多目标决策模型：层次法AH代数模型离散模型

PAGEPAGE23层次分析法建模层次分析法（AHP－AnalyticHierachyprocess）多目标决策方法70年代由美国运筹学家T·L·Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，採用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有：机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系；统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社会现象）现象的规律。基本内容：（1）多目标决策问题举例AHP建模方法（2）AHP建模方法基本步骤（3）AHP建模方法基本算法（3）AHP建模方法理论算法应用的若干问题。参考书：1、姜启源，数学模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育出版社2、程理民等，运筹学模型与方法教程，（第10章），清华大学出版社3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第11章，第7节，清华大学出版社一、问题举例：辫A．大学毕座业生就业选猛择问题眨获得大学毕景业学位的毕漫业生，挤“少双向选择散”缓时，用人单滔位与毕业生户都有各自的校选择标准和邮要求。就毕愧业生来说选肌择单位的标欢准和要求是悄多方面的，荐例如：谅能发挥自己良的才干为国旁家作出较好减贡献绕（即工作岗胸位适合发挥深专长）；振工作融收入缺较好（待遇京好）；护生活环境好衬（大城市、规气候等工作页条件等）；建单位忙名声则好（声誉-思Reput闯ation辫）；烧工作环境好捕（人际关系拼和谐等）肺发展剖晋升（馋promo蛇te,p唐romot败ion已）机会多（盘如新单位或柜单位发展有露后劲）等。厦问题：拿现在有多个哈用人单位可盖供他选择，带因此，他面绣临多种选择酬和决策，问骆题是他将如锐何作出决策辫和选择？传——态或者说他将塞用什么方法创将可供选择城的工作单位柏排序？工作选择工作选择生活环境工作环境声誉收入发展贡献生活环境工作环境声誉收入发展贡献可供选择的单位可供选择的单位P1’P2‘Pn颜Ｂ.假期旅瑞游地点选择剪暑假有3个裂旅游胜地可热供选择。例周如：连：苏州杭州致，退北戴河，薯桂林，到底匙到哪个地方稠去旅游最好租？要作出决奸策和选择。瓣为此，要把存三个旅游地床的特点，例焦如：棋①镇景色；疑②适费用；淋③身居住；潜④友环境；浩⑤起旅途条件等劲作一些比较毫——撇建立一个决允策的准则，尾最后综合评凤判确定出一特个可选择的惑最优方案。选择旅游地目标层选择旅游地居住旅途景色费用饮食居住旅途景色费用饮食准则层P1P2P1P2P3茅C．资源开互发的综合判长断殊7种金属可葡供开发，开杯发后对国家校贡献可以通手过两两比较朵得到，决定伸对哪种资源径先开发，效休用最用。对经济发展、贡献U对经济发展、贡献U经济价值战略重要性交通条件要求量风险费开採费经济价值战略重要性交通条件要求量风险费开採费金Go铝Al钿Ur磷酸盐铁In铜Co金Go铝Al钿Ur磷酸盐铁In铜Co辣二、问题分晕析：埋例如旅游地额选择问题：谦一般说来，阀此决策问题智可按如下步蝴骤进行：宗（持S1泥）将决策解辈分解为三个渣层次，即：羊目标层：（漏选择旅游地畅）刘准则层：（荒景色、费用身、居住、饮若食、旅途等崭5个准则）卷方案层：（喘有致，树，晨三个选择地帝点）让并用直线连柔接各层次。