概率论与数理统计期末复习20题及解答524

概率论与数理统计期末复习20题及解答【第一章】随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任取一球返还甲袋.求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．0,1013、已知将两字符之一输入信道时输出的也是字符或，且输出结果为原字符的概率为(01).假设该信道传输各字符时是独立工作的.现以等概率从“”，“”“”的概率.10101000041答案是4、试卷中的一道则一定能选出选择题有个答案可供选择，其中只有个正确的．某考生如果会做这道题，正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率0.85为．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．【第二章】随机变量及其分布5、设连续随机变量X的分布函数为F(x)ABarctanx,x．（1）求系数A及B；（2）求X落在区间内的概率(1,1)；（3）求的概率密度．X6、设随机变量X的概率密度为ax,0x1,f(x)0,其它，求：（1）常数a；（2）P(0.5X1.5)；（3）X的分布函数F(x)．二维随机变量(X,Y)的联合概率7、设密度为f(x)；（3）概率求：（1）系数A；（2）X的边缘概率密度XP(YX2)．二维随机变量(X,Y)的概率8、设密度为1P(X,Y1)；（3）判断,是否相互XY2求：（1）(X,Y)的边缘概率f(x)，f(y)；（2）概率密度XY独立.9、设X和Y是两个相互独立的随机变量，X~U[0,0.2]，Y的概率密度函数为X和Y的联合概率密度f(x,y)；（2）求概率P(YX)．（1）求【第三章】数字特征10、设随机变量X的概率密度为(ab)xb,0x1,f(x)a(2x),1x2,，0,其它,已知E(X)1，求：（1）a,b的值；（2）E(2X3)．211、设随机变量X的概率求：（1）常数A；（2）E(X)和D(X)．(X,Y)密度为12、设的联合概率分如布下：（1）求XY的数,E(X)E(Y)学期望,，方差D(X)D(Y)，．X,Ycov(X,Y)与相（2）求的协方差关系数R(X,Y)．【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X（百分制）近似服从正态分，布已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例.[已(2)0.9772]，(1)0.8413,(1.5)0.9332知14、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X（单位：mm）表示轴的直径，随机变量（单Y位：mm）表示轴衬的内径，已知X~N(50,0.32)，YN~(52,0.42)，显然与是独立的．如果轴XY衬的内径与轴的直径之差在1~3mm之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．[已知(2)0.9772]【第五章】数理统计基本知识15、设总体X~N(0,1)，X,X,,X是来自该总体的简单随机样本，求常数k0使125k(X2X)T~t(3)．1X2X22X234516、设总体X~N(40,52)，从该总体中抽取容量为的样本，求概率64P(|X40|1)．【第六章】参数估计17、设总体X的概率密度为0．设X,X,,X是取自该总体的一组简单随机样本，x,x,,xn为样本观测值.其中参数12n12（1）求参数的矩估计量．（2）求参数的最大似然估计量．18、设总体X的概率密度为0．设X,X,,Xx,x,,x为样本观测值.12n是取自该总体的一组简单随机样本,其中参数12n（1）求参数的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数的无偏估计，请说明理由.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为0.618（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感.某工艺品厂生产矩形裱0画专用框架.根据该厂制的定技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为0.618的正态分x0.646,样本标准差为s0.093.试问在显著性水平0.05水平上能否认为这批产品是合格品？20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用.临床统计表明，在服用此药的人群中25布.现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取个样品，测得其宽与长之比的平均值为收缩压的增高值服从均值为22（单位:mmHg,毫米汞柱）的正态分布.现在研制了一种新的替代药0品，并对一批志愿者进行了临床试验16.现从该批志愿者中随机抽取人测量收缩压增高值，计算得到样本均值x19.5(mmHg)，样本标准差s5.2(mmHg).试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代0.05药品比原药品副作用小”这一结论（取显著性水平）.解答部分【第一章】随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任取一球返还甲袋.求经此【解】设A表示“从甲袋移往乙袋的是白球”，B表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”，C表示“经此球过程后甲袋中黑球数增加”，则换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.换CAB，43162又P(A),P(BA)，于是由概率乘法定理得所求概率为7412P(C)P(AB)P(A)P(BA)=727.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．【解】设A表示“此人第i次拨号能拨通所需电话”(i1,2)，A表示“此人拨号不超过两次而接通所i需电话”，则AAAA，112由概率加法定理与乘法定理得所求概率为191P(A)P(A)P(AA)0.2.1010911210,1013、已知将两字符之一输入信道时输出的也是字符或，且输出结果为原字符的概率为(01).假设该信道传输各字符时是独立工作的.现以等概率从“101”，“”“”的概率.010000A:输入的是“101:B:010000A输入的是“”，输出的是”，“”，则2【解】设122(1)，P(A)1/2，P(A)1/2，P(BA)(1)，P(BA)1212从而由全概率公式得1(1)1(1)212(1).222414、试卷中的一道选择题有个答案可供选择，其中只有个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率0.85为．