立体几何-二面角求解五法

立体几何二面角求解五法一定法从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面这直线叫做二面角的,这两个半平面叫做二面角的面在上取点分在两面内引两条射线与棱垂直这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律1中从二面角S—AM中平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作线，得垂足F另半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM垂线（如GF两垂线（、GF便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1如图，四棱锥

中，底面

为矩形，

底面

，

AD

，点M侧棱上，=60（I明在棱

的中（II二面角

AM

的大小。解I略（II用面角的定义。在等边角形

ABM中过点

作

BF

交

于点

F

，则点

F

为AM的点，过F点平面ASM内作

AM

，

GF交AS于，连结AC∵eq\o\ac(△,≌)ADCeq\o\ac(△,，)ADS，且M是SC的点，∴AM⊥SCGF⊥AM，∴GF∥AS又∵

F

为AM的点，∴GF是△AMS的中位线，点是AS的点。则

即为

G所求二面角.

F∵

SM

2

GF

22

SAAC

AM2∵

AM，ABM60

0

∴△∴

3在△GAB中AG

62

，，

0

，∴

322

G

F1

111111

22BG2

111222232

663∴二面角

的大小为

63

)练习1如，已知四棱PABCD，底面为形，⊥平面，

ABC60

，分是BC中.（Ⅰ）证明⊥PD;（Ⅱ）若H为的动点，EH与面PAD所最角的正切值为

62

，求二面角E——的弦.分：第容易发现，可通过证AE⊥AD推出⊥平面APD，使命题获证，而第2题则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后到运用在二面角的棱AF找到可计算二面角的平面角的顶点，两边与，而计算二面角的余弦值案：二三线

155

）三垂线定理在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角大小。本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例）过二面角中半平面BFC的一已知点B另一半平面的线，得足

D

CO再过该垂足作FC的垂线，得垂足，结起点

A

B与终点得斜线段便形成了三垂线定理的基本构（斜

E

D

C线、线、射影解直角三角形求二面角的

EA

F

B度数。例2四柱BD中ABCD等腰梯形AB=4,BC=CD=2,1AAE、E、分是棱、AA、中。

D

1

C

1（1证明：直线EE//平面；

2

A1E1

FD

B

1E

OA

F

B

111111111111（2求二面角-C的弦值。证（）略解（）因为AB=4,BC=CD=2,、F是AB的,所以△为三角形取的点则OB⊥CF,因为直四棱柱BD中CC⊥面ABCD,以CC1

1⊥所以OB平面过O在面F内⊥C垂足为连则为面角-C的个平面在为三角形中,,OPOF1∴eq\o\ac(△,)F,CF222

OB

3

在eq\o\ac(△,Rt)CCF△OPF在eq\o\ac(△,Rt)OPF中,

22

142

OPB

OP14

所以二面角-C的弦值为

77

练习如图，在四棱锥

中，底面

ABCD

是矩形．已知ABAD2,PAB60

（Ⅰ）证明

AD

平面

PAB

；（Ⅱ）求异面直线

与

AD

所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角

PBD

的大小．分：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明A⊥平面PAB后容易发现平面PAB⊥平面，就是二面角P-BD-A的平面上的一个点，于是可过点P作BD的垂线，再作平面ABCD的线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法案二面角

P的大小为

394

）三补法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时要两平面图形补充完整之有明确的交（为补棱借前述的定义法与三垂线法解题。

3

D

ECAB

111111即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例3如所示四棱锥-的面是长为的形BCD＝60是CD的中点PA底面ABCD，PA＝（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面;（Ⅱ）求平面PAD和面PBE所成二面角（锐角）的大分析：本题的平面PAD和平面PBE没明确的交线，依本法显然要补充完整（延长、BE相于点F连结PF）再在完整图形中的P上一个适合的形成二面角的平面角解之）证略解（）延长、BE相于点F，结PF.过点作⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面所以AH⊥面

在eq\o\ac(△,Rt)中，因为∠＝°，所以，AF=2=2=

G在等腰eq\o\ac(△,Rt)中取PF中点G连接

F则AG⊥.连结HG由三垂线定理的逆定理得，

H

DE⊥所以∠是面PAD和平面PBE成

A

C二面角的平面角（锐角）.

B在等腰eq\o\ac(△,Rt)中

AG

22

在eq\o\ac(△,Rt)中ABAH

AB2

2

2.55所以，在eq\o\ac(△,Rt)AHG中，

sin

AH

.故平面平面PBE所二面（锐角的大小是

105

.

A

1练习已知斜三棱柱ABCABC的棱长都是，

C

1

B

1侧棱与底面成600

的角，侧面BCCB⊥底面ABC。4

ALCB

1111（1求证AC⊥；（2求平面C与面ABC所成的二面角（锐角）大小。提示：本题需要补棱，可过A点CB的行线L（答案：所成的二面角为45O）四、射影面积法（

q=

射影

）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式

SS

射斜

）求出二面角的大小。例4．如图，在三棱锥

中，

，

P

o

，AP，PC．（Ⅰ）求证：AB；

ABC（Ⅱ）求二面角

的大小；分析题要求二面角B—APC的小果利用射影面积法解题难到在平面ABP与平面中立一对原图形与射影形并分别求出与于是得到下面解法。解）证略（Ⅱ）AC

，

APBP

，

eq\o\ac(△,)△BPC

．又

AC

，PCBC

．

P又

o

，即

BC

，且

IPC

，

EBC

平面

．

A

B取

AP

中点

E

．连结

BE，

．

CQ

，BE

．QBE在平面PAC内射影，AP

．∴△ACE是△在面内射影，于是可求得：

222

，

AB26

，5

射ACE11111111111111射ACE11111111111111111AE•CE•22

，

原

1AE•EB2•32设二角

AP的小，则

133

D

C3∴二面角AP的小为3练习4：如5，E为方体ABCDABCD的

A

D

1

B

EC棱的点，求平面AB和面AD所锐角

A

1

B

1的余弦值.分

图5平面E与底面ABD交即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形ABE在面ABD上射影是三角形AB，而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。（答案：所求二面角的余弦值为cos=五、向法

23

）向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法说有的立体几何题都可以用向量法求解用向量法立体几何题时常要建立空间直角坐标系写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例42009天卷）如图，在五面体中FA

平面，

，M为EC的点

12

AD(I)求异面直线BF与DE所的角的大小；(II)证平面AMD

平面CDE；求二面角的弦值。现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角坐标系，以点

A

为坐标原点。设

AB得

B1DEF26

111111（I）

解于BF

•BFDE

01.2•所以异面直线

BF

与

DE

所成的角的大小为

（II）明：AM

11CE•AM22

，•AD因此AM，CEAD.又AMADA，故E面AMD.而E平面C，所以平面平面DE.（III）

面法向，y，)，则•D0.令可得y0.又由题设，平面

的一个法向量为

v练习2008湖北）如图，在直三棱柱

ABC11

中，平面

侧面

AABB1

（Ⅰ）求证：AB（Ⅱ）若直线AC与面所的角为二面角ABCA1

的大小为