钳（语S2第）互相比较逼各准则对目唇标的权重，见各方案对每闪一个准则的快权重。这些温权限重在人榆的思维过程注中常是定性印的。意例如：经济健好，身体好困的人：会将缠景色好作为折第一选择；穗中老年人：拐会将居住、无饮食好作为剪第一选择；幸经济不好的丙人：会把费乱用低作为第招一选择。拒而层次分析保方法则应给苏出确定权重旦的定量分析学方法。峰（祝S3斧）将方案后族对准则层的耍权重，及准波则后对目标挡层的权重进停行综合。偿（秧S4赚）最终得出套方案层对目粱标层的权重我，从而作出扬决策。标以上步骤和秧方法即是A稼HP的决策屡分析方法。式三、确定各励层次互相比往较的方法以——辅成对比较矩愧阵和权向量立在确定各层爆次各因素之损间的权重时他，如果只是锁定性的结果天，则常常不照容易被别人胆接受，因而紫Santy先等人提出：堤一致矩阵法快即：1.灭不把所有因碍素放在一起创比较，而是惨两两相互比异较荣2.对此咽时採用相对虏尺度，以尽站可能减少性单质不同的诸店因素相互比诚较的困难，超提高准确度笋。旨因素比较方示法宵狱——害揉成对比较矩牵阵法：烛目的是，要借比较某一层倚个因素非对上一层因俘素O的影响句（例如：旅材游决策解中吩，比较景色犯等5个准则谎在选择旅游苍地这个目标潜中的重要性垄）。项採用的方法狠是：每次取制两个因素斜和御比较其对目造标因素O的拾影响，并用泥表示，全部绸比较的结果翅用成对比较赵矩阵表示，运即：屯贺肃厅（1）手由于上述成枝对比较矩阵书有特点：织图故可称讽为拐正互反矩阵病：显然，由观浅，即：天，故有：韵例如：在旅拍游决策问题洋中：里=曾庸云表示勾：故：煎=灯专表示：荡即：景色为赤4，居住为市1。蚊=射肾表示：阔即：费用重术要性为7，青居住重要性笼为1。击因此有成对通比较矩阵：拿？？问题恭：稍加分析闲就发现上述沟成对比较矩功阵的问题：挺即存在有各樱元素的连不一致性铸，例如：既然：帅所以应该有扮：善而不应为矩俭阵平中的洋②粥成对比较矩洞阵比较的次庆数要求太迅，因：晨个元素比较钥次数为：环次，万因此，问题嗽是：如何改鸭造成对比较植矩阵，使由谈其能确定诸桃因素丝对上层因素稿O的权重？荡对此Sao极ty提出了椒：在成对比持较出现不一级致情况下，伟计算各因素粒对因素（上琴层因素）O蛮的权重方法利，并确定了蓄这种不一致浓的容许误差考范围。芬为此，先看泛成对比较矩掌阵的完全一填致性征——夹成对比较完锯全一致性跨四：一致性造矩阵洪Def：孝设有正互反尘成对比较矩涛阵：踩攀血招(4)型除满足：（友i疲）正互反性夫：即址而且还满足宣：（ii）乐一致性：即望则称满足上燥述条件的正说互反对称矩深阵A为昼一致性矩阵士，简称县一致阵。田一致性矩阵租（一致阵）惭性质：辫性质1傅：寿的秩Ra辨nk(A)旧=1午有袋唯一毁的呀非0的享最大梦特征根为纽n纤性质2当：房的任一列男（行）华向量都是对挽应特征根毒的特征向量社：桌即有(特征厨向量、特征己值)：，则向量满足：即：林启发与思考幸：瓦既然一致矩至阵有以上性厦质，即米n串个元素挪W贼1,饱W誓2,签W玉3,品…商W紫n氧构成的向自量练是一致矩阵垃的特征向量餐，则呼对一致矩阵苗来说，可以扯把一致矩阵捡的特征向量阵求出之后，寿再把一致矩币阵采的特征向量完归一化后扒得到泊的向量峰，看成是诸者元素清W肤1,伞W奴2,悬巡W段3,浮…骗W仅n滋目标瘦O渔的喘权向量蝴。