2023届北京东城区北京汇文中学高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则（）A．， B．，C．， D．，2．给出下列三个命题：(1)如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；(2)一个平面内的任意一条直线都与另一个平面不相交，则这两个平面平行；(3)一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．33．已知函数，对于任意，且，均存在唯一实数，使得，且，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．下列函数中，满足“且”的是()A． B．C． D．5．已知袋中有编号为1、2、3、……、8的八只相同小球，现从中任取3只，则所取3只球的最大编号是5的概率等于（）A． B． C． D．6．已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（）A． B． C． D．7．已知，则的展开式中，项的系数等于（）A．180 B．-180 C．-90 D．158．复数(i为虚数单位)的共轭复数是A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i9．命题，则（）A．是真命题，，B．是假命题，，C．是真命题，，D．是假命题，，10．的展开式中常数项为()A．-240 B．-160 C．240 D．16011．已知函数f（x）对任意的实数x均有f（x+2）+f（x）＝0，f（0）＝3，则f（2022）等于（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．312．设等比数列的前n项和为，公比，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．给出定义：对于三次函数设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.已知函数.设.若则__________．14．若ξ～N，且P（2＜ξ＜4）＝0.4，则P（ξ＜0）＝_____．15．已知(是虚数单位),定义:给出下列命题:(1)对任意都有(2)若是的共轭复数,则恒成立；(3)若则(4)对任意结论恒成立.则其中所有的真命题的序号是_____________.16．已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，若，且，，，成等差数列．（1）求数列，的通项公式；（2）记，数列的前项和为，数列的前项和为，若对任意正整数，恒成立，求实数的取值范围．18．（12分）某运动员射击一次所得环数的分布列如下：89111．41．41．2现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为．（1）求该运动员两次命中的环数相同的概率；（2）求的分布列和数学期望．19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程：（Ⅱ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.20．（12分）已知矩阵.（1）求；（2）求矩阵的特征值和特征向量.21．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数且）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线与曲线的位置关系，并说明理由.22．（10分）已知函数（1）求函数在上的最大值和最小值；（2）求证：当时，函数的图象在的下方．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.【详解】可能的取值为；可能的取值为，，，，故，.，，故，,故，.故选B.【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.2、B【解析】

根据面面平行的位置关系的判定依次判断各个命题的正误，从而得到结果.【详解】（1）若一个平面内有无数条互相平行的直线平行于另一个平面，两个平面可能相交，则（1）错误；（2）平面内任意一条直线与另一个平面不相交，即任意一条直线均与另一个平面平行，则两个平面平行，（2）正确；（3）若不共线的三点中的两点和另一个点分别位于平面的两侧，此时虽然三点到平面距离相等，但两平面相交，（3）错误.本题正确选项：【点睛】本题考查面面平行相关命题的辨析，考查学生的空间想象能力，属于基础题.3、A【解析】

解：由题意可知f（x）在[0，+∞）上单调递增，值域为[m，+∞），∵对于任意s∈R，且s≠0，均存在唯一实数t，使得f（s）＝f（t），且s≠t，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，值域为（m，+∞），∴a＜0，且﹣b+1＝m，即b＝1﹣m．∵|f（x）|＝f（）有4个不相等的实数根，∴0＜f（）＜﹣m，又m＜﹣1，∴0m，即0＜（1）m＜﹣m，∴﹣4＜a＜﹣2，∴则a的取值范围是（﹣4，﹣2），故选A．点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.4、C【解析】

根据题意知，函数在上是减函数，根据选项判断即可。【详解】根据题意知，函数在上是减函数。选项A，在上是增函数，不符合；选项B，在上不单调，不符合；选项C，在上是减函数，符合；选项D，在上是增函数，不符合；综上，故选C。【点睛】本题主要考查函数单调性的定义应用以及常见函数的单调性的判断。5、B【解析】

先求出袋中有编号为1、2、3、……、8的八只相同小球，现从中任取3只，有多少种取法，再求出所取3只球的最大编号是5有多少种取法，最后利用古典概型概率计算公式，求出概率即可.【详解】袋中有编号为1、2、3、……、8的八只相同小球，现从中任取3只，有种方法.所取3只球的最大编号是5，有种方法，所以所取3只球的最大编号是5的概率等于，故本题选B.【点睛】本题考查了古典概型概率计算方法，考查了数学运算能力.6、D【解析】

