2021年山西省大同市第一中学高三数学文联考试卷含解析

2021年山西省大同市第一中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线的焦点F，直线l与C交于A，B两点，且，则直线l的斜率可能为（

）A．

B．

C.1

D．参考答案：A设A、B两点坐标分别为，由题意，设直线AB的方程为，代入抛物线方程得：，因为直线与抛物线有两个交点，所以，，，把代入即可解得，故选A.

2.已知函数，若函数（，）在区间[－1,1]上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A. B.(2,+∞)C. D.参考答案：B【分析】求得函数为偶函数，利用导数得到函数的单调性，把函数在区间上有4个不同的零点，转化为与的图象在上有4个不同的交点，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，所以函数为上的偶函数，当时，，可得，所以函数在上单调递增，所以在单调递减，又由，所以函数的图象，如图所示，要使得函数在区间上有4个不同的零点，即函数与的图象在上有4个不同的交点，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的性质的应用，其中解答中熟练应用导数和函数的基本性质，把方程的零点的个数转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.3.现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名，杂工15名，有7台电脑机，每台电脑机每天可给12件衣服锁边；有5台普通机，每台普通机每天可给10件衣服锁边。如果一天至少有100件衣服需要锁边，用电脑机每台需配锁边工1名，杂工2名，用普通机每台需要配锁边工1名，杂工1名。用电脑机给一件衣服锁边可获利8元，用普通机给一件衣服锁边可获利6元，则该服装厂锁边车间一天最多可获利（

）元.(A)760

(B)780

(C)800

(D)

820参考答案：B设每天安排电脑机和普通机各，台，则一天可获利，线性约束条件为，画出可行域（如图），可知当目标函数经过时，.4.已知为等差数列，若，则的值为A.

B.

C.

D.参考答案：A略5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接

球的表面积为

A．

B．

C．

D．参考答案：D6.某公司某件产品的定价与销量之间的统计数据表如下，根据数据，用最小二乘法得出与的线性回归直线方程为，则表格中的值为(

)1345710203545A.25 B.30 C.40 D.45参考答案：C，所以，得，故选C．7.若函数的导函数在区间上的图象关于直线对称，则函数在区间上的图象可能是（

）A．①②

B．③④

C．①③

D．②④参考答案：B8.设函数，，给定下列命题：①若方程有两个不同的实数根，则；②若方程恰好只有一个实数根，则；③若，总有恒成立，则；④若函数有两个极值点，则实数.则正确命题的个数为（

）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：C对于①，的定义域，，令有即，可知在单调递减，在单调递增，，且当时，又，从而要使得方程有两个不同的实根，即与有两个不同的交点，所以，故①正确对于②，易知不是该方程的根，当时，，方程有且只有一个实数根，等价于和只有一个交点，，又且，令，即，有，知在和单减，在上单增，是一条渐近线，极小值为。由大致图像可知或，故②错对于③

当时，恒成立，等价于恒成立，即函数在上为增函数，即恒成立，即在上恒成立，令，则，令得，有，从而在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，则，于是，故③正确.对于④

有两个不同极值点，等价于有两个不同的正根，即方程有两个不同的正根，由③可知，，即，则④正确.故正确命题个数为3，故选.9.函数为增函数的区间是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C因为，由，解得，即函数的增区间为，所以当时，增区间为，选C.10.一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P在正视图上的对应点为P，点A，B，C在俯视图上的对应点为A，B，C，则PA与BC所成角的余弦值为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由三视图知该几何体是直四棱锥，找出异面直线PA与BC所成的角，再计算所成角的余弦值．【详解】由三视图知，该几何体是直四棱锥P﹣ABCD，且PD⊥平面ABCD，如图所示；取CD的中点M，连接AM、PM，则AM∥BC，∴∠PAM或其补角是异面直线PA与BC所成的角，△PAM中，PA＝2，AM＝PM，∴cos∠PAM，又异面直线所成角为锐角即PA与BC所成角的余弦值为．故选：B．【点睛】本题考查了异面直线所成的角计算问题，可以根据定义法找角再求值，也可以用空间向量法计算，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=2，PO=8．则BD的长为

