2023届安徽省三人行名校联盟数学高二下期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，则z的共轭复数为A． B． C． D．2．若的展开式中含有项的系数为8，则（）A．2 B． C． D．3．在极坐标系中，由三条直线，，围成的图形的面积为（）A． B． C． D．4．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（）A．种 B．种 C．种 D．种5．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（）A． B． C． D．6．已知复数z满足(3-4i）z=|4+3i|，则A．-4B．-C．4D．47．若，若，则实数的值为（）A． B． C． D．8．已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中能表示点M的坐标是()A． B． C． D．9．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如8455用算筹表示就是，则以下用算筹表示的四位数正确的为（）A． B．C． D．10．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()A． B．C． D．11．有个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（）A． B． C． D．12．已知直线经过抛物线的焦点，与交于两点，若，则的值为（）A． B． C．1 D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直三棱柱-中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为________.14．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.15．已知复数是纯虚数，则实数_________.16．若一个球的体积为，则该球的表面积为_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）（1）用分析法证明：；（2）用反证法证明：三个数中，至少有一个大于或等于.19．（12分）已知，求的值．20．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=1，M为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；（Ⅱ）设直线AM与平面ABCD所成的角为α，二面角M—AC—B的大小为β，求sinα·cosβ的值.21．（12分）已知．（I）求；（II）当，求在上的最值．22．（10分）已知矩形内接于圆柱下底面的圆O，是圆柱的母线，若，，异面直线与所成的角为，求此圆柱的体积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】试题分析：的共轭复数为，故选D．考点：1.复数的四则运算；2.共轭复数的概念．2、A【解析】展开式中含有项的系数,,故选A.3、B【解析】

求出直线与直线交点的极坐标，直线与直线交点的极坐标，然后利用三角形的面积公式可得出结果.【详解】设直线与直线交点的极坐标，则，得.设直线与直线交点的极坐标，则，即，得.因此，三条直线所围成的三角形的面积为，故选：B.【点睛】本题考查极坐标系中三角形面积的计算，主要确定出交点的极坐标，并利用三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.4、A【解析】分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3天，共四种情况，利用组合知识可得结论．详解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有=141种．故选：A．点睛：本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键．5、D【解析】

设，根据是以为直角顶点的直角三角形，且，以及双曲线的性质可得，再根据勾股定理求得的关系式，即可求解.【详解】由题意，设，如图所示，因为是以为直角顶点的直角三角形，且，由，所以，由，所以，所以，即，所以，所以，，在直角中，，即，整理得，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．.6、D【解析】试题解析：设z=a+bi(3-4i)z=(3-4i)(a+bi)=3a+4b+(3b-4a)i|4+3i|=∴3a+4b=53b-4a=0，解得考点：本题考查复数运算及复数的概念点评：解决本题的关键是正确计算复数，要掌握复数的相关概念7、B【解析】

令，将二项式转化为，然后利用二项式定理求出的系数，列方程求出实数的值．【详解】令，则，所以，展开式的通项为，令，得，，解得，故选B.【点睛】本题考查二项式定理，考查利用二项式定理指定项的系数求参数的值，解题的关键依据指数列方程求参数，利用参数来求解，考查计算能力，属于中等题．8、D【解析】

由于和是终边相同的角，故点M的极坐标也可表示为．【详解】点M的极坐标为，由于和是终边相同的角，故点M的坐标也可表示为，故选D．【点睛】本题考查点的极坐标、终边相同的角的表示方法，属于基础题．9、D【解析】

根据题意直接判断即可.【详解】根据“各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示”的原则，只有D符合，故选D.【点睛】本题主要考查合情推理，属于基础题型.10、A【解析】

利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案．【详解】对于B项，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可证，C，D项中均有AB∥平面MNQ.故选：A.【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题．11、C【解析】总排法数为，故选C．点睛：本题是排列中的相邻问题，用“捆绑法”求解，解决此问题分两步，第一步把要求相邻的三人捆绑在一起作为一个人，和其他3人看作是4人进行排列，第二步这三人之间也进行排列，然后用乘法原理可得解．12、B【解析】试题分析：因为抛物线的焦点为，则由题意，得①．又由，得，所以②，由①②得，故选B．考点：1、直线与抛物线的位置关系；2、弦长公式．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

连接交于E，取AB中点F,连接EF,推出EF∥或其补角为所求，在三角形运用余弦定理求解即可【详解】连接交于E，则E为为中点，取AB中点F,连接EF,故EF，则或其补角为所求，又EF=,在三角形中，cos故答案为【点睛】本题考查异面直线所成的角，熟记异面直线所成角定义，熟练找角，准确计算是关键，是基础题14、.【解析】

先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，若选出的2名学生都是女生，有种情况，所以所求的概率为.【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.15、【解析】

将化简为的形式，根据复数是纯虚数求得的值.【详解】因为为纯虚数，所以.【点睛】本小题主要考查复数乘法运算，考查纯虚数的概念，属于基础题.16、【解析】由题意，根据球的体积公式，则，解得，又根据球的表面积公式，所以该球的表面积为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）【解析】

（1）求出，当时，求出的解即可；（2）所求的问题为在上恒成立，设，，注意，所以在递增满足题意，若存在区间递减，则不满足题意，对分类讨论，求出单调区间即可.【详解】（Ⅰ）当时，，则.所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（Ⅱ）由，得在上恒成立.设，则.设，①当时，，则在上恒成立，在上单调递增，在恒成立，所以当时，在上恒成立；②当时，令，得或（舍去）.所以当时，，则是上的减函数；当时，，则是上的增函数.所以当时，.因此当时，不恒成立.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数单调性、不等式恒成立，考查分类讨论思想，确定分类标准是解题的关键，属于中档题.18、(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)结合不等式的特征，两边平方，用分析法证明不等式即可；(2)利用反证法，假设这三个数没有一个大于或等于，然后结合题意找到矛盾即可证得题中的结论.试题解析：（1）因为和都是正数，所以要证，只要证，展开得，只要证，只要证，因为成立，所以成立.（2）假设这三个数没有一个大于或等于，即，上面不等式相加得（*）而，这与（*）式矛盾，所以假设不成立，即原命题成立.点睛：一是分析法是“执果索因”，特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件；二是应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.19、【解析】

先由等式求出的值，利用诱导公式对所求分式进行化简，代入的值可得出结果.【详解】因为，所以，所以，因此，.【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，对于化简求值类问题，首先要利用诱导公式将代数式进行化简，再结合同角三角函数的基本关系或代值计算，考查计算能力，属于基础题.20、（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，由O为AC的中点，知O为BD的中点，再由M为PD的中点，知PB∥MO，由此能够证明PB∥平面ACM．（2）取DO中点N，连接MN，AN，由M为PD的中点，知MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，故∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，由此能求出直线AM与平面ABCD所成角的正切值．（1）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，∵O为AC的中点，∴O为BD的中点，又∵M为PD的中点，∴PB∥MO，∵PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，∴PB∥平面ACM．（2）解：取DO中点N，连接MN，AN，∵M为PD的中点，∴MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，∴∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，在Rt△DAO中，∵AD=1，AO=，∠DAO=90°，∴DO=，∴AN=，在Rt△ANM中，tan∠MAN===，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．21、(1).（2），.【解析】分析：（1）对函数求导，指接代入x=1即可；（2）将参数值代入，对函数求导，研究函数的单调性得到最值.详解：(1)（2）解：当时，令即解得：或是得极值点因为不在所求范围内，故舍去，点睛：这个题目考查的是函数单调性的研究和函数值域.研究函