+DN·DE+DEOE (7)BPPC+DQQE+FS·SA=deBC2+deDE2+deFA2AM·MB+CN·DN+OEOF=deAB2+deCD2+deEF2由性质3可知BPPC+DQQE+FS·SA=AM·MB+CN·DN+OEOF(8)(7)+(8)即得(6)式.以上所述均是在两个等边三角形相互重叠公共部分成六边形的情况下性质的讨论，那么，若相互重叠时其公共部分为一四边形或五边形时，以上的性质还成立吗？经挖掘，发现除性质1外，均具有其他五条性质.二、公共部分是一个四边形的性质探讨若两个边长相等的等边DMCN和DAPQ相互重叠时，其公共部分为一个四边形ABCD，则该图形具有以下性质：52022年安徽省中小学教育教学论文评选图2重叠部分是一个四边形性质1.四边形ABCD中，有一组对角相等均为60°，另一组对角的和为240°.性质2.四边形ABCD外的四个三角形均相似.性质3.四边形ABCD中，AB2+AD2=BC2+CD2.推论：图2中 AM2+DN2=PC2+DQ2MB2+AN2=PB2+CQ2.性质4.四边形ABCD中，AB·AD=BCCD.性质5.四边形ABCD中，AB+AD=BC+CD.性质6. ABBP+BPPC+CQDQ+DQ·AD= AM·MB+MBBC+CDDN+DN·AN.其证明均类似于前文证明，这个给出性质2、性质3和性质4的证明过程.证明：性质2：∵ÐBAD=ÐBCD=60°, ÐM=ÐP=ÐQ=ÐN=60°\ÐMAB+ÐMBA=ÐPBC+ÐPCB=240°又∵ÐMBA=ÐPBC \ ÐMAB=ÐPCB同理可证 ÐNAD=ÐDCQ又ÐADN=ÐCDQ\ DAMB∽DCPB, DCPB∽DDQC, DDQC∽DDNA即四个小三角形都相似.性质3：由性质2可设ÐMAB=ÐPCB=ÐCDQ=ÐADN=a=b(1)ÐMBA=ÐPBC=ÐDCQ=ÐDANMA=PC=DQ=ND=d(d>0)ABBCCDAD(2)MB=PB CQ=CD=AN=e(e>0)ABBCAD∵等边DMCN和等边DAPQ边长相等\SDMCN=SDAPQ62022年安徽省中小学教育教学论文评选\SDABM+SDAND=SDPCB+SDCDQAD·sina·1AN·AD·sinb11\æ1çè2AM·AB·sina·1MB·AB·sinbö2+æçè

12ND·ö22÷ø2÷ø·1PBBCsin11=æçè

12PCBC·sin·a·bö2÷ø+æçè

12DQCD·sina·1CDCQ·sinbö2÷ø22化简得即\(AM·MB1)2·AB+(AN·ND1)2·AD=(PBPC1)2·BC+(DQCQ1)2·CD(de1)2·AB2+(de1)2·AD2=(de1)2·BC2+(de1)2·CD2AB2+AD2=BC2+CD2.性质4：分析：由(1)和(2)式可知，要证明命题成立，只需证明dAB·eAD=dBC·eCD即证AB·AD=BCCD证明：∵等边DMCN和等边DAPQ的边长相等\AP=MN,PQ=MC,AQ=CN\AB+PB=NA+MAPC+CQ=MB+BCAD+DQ=CD+DN由(1)和(2)式可得AB+eBC=eAD+dABdBC+eCD=eAB+BCAD+dCD=CD+dAD将上述三式左右两边分别平方相加并化简得\AB·AD=BCCD.AM·AN=PCCQ三、公共部分是一个五边形的性质探讨若两个边长相等的等边DAPQ和DOMN相互重叠时，其公共部分为一个五边形ABCDE，则该图形具有以下性质：72022年安徽省中小学教育教学论文评选图3重叠部分是一个五边形性质1.五边形ABCDE中，ÐBAE=60°,ÐABD=ÐCDE,ÐBCD=ÐDEA,且ÐABC+ÐBCD=ÐBCD+ÐCDE=ÐCDE+ÐDEA=240°.性质2.五边形ABCDE外的五个三角形均相似.性质3.五边形ABCDE中，AB2+CD2+AE2=BC2+DE2.