构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，在不等式两边同时乘以化为，即，然后利用函数在上的单调性进行求解即可.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在定义域上为增函数，在不等式两边同时乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集为，故选：D.【点睛】本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下：（1）根据导数不等式的结构构造新函数；（2）利用导数分析函数的单调性，必要时分析该函数的奇偶性；（3）将不等式变形为，利用函数的单调性与奇偶性求解.7、B【解析】分析：利用定积分的运算求得m的值，再根据乘方的几何意义，分类讨论，求得xm﹣2yz项的系数．详解：3sinxdx=﹣3cosx=﹣3（cosπ﹣cos0）=6，则（x﹣2y+3z）m=（x﹣2y+3z）6，xm﹣2yz=x4yz．而（x﹣2y+3z）6表示6个因式（x﹣2y+3z）的乘积，故其中一个因式取﹣2y，另一个因式取3z，剩余的4个因式都取x，即可得到含xm﹣2yz=x4yz的项，∴xm﹣2yz=x4yz项的系数等于故选：B．点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等。8、B【解析】分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=∴z的共轭复数为1﹣i.故选B．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．9、C【解析】分析：根据命题真假的判断和含有量词的命题的否定，即可得到结论.详解：，恒成立是真命题，，故选C.点睛：本题考查命题真假的判断，含有量词的命题的否定关系的应用.10、C【解析】

求得二项式的通项，令，代入即可求解展开式的常数项，即可求解.【详解】由题意，二项式展开式的通项为，当时，，即展开式的常数项为，故选C.【点睛】本题主要考查了二项式的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.11、B【解析】

分析可得，即函数是周期为4的周期函数，据此可得，即可求解，得到答案．【详解】根据题意，函数对任意的实数均有，即，则有，即函数是周期为4的周期函数，则，故选B．【点睛】本题主要考查了函数的周期的判定及其应用，其中解答中根据题设条件，求得函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12、D【解析】

由等比数列的通项公式与前项和公式分别表示出与，化简即可得到的值【详解】因为等比数列的公比，则，故选D．【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前项和公式，属于基础题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-4037【解析】

由题意对已知函数求两次导数,令二阶导数为零,即可求得函数的中心对称,即有,,借助倒序相加的方法,可得进而可求的解析式,求导,当代入导函数解得,计算求解即可得出结果.【详解】函数函数的导数由得解得,而故函数关于点对称,故，两式相加得，则.同理,,,令,则,,故函数关于点对称,,两式相加得,则.所以当时,解得:,所以则.故答案为:-4037.【点睛】本题考查对新定义的理解,考查二阶导数的求法,仔细审题是解题的关键,考查倒序法求和,难度较难.14、0.1．【解析】

由正态分布曲线的对称性，可得，进而得到所以，即可求解.【详解】由题意，随机变量，且，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以.【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布曲线的对称性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15、（2），（4）【解析】

由新定义逐一核对四个命题得答案．【详解】解：对于（1），当时，，命题（1）错误；

对于（2），设，则，则，命题（2）正确；

对于（3），若，则错误，如，满足，但；

对于（4），设，

则，

，

，

由，

得恒成立，（4）正确．

∴正确的命题是（2）（4）．

故答案为（2），（4）．【点睛】本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了绝对值的不等式，是中档题．16、【解析】

直接利用复数代数形式的四则运算化简复数z，再由复数模的公式计算得答案．【详解】，则复数z的模为．故答案为．【点睛】本题考查了复数代数形式的运算，考查了复数模的求法，是基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解析】

（1）分别根据，和成等差数列，分别表示为和的方程组，求出首项，即得通项公式；（2）根据（1）的结果可求得，并且求出,利用裂项相消法求和，转化为，恒成立，转化为求数列的最值.【详解】解：（1）因为，，成等差数列，所以①，又因为，，成等差数列，所以，得②，由①②得，．所以，.（2），...令，则，则，所以，当时，，当时，所以的最小值为.又恒成立，所以，．【点睛】本题考查了数列通项的求法，和求数列的前项和的方法，以及和函数结合考查数列的最值，尤其在考查数列最值时，需先判断函数的单调性，判断的正负，根据单调性求函数的最值.18、（1）1.36；（2）见解析，9.2【解析】

（1）先计算两次命中8环，9环，11环的概率，然后可得结果.（2）列出的所有可能结果，并分别计算所对应的概率，然后列出分布列，并依据数学期望的公式，可得结果.【详解】（1）两次都命中8环的概率为两次都命中9环的概率为两次都命中11环的概率为设该运动员两次命中的环数相同的概率为（2）的可能取值为8，9，11，，，的分布列为89111．161．481．36【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及数学期望，重在于对随机变量的取值以及数学期望的公式的掌握，属基础题.19、（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）最小值为，此时的直角坐标为.【解析】

（Ⅰ）曲线，利用消掉参数即可，曲线，利用化简即可。（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，代入化简即可求出最小值。【详解】解：（I）的普通方程为，的直角坐标方程为.（II）由题意，可设点的直角坐标为.因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，，当且仅当（）时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，掌握互化公式是解本题的关键，属于基础题。20、(1)(2)特征值为，，分别对应特征向量，．【解析】

（1）利用矩阵的乘法求得结果；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令，解方程可得特征值，再由特征值列出方程组求出相应的特征向