多元统计检验

多元统计检验第1页，共32页，2023年，2月20日，星期一例:表1－112名学生5门课程的考试成绩序号政治(x1）语文(x2)外语(x3)数学(x4)物理(x5)12345678910111299991009310090759387957685948898889178738473827275939681887282888360904350100999799969597687662673410097100967897898884397837第2页，共32页，2023年，2月20日，星期一如果仅用一元统计方法作成绩分析，每次分析处理一门课程的成绩，由于忽视了课程之间可能存在的相关性，因此，一般说来，丢失的信息太多，分析的结果不能全面反映全年级的学习情况。需要研究很多问题：用各科成绩的总和作为综合指标，来比较学生学习成绩的好坏；根据各科成绩相近程度对学生进行分类（如成绩好的和成绩差的，又如文科成绩好的与理科成绩好的）；研究各科成绩之间的相关关系（如物理与数学成绩的关系，文科成绩与理科成绩的关系等）；

——都属于多元统计分析的研究内容。第3页，共32页，2023年，2月20日，星期一多元分析是以p个变量的n次观测数据所组成的数据矩阵为依据，对p维总体进行统计推断的。第4页，共32页，2023年，2月20日，星期一英国著名统计学家肯德尔（Kendall）在《多元分析》一书中把多元统计分析的研究内容和方法概括为以下几个方面：简化数据结构（降维问题）将复杂的数据结构通过变量代换等方式使相互依赖的变量（较多）变成（较少）互不相关的；或把高维空间的数据投影到低维空间，使问题简化而损失的信息又不太多。例如，主成分分析、因子分析等一类方法；第5页，共32页，2023年，2月20日，星期一分类与判别（归类问题）对所考察的观测点（变量）按相似程度进行分类（或归类）。如聚类分析、判别分析等；变量间的相互联系相互依赖关系：分析一个变量或几个变量的变化是否依赖于另一些变量的变化？如果是，建立变量间的定量关系式，并用于预测或控制——回归分析；变量间的相互关系：分析两组变量间的相互关系——典型相关关系。参数估计与假设检验

检验由多元总体参数表示的某种统计假设，据此证实假设条件的合理性。第6页，共32页，2023年，2月20日，星期一7.1.2

多元统计分析的应用教育学：体育运动项目的研究（因子分析）；医学：利用多元统计方法可建立诊断的准则（即专家系统）；气象学：气候预测,气候信息分析；环境科学：大气污染问题（假设检验、回归分析）；地质学——地质数学：矿石归类（判别分析）;考古学;服装工艺;经济学：经济现象分析，预测，实证研究;工、农业：试验方案的优化;社会科学:根据研究对象进行某种分类（聚类分析）;文学;其它.第7页，共32页，2023年，2月20日，星期一7.1.3

样本与常用统计量多维随机向量（P381-P389）多元统计分析的基本概念包括分布、数字特征、正态随机向量等，与一元统计分析类似有关概念如下：统计总体G，用p个数量指标来刻画：

视X为一个p维随机变量。第8页，共32页，2023年，2月20日，星期一对总体进行n次独立的观察（抽样）得到观测数据称为样本，每个称为样品，记为矩阵

X称为原始数据矩阵或（多元）样本数据矩阵。第9页，共32页，2023年，2月20日，星期一总体的均值向量、协方差矩阵、相关矩阵分别为其中多元统计分析的任务：

一是分析各观测数据之间的关系；二是推断总体的某些性质。第10页，共32页，2023年，2月20日，星期一常用统计量样本均值（向量）、样本协方差矩阵、样本相关矩阵分别为第11页，共32页，2023年，2月20日，星期一其中是一元统计中样本统计量的自然推广。对于i,j=1,2,…,p,有：第12页，共32页，2023年，2月20日，星期一讲解例7.1(P270)第13页，共32页，2023年，2月20日，星期一定义7.1:如果样品的函数,满足1）2）3）则称是样品之间的距离。7.1.4距离

为测度p维空间两个样品之间的差异，对样品进行分类,引入”距离”。数学上对距离(如欧氏距离)的三个公理:

非负性、对称性和三角不等式。第14页，共32页，2023年，2月20日，星期一常用的距离欧氏距离不足之处:各分量的单位不同时,比较没有意义。如考察患病指标＝(白血球数，体温)，有三个样品

但从医学常识看，显然是个谬误。（“大数吃小数”，数值分析）。因此要考虑各项数值的加权问题。第15页，共32页，2023年，2月20日，星期一马氏距离定义：

为样品之间的马氏距离；为样品到总体的马氏距离。其中:μ,V分别是总体G的均值向量和协方差。离差大的分量在距离中相应削弱它的影响程度。不足之处:马氏距离与测量单位无关,夸大了变化微小的变量的作用。第16页，共32页，2023年，2月20日，星期一B－模距离对于给定的正定矩阵B,定义

为样品Xi与Xj之间的B－模距离；闵可夫斯基距离

为样品Xi与Xj之间的闵可夫斯基距离q=2时为欧氏距离,q=1时为绝对距离,q=+∞时为切比雪夫距离。讲解例7.2（P274）第17页，共32页，2023年，2月20日，星期一7.2多元正态分布的参数估计与检验

7.2.1预备知识与一元类似，多元正态分布在多元统计分析中处于中心地位。原因有三：大量实际问题服从正态分布；由中心极限定理，正态分布是其它分布的极限分布；理论完善。第18页，共32页，2023年，2月20日，星期一多元正态分布的定义：设其中是相互独立的标准正态随机变量，则称为p维正态随机向量，记为其中是常向量，A是p×n的常数矩阵。特别第19页，共32页，2023年，2月20日，星期一基本性质设总体则X的密度函数为设

则第20页，共32页，2023年，2月20日，星期一设是总体X的样本，样本数据矩阵如前。由样本得到关于未知参数的似然函数为第21页，共32页，2023年，2月20日，星期一主要结论

（1）（引理7.1）A与S有关系式

（2）（引理7.2）证明：（见P276）第22页，共32页，2023年，2月20日，星期一（3）（引理7.3）设是总体的样本，则样本均值（4）（引理7.4）设，令则证明：（见P277）第23页，共32页，2023年，2月20日，星期一7.2.2参数μ和V的估计

定理7.1设总体是X的样本，且n>p，则1）是μ的极大似然估计(引理7.2)；2）若μ已知，则是V的极大似然估计；3）若μ未知，则是V的极大似然估计。第24页，共32页，2023年，2月20日，星期一定理7.2:设条件同前，则1）分别是μ和V的无偏估计；2）分别是μ和V的最小方差无偏估计；3）分别是μ和V的相合估计；定理7.3:设条件同前，则是R的极大似然估计和相合估计。

例7.3(P280)第25页，共32页，2023年，2月20日，星期一7.2.3参数μ的检验

仅讨论均值的检验问题（一）单个多元正态总体的情形其中μ0是已知的p维向量。设是总体的样本，分别是样本均值向量和样本协方差矩阵。构造假设的检验统计量第26页，共32页，2023年，2月20日，星期一（1）当V已知时回顾，p=1时当假设为真时，。为推广至多元，改写为第27页，共32页，2023年，2月20日，星期一类比引入统计量由引理7.4知，当为真时，当为假时，D将会变大。因此，给定显著性水平α，假设的拒绝域为第28页，共32页，2023年，2月20日，星期一（2）当V未知时用S取代V,可以证明，当为真时统计量因此，假设的拒绝域为第29页，共32页，2023年，2月20日，星期一（二）两个总体情形设

是分别取自上述两个总体的样本，且相互独立，V>0，类