康德卷2020届高三模拟调研卷文科数学（一）含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精重庆市康德卷2020届高三模拟调研卷文科数学（一）含解析2020年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷文科数学（一）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题绘出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数年复平面中所对应的点位于（）A.第一象限 B。第二象限 C.第三象限 D。第四象限【答案】B【解析】【分析】由复数除法求出复数后可得对应点坐标，确定象限．【详解】，对应点,在第二象限．故选：B。【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义，属于基础题．2。已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（）A。 B。0 C。1 D。【答案】C【解析】【分析】求出，根据奇偶性求出【详解】当时，，所以，函数是定义在R上的奇函数，则.故选：C【点睛】此题考查根据函数奇偶性求函数值，属于简单题目,关键在于准确计算.3。已知向量，，若A，B,C三点共线,则实数（）A。2 B.-1 C.2或—1 D.—2或1【答案】C【解析】【分析】由向量共线的坐标运算求得．【详解】∵A，B，C三点共线，∴共线，∴，解得或．故选：C。【点睛】本题考查向量共线的坐标运算，属于简单题．4。已知集合，，则(）A。 B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合，，再求解即可得解.【详解】集合，，则。故选：B【点睛】此题考查集合的基本运算，关键在于准确求出集合内部的元素。5。某学校为了解学生的数学学习情况，从甲、乙两班各抽取了7名同学某次数学考试的成绩，绘制成如图所示的茎叶图，则这两组数据不同的是（）A.平均数 B.方差 C.中位数 D。极差【答案】B【解析】【分析】根据茎叶图计算各数据特征．【详解】由茎叶图，甲均值为，同理乙的均值也是，中位数都是90，极差都是99—80＝19，只有方差不相同了．故选：B。【点睛】本题考查样本数据特征．考查茎叶图．由茎叶图确定所有数据，确定各数据特征．掌握各数据特征的概念是解题关键．6。设a，b是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下面推理中正确的是（)A.若,，，则B.若，，则C。若，，，则D。若，，，则【答案】B【解析】【分析】A选项也可能两个平面相交，B选项是根据面面平行证明线面平行，所以正确，C选项也可能两个平面相交，D选项应该是。【详解】考虑平面，显然也满足，，不能得出，所以AC都错误;若，,则，所以B正确;若，,，则,所以D错误.故选：B【点睛】此题考查空间线面位置关系的判断，关键在于熟练掌握定理公理进行推导，可举出反例推翻命题排除选项.7.已知命题P：“若对任意的都有，则"，则命题P的否命题为（）A。若存在使得，则B.若存在使得，则C.若,则存在使得D。若,则存在使得【答案】B【解析】【分析】把条件,结论都否定，同时把任意与存在互换．【详解】否命题是条件、结论都否定，“任意的都有”的否定为“存在使得”。因此命题P的否命题是：若存在使得,则故选:B。【点睛】本题考查否命题,掌握四种命题的关系是解题关键．否命题与命题的否定要区分开来．否则易出错．8.由直线x+2y—7=0上一点P引圆的一条切线，切点为A，则的最小值为A。 B。 C。 D。【答案】B【解析】由得圆的标准方程为，设圆心为,故,由切线性质可得，的最小值为,故的最小值为，故选B.点睛：本题主要考切线长公式的应用,利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键；求切线的长度主要是通过构建直角三角形，即切线长为斜边，半径和点到圆心的距离为直角边.9.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象的特征，如函数的图象大致是(）A。 B。C。 D.【答案】D【解析】【分析】由解析式分析函数的性质,如奇偶性，单调性，函数值的正负,变化趋势等．【详解】，则,函数是偶函数，排除C，当较大时，,可排除A，当时，，，由，知在上递减，上递增，,又，,∴有两个零点，在上有两个极值点，图象为先增后减再增．