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．【解】设A表示“该考生会解这道题”，考生选出正确答案”，则B表示“该P(A)0.85，P(A)0.2，P(BA)1，P(BA)0.25．（1）由全概率公式得0.8510.20.250.9．（2）由贝叶斯公式得P(AB)P(A)P(BA)0.851170.944．P(B)【第二章】随机变量及其分布0.9185、设连续随机变量X的分布函数为F(x)ABarctanx,x．（1）求系数A及B；（2）求X落在区间(1,1)内的概率；（3）求的概率密度．X【解】（1）由分布函数的性质可知F()limF(x)AB()0，x2F()limF(x)AB1，2xA1,B．1由此解得2（2）X的分布函数为11F(x)arctanx(x)，2于是所求概率为P(1X1)F(1)F(1)(arctan1)(arctan(1))1．1111222（3）X的概率密度为1(1x2)．f(x)F(x)6、设随机变量X的概率密度为ax,0x1,f(x)0,其它，求：（1）常数a；（2）P(0.5X1.5)；（3）X的分布函数F(x)．【解】（1）由概率密度的性质可知f(x)dx1axdxa1，20由此得a2．X1.5)xdx23/20dxx00.75.11（2）P(0.5x时，有（3）当021/211/2F(x)x0dx0；当0x1时，有F(x)0dxx2xdxx2；00x时，有当1xdxF(x)dx0120x01dx.01所以，X的分布函数为7、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为A；（2）X的边缘概率密度f(x)；（3）概率P(YX2)．求：（1）系数X【解】（1）由联合概率密度的性质可知1f(x,y)dxdydx1A(1xy)dy4A1，11由此得A1．4（2）当1x1时，有11xy1f(x)f(x,y)dyXdy；421x或x1时，显然有当1f(x)0．X所以X的边缘概率密度（3）x21xy111dy1422P(YX2)f(x,y)dxdy1dxx(x5x21)dx．42311yx28、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求：（1）(X,Y)的边缘概率密度f(x)，f(y)；（2）概率P(X1,Y；（3）判断X,Y是否相互1)2XY独立.0x1时，有【解】（1）当f(x)f(x,y)dy2xdy2x；X0x或x1时，显然有当0f(x)0.X于是X的边缘概率密度为当0y2时，有f(y)f(x,y)dx1dx1；yYy22y或y2时，显然有当0f(y)0.Y于是Y的边缘概率密度为1（2）P{(X1,Y1)}dy1/2f(x,y)dxdy1/2dx1.124-0y/2f(x,y)f(x)f(y),故X与Y不独立.（3）容易验证9、设X和Y是两个相互独立（2）求X和Y的联合概率密度f(x,y)；（2）求概率P(YX)．1）由题意知，X的概率密度函数为XY的随机变量，X~U[0,0.2]，Y的概率密度函数为【解】（因为X和Y相互独立，故X和Y的联合概率密度50.2(1P(YX)f(x,y)dxdydx25e5ydye5x)dxe1．0.2x000yx【第三章】数字特征10、设随机变量X的概率密度为(ab)xb,0x1,f(x)a(2x),1x2,，0,其它,已知E(X)1，求：（1）a,b的值；（2）(2EX3)．2【解】（1）由概率密度的性质可知f(x)dxb1；1[(ab)xb]dx2a(2x)dxa201又联立方程组解得a1，b3．42（2）由数学期望的性质，有1E(2X3)2E(X)3234．211、设随机变量X的概率密度为求：（1）常数A；（2）E(X)和D(X)．【解】（1）由概率密度的性质可知f(x)dxAe2xdx1，A20由此得A2．（2）由数学期望公式得E(X)x2e2xdx2xt1tetdt1Γ1(2).22200由于E(X2)x22e2xdx1dt1Γ(3)12!1t2et，4422xt400故利用方差计算公式得D(X)E(X2)[E(X)]21(1)21.22412、设(X,Y)的联合概率分布如下：（1）求X,Y的数学期望E(X),E(Y)，方差D(X)，D(Y)．（2）求X,Y的协方差cov(X,Y)与相关系数R(X,Y)．【解】由(X,Y)的联合概率分布知X,Y服从"01"分布：所以(X2X)/5X2XT3~t(3)，12125(X2X2X2)/3X2X2X25345343k．比较可得516、设总体X~N(40,52)，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率P(|X40|1)．【解】由题设405n64，，，于是从而【第六章】参数估计17、设总体X的概率密度为,,,其中参数0X是取自该总体的一组简单随机样本，x,x,,x为样本观测值.．设XX12n（1）求参数的矩估计量．12n（2）求参数的最大似然估计量．【解】（1）E(X)xfxdxxe(x2)dx2t(t2)etdt2，1(,)x201令XE(X)，即X2，解得参数的矩估计量为1．X2（2）样本似然函数为nL()nf(x,)ne(ne(x2n)x2)ii，i1ii1i1上式两边取对数得lnL()nln(nX2n)，ii1上式两边对求导并令导数为零得dlnL()nd(nx2n)0，ii1n1解得x2，从而参数的最大似然估计量为xn2nii11X2．18、设总体X的概率密度为其中参数0X,X,,Xx,x,,x为样本观测值.12n是取自该总体的一组简单随机样本,．设12n（1）求参数的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数的无偏估计，请说明理由.【解】（1）样本似然函数为上式两边取对数得1lnL()2nlnnlnxinx，ii1i1求导数得dd2n1lnL()nx，i2i1dd1xx，于是参数的极大似然估计量为lnL()0解得n令2ni12i1XˆnX.2ni12ixtt2etdx(3)2()2ex/dx1x2ex/x，（2）E(X)dx2000E()E()1E(X)1E(X)12，Xˆ22221XXˆ于是n是的无偏估计.2n2【第七章】假设检验ii119、矩形的宽与长之比为0.618（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感.某工艺品厂生产矩形裱画专用框架.根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为0.618的正态分0布.现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为x0.646,样本标准差为s0.093.试问在显著性水平0.05水平上能否认为这批产品是合格品？【解】由题意，待检验的假设为H：0.618