金因此，可以阶用求厦一致矩阵唇的特征根和尖特征向量的绢办法，求出驳元素徐W叨1,炊W谁2,谱W熄3,颠…雹W集n乳相对于目标写O凭的狗权兴向量隙。期解释：创一致矩阵即域：看件物体崭，它们重量吉分别为惕，将他们厦两比较重量漂，其比值构席成一致矩阵凡，若用重量葡向量赚右乘鹊，则：分析：兔若重量向量厘未知时，则金可由决策者兴对物体械之间两两相饰比关系，主宪观作出比值饿的判断，或词用角Delph尺i赤（调查法）遗来确定这些彩比值，使再矩阵（不一佳定有一致性咏）为已知的罢，沃并记此主观悦判断作出的三矩阵为（主消观）判断矩食阵被，并且此洒（不一致）盛在不一致的芬容许范围内颂，再依据：贷的特征根或伶和特征向量拼连续地依赖伶于矩阵的元情素扑，即当误离一致性的旬要求不太远脂时，辱的特征根克和特征值（牵向量）杏与一致矩阵浓的特征根受和特征向量折也相差不大涂的道理：由誉特征向量槽求权向量尼的方法即为赌特征向量法侦，并由此引城出尚一致性检查令的方法恢。裂问题：Re售mark呜以上讨论的键用求特征根争来求权向量路的方法和思交路，在理论障上应解决以渣下问题：矿一致阵的性上质1是说：湾一致阵的最叫大特征根为槐（即必要条僵件），但用各特征根来求红特征向量时洒，应回答充希分条件：即艇正互反矩阵仇是否存在正估的最大特征芦根和正的特舱征向量？且齐如果正互反损矩阵浑的最大特征猫根唯时，蹈是否为一致使阵？裤用主观判断暴矩阵科的特征根充和特征向量副连续逼近一荣致阵雾的特征根疗和特征向量低时，即：斤由弟得到：即：谦是否在理论诵上有依据。百3．一般情探况下，主观偿判断矩阵膨在逼近于一四致阵琴的过程中，公用与管接近的悉来代替睁，即有每，这种近似战的替代一致袍性矩阵辆的作法，就尤导致了产生旷的偏差估计乏问题，即一代致性检验问门题，即要确贡定一种一致毫性检验判断胸指标，由此兵指标来确定荡在什么样的振允许范围内建，主观判断巩矩阵是可以墨接受的，否世则，要扯两两比较构潜造主观判断匆矩阵。此问盏题即一致性绝检验问题的本内容。品以上三个问膝题：前两个膝问题由数学脾严格比较可乘获得（见教馋材P325菊，定理1、射定理2）。华第3个问题贪：Satt熄y给出一致倦性指标（纠Th1,T塔h庙2介绍如下敌：）附：师Th1：钩（教材P3身26，pe慨rronT冬h比隆粮1970乖）对于正筝矩阵陆（量的所有元素酬为正数）夏（1）茎的最大特征忠根是正单根摧；邮（2）惩对应正特征吉向量便（起的所有分量廊为正数）欺（3）爪其中：恼为半径向量羞，纯是对应陕的归一化特颠征向量号证明：（3箱）可以通过溪将瓜化为标准形组证明睛Th2：宝阶正互反阵问A的最大特坊征根间；诊当笼时，斑是一致阵盼五、一致性最检验在——填一致性指标管：什1．一致性白检验指标的市定义和确定沈——帽的定义：捐当人们对复文杂事件的各或因素，采用陪两两比较时祸，所得到的章主观判断矩旬阵急，一般不可灾直接保证正动互反矩阵抽就是一致正闻互反矩阵浅，因而存在馆误差（及误爽差估计问题坦）。这种误沿差，必然导奶致特征值和东特征向量之羡间的误差次。此时就导索致问题创与问题泊之间的差别拥。（上述问肆题中善是主观判断伞矩阵颤的特征值，秆是带有偏差触的相对权向极量）。这是吓由判断矩阵谣不一致性所披引起的。详因此，为了筑避免误差太抬大，就要衡风量主观判断熄矩阵母的一致性。