只有D符合，排除B．故选：D.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可由解析式研究函数性质，如奇偶性，单调性，对称性，周期性等等，研究函数值的正负,函数值的变化趋势，函数图象的特殊点，如顶点，极值点等,从而通过排除法选择正确的结论．10。定义新运算“"：,则下列计算错误的是（）A. B。C. D.【答案】D【解析】【分析】根据新定义运算验证各选择支．【详解】由题中较小数的两倍减去较大的数，，A正确；若,则,B正确；,C正确;,D不正确。故选：D。【点睛】本题考查新定义运算,正确理解新定义运算是解题关键．11.既与函数的图象相切，又与函数的图象相切的直线有（）A.0条 B。1条 C.2条 D.3条【答案】C【解析】【分析】设公切线在上的切点为,在上的切点为，由导数的几何意义分别写出切线方程，这两个方程表示同一直线,比较后得的方程,确定方程组的解的个数，即公切线的条数．【详解】设公切线在上的切点为，在上的切点为，，则公切线为：，，整理为:，，所以且，联立消去得：①,由得,或．令，则，或,故在上单减，在上单增，在上单减，当时,当时，当时，当时，因此在时，,故在内有唯一零点,在内有唯一零点,即①式中有两个不同解,即有两条公切线.【点睛】本题考查导数几何意义，用导数研究切线问题,用导数研究函数的零点，考查零点存在定理，难度较大．考查转化与化归思想，公切线的条数，转化为方程解的个数，转化为函数零点个数，转化为研究函数的单调性等．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.12。曲线在点处的切线的横纵截距之和为__________。【答案】【解析】【分析】到处导函数，再求出切线方程,即可得到横纵截距之和.【详解】由题:，，，所以在点处切线方程,即当，当，所以该切线的横纵截距之和为.故答案为：【点睛】此题考查求曲线在某点处的切线方程，再求直线截距，关键在于根据题意准确计算。13.若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为________【答案】3【解析】【详解】试题分析：画出约束条件表示可行域，然后确定目标函数取得最大值时的位置，求解即可．解：由题意可知变量x，y满足约束条件的可行域为三角形区域，目标函数z=3x+y的最大值是函数的图象经过点A,即y=x，3x+2y=5的交点A(1，1）,时取得．所以目标函数的最大值为：3．故答案为3．考点:线性规划点评：本题考查简单的线性规划的应用,考查计算能力．属于基础题14。在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则___．【答案】2【解析】【分析】将已知等式根据诱导公式处理成结合正弦定理边化角计算得，即可得解。【详解】由题：在中,，.故答案为：2【点睛】此题考查利用正弦定理进行边角互化求三角形的边长，关键在于根据和差公式准确化简。15.足球被誉为“世界第一运动”，它是全球体育界最具影响力的单项体育运动，足球的表面可看成是由正二十面体用平面截角的方法形成的，即用如图1所示的正二十面体，从每个顶点的棱边的处将其顶角截去，截去20个顶角后剩下的如图2所示的结构就是足球的表面结构.已知正二十面体是由20个边长为3的正三角形围成的封闭几何体，则如图2所示的几何体中所有棱边数为__________。【答案】90【解析】【分析】根据截图方法，原有的棱没有减少，每个正三角形内增加三条棱，即可得解.【详解】由题原来正二十面体的每一条棱都会保留，正二十面体每个面3条棱，每条棱属于两个面，所以共有条棱，此外每个面会产生3条新棱，共产生条新棱，∴共有90条棱.故答案为:90【点睛】此题考查几何体结构的辨析，根据线面关系求棱的条数。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答,第22、23为选考题，考生根据要求作答。(一）必考题：共60分.16。如图,三棱锥中，底面ABC,,点E、F分别为PA、AB的中点，点D在PC上，且．(1）证明：平面BDE；（2)若是边长为2的等边三角形，求三棱锥的体积．【答案】（1)见解析(2)【解析】【分析】（1）设AE中点为G,连结GF，GC，证明平面平面EBD,即可证得线面平行;（2）转换锥体顶点即可求解。【详解】(1）设AE中点为G，连结GF，GC，则，平面EBD.，∴,平面，∴平面平面EBD，∴平面;（2）设h为点到平面PAC的距离作于M．