．参考答案：【知识点】切割线定理N1解析：连接BO,设圆的半径为，由切割线定理可得，解得，在中根据余弦定理，所以，所以再次利用余弦定理有,所以,故答案为。【思路点拨】连接BO,设圆的半径为，先由切割线定理解得，再利用余弦定理求出，则，再次利用余弦定理可得结果。12.已知函数（为常数）.若在区间上是增函数，则的取值范围是

.参考答案：13.设

则=__________参考答案：【知识点】导数的应用B12【答案解析】-

由题意f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=-sinx，

f3（x）=f2′（x）=-cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，

由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从0开始计，周期是4，

∵2015=4×503+3，故f2015（x）=f3（x）=-cosx∴f2015（）=-cos=-故答案为：-。【思路点拨】由题意对函数的变化规律进行探究，发现呈周期性的变化，且其周期是4，即可得到结论．14.已知满足约束条件,则目标函数的取值范围

参考答案：略15.抛物线y=x2的准线方程是（） A．y=﹣1 B． y=﹣2 C． x=﹣1 D． x=﹣2参考答案：A略16.如图，已知圆，四边形为圆的内接正方形，分别为边的中点，当正方形绕圆心转动时，的最大值是_____。参考答案：617.如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰上，山顶上设有一座观察站P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为千米/时．参考答案：【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】在Rt△PAB、Rt△PAC中确定AB、AC的长，进而求得，∠CAB=20°+40°=60°，利用余弦定理求得BC，用里程除以时间即为船的速度．【解答】解：在Rt△PAB中，∠APB=30°，PA=，∴AB=1．在Rt△PAC中，∠APC=60°，∴AC=3．在△ACB中，∠CAB=20°+40°=60°，∴BC==．则船的航行速度÷=．故答案为：．【点评】本题主要考查考生运用数学知识解决实际问题的能力，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….（1）令求证数列是等比数列;（2）求数列参考答案：解析：（I）由已知得

又

是以为首项，以为公比的等比数列.（II）由（I）知，将以上各式相加得：

19.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通;T∈[2，4)基本畅通;T∈[4，6）轻度拥堵;T∈[6，8)中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵，晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制直方图如图所示．

(I)这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？

(Ⅱ)从这20个路段中随机抽出的3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望．参考答案：略20.（本小题满分14分）有一气球以v(m/s)的速度由地面上升(假设气球在上升过程中的速度大小恒定)，10分钟后由观察点P测得气球在P的正东方向S处，仰角为；再过10分钟后，测得气球在P的东偏北方向T处，其仰角为(如图，其中Q、R分别为气球在S、T处时的正投影)．求风向和风速(风速用v表示)．参考答案：10分钟后由观察点P测得气球在P的正东方向S处，仰角为的S点处，即∠SPQ＝，所以PQ＝QS＝600v(m)．又10分钟后测得气球在P的东偏北方向，其仰角为的T点处，即∠RPQ＝，∠TPR＝，RT＝2QS＝1200v(m)，于是PR＝＝(m)．在△PQR中由余弦定理，得QR＝＝(m)．因为＝＝＋＝＋．所以∠PQR＝，即风向为正南风．因为气球从S点到T点经历10分钟，即600s，所以风速为＝(m/s)．21.已知数列{}的前n项和为，满足

（1）证明:数列{+2}是等比数列.并求数列{}的通项公式；

（2）若数列{}满足，设是数列的前n项和，求证：参考答案：证明：（1）由得：Sn=2an－2n当n∈N*时，Sn=2an－2n，①

则当n≥2,n∈N*时，Sn－1=2an－1－2(n－1).

②

①－②，得an=2an－2an－1－2，

即an=2an－1+2，

∴an+2=2(an－1+2)

∴

当n=1时，S1=2a1－2，则a1=2，

∴{an+2}是以a1+2为首项，以2为公比的等比数列.……5分∴an+2=4·2n－1，∴an=2n+1－2，

（2）证明：由

则③

，④

③－④，得

所以：.22.（1）已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2；（2）已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．参考答案：考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式．分析：（1）由条件a≠b推出：a2﹣2ab+b2＞0，通过变形，应用不等式的性质可证出结论；（2）利用基本不等式，再相加，即可证明结论．解答： 证明：（1）∵a≠b，∴a﹣b≠0，∴a2﹣2ab+