因为：疮①嘴当主观判断榆矩阵端为一致阵辅时就有：透袄为一致阵时排有：冲此时存在唯脖一的非部搁（由一致阵摘性质1：R臭ark(4持)=1，毙有唯一非O刺最大特征根裁且萍）幼②去当主观判断烘矩阵匆不是一致矩斥阵时，此时嚷一般有：骂（Th卡2）书此时，应有门：木即：触垦所以，可以室取其平均值喇作为检验主嚷观判断矩阵煌的准则，一较致性的指标椅，玻即：喝显然：耽当亿时，有：炮，满为完全一致梁性匙值越大，主漏观判断矩阵竟的完全一致怒性越差，即列：环偏离继越远(用特衡征向量作为崭权向量引起顽的误差越大燃)虚一般惧，认为主观险判断矩阵洒的一致性可耗以接受，否巷则应重新进拌行两两比较越，构造主观裕判断矩阵。码2．随机一盟致性检验指犯标饱——像问题：实际耻操作时发现受：主观判断内矩阵沾的维数越大皇，判断的一被致性越差，度故应放宽对只高维矩阵的皆一致性要求桂。于是引入择修正值析来校正一致辽性检验指标布：即定义慈的修正值表遗为：尖的维数祖1碌2诵3惩4锡栏5凤6湖7某歼8鸽9甩0.00搁0.0际00哑.58诚0.96坟1.丘12左1.24权1.3卵21造.41吐1.45嘱并定义新的鹊一致性检验芹指标为：壳随机一致性握检验指标霉——启的解释：抛为确定木的不一致程坚度的容许范葵围，需要确刘定衡量牧的一致性指萍示矮的标准。于汗是Satt忍y又引入所敬谓随机一致态性指标攻，其定义和睬计算过程为叔：似对固定的策，随机构造杂正互反阵众，其元素竿从1～9和乓1～鞋中随机取值悔，且满足员与隆的互反性，束即：畅，且泊.厚然后再计算续的一致性指瑞标巩，因此屡是非常不一氏致的，此时蔑，来值相当大.锐如此构造相椅当多的英，再用它们散的职平均值作为医随机一致性奶指标。耕Satty姜对于不同的尽～11)，巴用100～蚊500个样荐本千计算出上表想所列出的随构机一致性指蚊标摊作为修正值气表。钳一致性检验壮指标的定义售——移一致性比率郑。畜由随机性检乡验指标种可知：身当周时，悟，这是因为茄1,2阶担正互反阵总惹是一致阵。休对于横的成对比较渴阵盏，将它的一病致性指标丝与同阶（指此相同）的随跨机一致性指榜标澡之比称为祝一致性比率动——社简称一致性逮指标，沃即有：监一致性检验烟指标燥的定义奉——殖一致性比率狗定义：情：呼批当：狠时，认为主咱观判断矩阵丢的不一致程吼度在容许范晒围之内，可撤用其特征向骡量作为权向差量。否则，您对主观判断牙矩阵轨重新进行成纺对比较，构闲重新的主观叮判断矩阵允。致注：上式伸的选取是带掘有一定主观铁信度的。穿六、标度搁——铅比较尺度解号：革在构造正互粘反矩阵时，纯当比较两个茶可能是有不纲同性质的因肉素饥和晒对于上层因糟素O的影响珍时，採用什虾么样的相对曾刻度较好，浆即辟的元素的值些在（1～9简）或（1～息）或更多的边数字，Sa净tty提出司用1～9尺竟度最好，即罢取值为1～戚9或其互反耍数1～巴，心理学家誉也提出：人山们区分信息慎等级的极限闪解能力为办±堆2。可见对择阶矩阵，只厚需作出携个判断值即楚可餐标度箭定义南1港3畏5鼠7茎9流2，4，6裹，8，右倒数1，菌因素丸与因素洋相同重要酬因素主比因素国稍重要爪因素慈比因素挖较重要宰因素指比因素婶非常重要槐因素漫比因素容绝对重要芽因素畜与因素增的重要性的回比较值介于席上述两个相婶邻等级之间桌因素输与因素映比较得到判当断值为橡的互反数，寒遵注：以上比阶较的标度S帆atty曾槽用过多种标寸度比较层，饺得到的结论凶认为：1～届9尺度不仅吩在较简单的里尺度中最好梅，而且比较强的结果并不辞劣于较为复窜杂的尺度。狗Satty盏曾用的比较闷尺度为：编1～3,狼1～5,投1～6踢，许…舅,1～藏11，以及～，其中追～本，其中吨…垦等共27种肃比较尺度，殃对放在不同刺距离处的光瞒源亮度进行横比较判断，烘并构造出成霞对比较矩阵嗽，计算出权细向量。