底面ABC，底面ABC，，是平面PAC内两条相交直线，∴平面PAC,．.【点睛】此题考查证明线面平行和求锥体体积，需要熟练掌握常见证明方法和求锥体体积的处理办法.17.已知数列满足:,，。（1）求证：数列是等比数列；（2)设，求数列的前n项和.【答案】（1）见解析（2)【解析】【分析】（1）,则代入已知式可证得结论；（2）由（1)求得，从而得，用错位相减法求数列的前n项和.【详解】解:（1)设，由题，即，又，为等比数列，即为等比数列；（2）由（1)知,即，，，,,两式相减得，。【点睛】本题考查等比数列的证明与求通项公式，考查错位相减法求数列的和．掌握用定义证明等比数列的方法，掌握数列求和的常用方法即可．18.某医院体检中心为回馈大众，推出优惠活动:对首次参加体检的人员，按200元/次收费,并注册成为会员，对会员的后续体检给予相应优惠（本次即第一次），标准如下:体检次序第一次第二次第三次第四次第五次及以上收费比例10.950。900.850.8该体检中心从所有会员中随机选取了100位对他们在本中心参加体检的次数进行统计,得到数据如下表:体检次数一次两次三次四次五次及以上频数60201244假设该体检中心为顾客体检一次的成本费用为150元,根据所给数据，解答下列问题：（1）已知某顾客在此体检中心参加了3次体检，求这3次体检,该体检中心的平均利润；（2）该体检中心要从这100人里至少体检3次的会员中，按体检次数用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中抽取2人发放纪念品,求抽到的2人中恰有1人体检3次的概率．【答案】(1)40元；（2)【解析】分析】(1）根据优惠方案算出三次体检医院的收入减去成本即可得到利润；(2）根据分层抽样可得抽出的5人中，有3人恰好体检三次，各有1人恰好体检四次五次，根据古典概型求解概率.【详解】解：（1）医院三次体检的收入为，三次体检的成本为，利润为元，故平均利润为40元；（2）由题抽出的五个人中有3人恰体检三次，记为A,B，C，有一人恰体检四次，记为D，有一人恰体检至少五次，记为E,从五人中抽两个人出来，共有，，,，，，，，，10种情况其中抽到的2人中恰有1人体检3次的情况有,,,，，6种情况，所求概率为.【点睛】此题主要考查统计与概率相关知识，涉及分层抽样和古典概型的计算，熟练掌握基本概念准确求解。19。已知椭圆的离心率为，焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C交于点E,F，过点E作轴于点M,直线FM交椭圆C于另一点N,证明：．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据离心率和焦距即可求得椭圆的方程;（2）联立直线与椭圆方程，求出点E，F坐标,再求点N坐标，根据斜率关系证明垂直。详解】解:（1）由题，，∴,，,故椭圆方程为；(2）设,，，则与椭圆方程联立得，由得，，∴,即。【点睛】此题考查根据椭圆的基本量求椭圆方程,根据直线和椭圆的焦点坐标证明直线与直线的垂直关系,对计算能力要求比较高。20.已知函数,．(1)讨论的单调性；（2）若不等式对任意恒成立，求a的取值范围。【答案】（1)当时,在单调递增，当时，的增区间为，减区间为,当时，的增区间为，减区间为;（2)【解析】【分析】(1）求出导函数，分类讨论分子二次函数的根的情况即可得解；（2)结合(1)得出最大值,构造函数，结合单调性求解。【详解】（1），考虑，当时，，在单调递增，当时，记的两根，结合可得：两根属于，时，，时，，的增区间为，减区间为，当时，开口向下，结合可得：时，，时，，的增区间为，减区间为，综上所述：当时，在单调递增，当时,的增区间为,减区间为,当时，的增区间为，减区间为；(2）当时，当时,，所以,不满足对任意恒成立，当时,结合（1），的增区间为,减区间为，开口向下，结合可得：是方程的根，所以，所以，由题令，，易得时，，所以在单调递增,且，即,所以，，所以.【点睛】此题考查导函数的应用，处理函数单调性求最值，利用单调性解不等式，需要对代数式进行一定的观察,发现特殊值，便于转化求解，涉及分类讨论以及转化与化归思想。（二）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.21。在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数)，直线l的参数方程为（t为参数).（1）求C的普通方程,并判断直线l与曲线C的公共点的个数;（2）若曲线C截