同时泊把计算出来贫的这些权向窄量与按照物浪理学中光强仁度定律和其着他物理知识删得到的实际小权向量进行穿对比。结果茫也发现1～竹9的比较标嘱度不仅简单乒，而效果也钱较好（至少顾不比其他更搬复杂的尺度帽差）顾因而用1～宫9的标度来端构造成对比示较矩阵的元种素较合适。傅七、组合权润向量的计算肥——腿层次总排序矿的权向量的策计算嫂层次分析法怒的基本思想愈：呀计算出下一梦层每个元素许对上一层每贿个元素的权修向量抱def：层衫次总排序，块计算同一层湾次所有元素证对最高层相染对重要性的疏排序权值。庸当然要先：毕①岗构造下一层溜每个元素对摄上一次每个摆元素的成对只比较矩阵稳继②砍计算出成对钻比较矩阵的胁特征向量（宾和法，根法泳，幂法）成钓③宪由特征向量础求出最大特猜征根条（由和法，琴根法，幂法桶求得）崖芳④如用最大特征亡根逝用方式坟及益对成对比较维矩阵进行一奔致性检，并岁通过。跳并把下层每逢个元素对上它层每个元素乡的权向量按搜列排成以下屿表格形式：拐例，假定：己上层脸有蠢个元素，讯，且其层次江总排序权向虫量为丢，下层难有炒个元素钞，则按长对钥个元素的单猪排序权向量岔的列向量为圾，即有：爱层次熄走遮…浅低层总是排序平权重（权向丙量、列向量腰）挽慰味穗…笛挂纵烟门体笛计算出最大懂特根（方法奖：和法、根层法、幂法）羊一致性检验呜凡一致性检验懒比率粥以检验检否？圆注：轨①胜若下层元素眯与上层元素撒无关系时，蝴取任研②剂总排序权向件量各分量的磁计算公式：逼(3)对盒层次总排序远进行一致性异检验：从高泡层到低层逐卧层进行，如煎果交如果盯层次某些元孤素对滥单的排序的脑一致性指标冈为态，相应的平仆均随机一致樱性指标为坟，则肥层总排序随暮机一致性比拌率为：转当洪时，认为层椅次总排序里椒有满意的一纸致性，否则男应重新调整归判断矩阵的老元素取值。警八、层次分敢析法的基本喊步骤：增（S1）鸽建立层次结情构模型慢将有关因素扩按照属性自贿上而下地分肿解成若干层闪次：汇同一层各因仰素从属于上请一层因素，蹲或对上层因旋素有影响，钢同时又支配敏下一层的因落素或受到下极层因素的影乏响。讽最上层为目孤标层（一般泽只有一个因犯素），最下瓜层为方案层焦或对象层/手决策层，中忘间可以有1迁个或几个层廊次，通常为马准则层或指蹄标层。花当准则层元尝素过多（例京如多于9个优）时，应进炼一步分解出封子准则层。禽（S2）呆构造成对比物较矩阵动，以层次结殖构模型的第捐2层开始，婶对于从属于咏（或影响及卖）上一层每趣个因素的同那一层诸因素罚，用成对比欺较法和1～扎9比较尺度烘构造成对比助较矩阵，直斥到最下层。闷（S3）计墙算（每个成赴对比较矩阵烈的）权向量何并作一致性章检验柔对每一个成呜对比较矩阵暑计算最大特鼓征根蚀及对应的特崇征向量（和胖法、根法、灾幂法等）蕉利用一致性药指标酸，随机一致盐性指标趋和一致性比返率作一致性乎检验腔若通过检验妨（即躬，或差）则将上层茎出权向量相归一化之后梢作为（析到黎）的权向量员（即单排序里权向量）蛾若匠不成立，则隶需重新构造野成对比较矩那阵燕（S4）计示算组合权向将量并作组合果一致性检验镇——闭即层次总排棉序垦利用单层权开向量的权值劲构组合权向袜量表：并计幅算出特征根白，组合特征则向量，一致画性误上苏单锡层奥层妥重民权适量语向援下层胜量唇层次磁者晌…榆烈计算组合权仰向量陷其中起伪秋漫…恶烟基悄甲捷最大特征根瞒和法、根法屯、幂法置一致性检验却?戏一致性随机征检验腥对照表滑？弹一致性比率镇若通过一致馋性检验，则坝可按照组合它权向量逢的表示结果勺进行决策（秒中鄙中最大者的雁最优），即甚：蝴若未能通过夺检验，则需扁重新考虑模鸭型或重新构匹造那些一致进性比率，丘较大的成对擦比较矩阵靠九、特征根胁的近似求法懒（实用算法股）法层次分析法侨的基本思路随是计算上层晕每个元素对赤下一层次各课元素的权向浴量（即最大恩特征根米对应的特征俯向量况），以及组次合权向量及驼一致性检验饥问题。铜计算判断矩那阵最大特征浴根和对应阵带向量，并不钟需要追求较趋高的精确度宏，这是因为杂判断矩阵本秤身有相当的裳误差范围。丸而且优先排凑序的数值也驴是定性概念项的表达，故掘从应用性来缸考虑也希望伐使用较为简气单的近似算酸法。常用的距有以下求特被征根的近似祝求法：陡“驳和法绵”赠、洪“夜根法有”摩、继“围幂法扬”膀，具体如下湖：粱1．眯“装和法隶”阿求最大特征师根和对应特渣征向量（近驰似解）认（S1）将皱矩阵驳的每一列向饼量的归一化级得：诊（S2）对稻按行求和得蹈：饲（S3）将敏归一化，即简有：监，则有特征绝向量：稿（S4）计具算与特征向随量李对应的最大饱特征根值的近似值：渴此方法：实昌际上是将浪的列向量归纺一化后取平钥均值作为绸的特征向量汇。容解释：商当康为一致矩阵葬时，它的每盟一列向量都威是特征向量锹可以在竖的不一致性苹不严重时，灯取怒的列向量（沟归一化后）辆的平均值作折为近似特征必向量是合理洲的（有依据避的）。缝2．垮“逗根法担”贵求最大特征超根特征向量摸近似值：壮步骤与胖“塘和法痕”志相同，只是蓄在（S2）痛时：对归一疫化后的列向另量按行叛“抖求和言”浴改为按行观“符求积划”晌再取酬次方根，即功：神。览即有具体步浊骤：耕(S1)将穷矩阵裁的每一列向欺量归一化得跑：弯（S2）对置归一化以后催的列向量各栏元素：喊按行谈“宇求和雾”经并开鄙次方根得：之（S3）再忽将剂归一化得：斧夕得到特征向乏量近似值：覆（S4）计句算最大特征蔬根：旷作为最大悦特征根的近茄似值。网注：疏“阔根法仗”含是将卡“佩和法伴”旦中求列向量研的算术平均淋值改为求几语何平均值。涝3．消“晚幂法剂”塔求最大特征添根：陕（S1）任讲取疼维归一化初涛始向量栏（S2）计些算峡（S3）份归一化，即纠令：卖（S4）对鸦预先给定的轻，当雨时，前即为所求的矛特征向量；耍否则返回（柏S2）赏（S5）计方算最大特征夺根，相以上用幂法层求最大特征殊根口对应特征向途量的迭代方秘法，其收敛这性由TH1龟（教材P3还25）中的昼3）娃，其中跃，闹是对应奶的归一化向种量创特征。刷（证明：可饮以将掠化为标准形待证明）保证局。颠任意选取，帽也可以取由倾“腰根法立”箱、土“忽和法丝”喂得到的袋注：裂在以上求特迷征根和特向乓量的方法中品“墓和法海”伶最简单。腐例：司在旅游问题慨中，求目标谢层到准则层级的成对比较腥矩阵为蛾的特征向量静和最大特征践根：选择旅游地选择旅游地居住旅途景色费用饮食居住旅途景色费用饮食准则层：P1P2P1P2P3＝曾利用匀“渠和法块”袜求个的特征向量仍和特征根科（S1）将哭的元素按列甘归一化得：院（S2）将凶中元素别按行求和得庸各行元素之监和：加（S3）再吊将上述矩阵融向量归一化贤得到特征向塘量近似值，瓣疑特征向师量其中史（S4）计瓜算与特征向烈量相对应最闸大特征根（夕的近似值）培故有最大特坛征根楚对僻一致性检验握指标：威故通过检验牧。特十、应用实能例哨对前面旅游哀问题进行决奸策选择旅游地点切目姻标层：波犬选择旅