浅谈勾股定理引入的分层教学 论文

浅谈勾股定理引入的分层教学摘要：勾股定理是初中阶段重要的内容。由于不同地区、学校的学生存在着客观而明显的差异，因此以适合学生的方式来实施勾股定理的教学十分有必要。本文将以勾股定理的引入为例给出三种教学方式，并分析分层教学在勾股定理引入中的作用与优势。关键词：勾股定理；分层教学；学习能力；数学文化HierarchicalTeachingofthePythagoreanTheoremAbstract：ThePythagoreantheoremistheimportantcontentofthejuniormiddleschoolstage.Thedifferencesareobviousandstudentsindifferentregions,school,therefore,itisnecessarytoimplementthePythagoreantheoremtofitthewaystudentsteaching.ThePythagoreantheoremisgivenasanexampletothreekindsofteachingmethods,andanalysisandadvantagesofteachinginthePythagoreantheoremintroduced.Keywords：ThePythagoreantheorem;Hierarchicalteaching;Learningability;Mathematicalculture《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“勾股定理的教学目标是让学生体验勾股定理的探索过程，会用勾股定理解决简单的问题”。勾股定理是世界数学史上的里程碑，它已经成为数学非常重要的一部分。因此，在世界各国初等教育中，勾股定理成了必不可少的教学内容。正因为如此，有很多人都对勾股定理的教学有所研究，这些努力客观上也促进了此内容教学的不断发展。但是现在的初中课堂里缺乏对此内容的分层教学，教师们没有考虑到不同学习能力的学生应采用不同的、适合学生的教学方案。一个好的教学设计应该是适合所注性、学习思维能力弱、接受知识的能力低以及理解能力欠缺、应用能力差。学习能力较弱的学生往往会表现出阻碍学习的问题：上课时很难集中注意力，思维无法紧跟教师；无法理解较难的知识，无法进行较为深入的数学学习。这类学生还容易产生不利于数学学习的负面情绪：认为数学脱离生活实际，学好数学没有用处；对数学的学习心生畏惧，觉得学好数学是一件非常难的事情；对数学感到反感，认为数学毫无意思，是一门非常枯燥的学科。1.2适合学习能力较弱学生的教学设计教对象的。 教师提出问题：“同学们，如果哪一天你们遇到了外星人，你会怎样与他们交流呢？”这个问题目前，我国不同地区的初中生的学习能力存在明显差异。经济发展较为落后的地区往往在教育方面也较为落后，缺乏优秀的教师资源、应有的教育意识和先进的教学设备，从而导致了当地初中生的学习能力远远低于那些接受较好教育的初中生。再者，同一地区的学生以中考成绩为依据进入各所中会引起学生强烈的兴趣，学生将热情高涨，给出很多奇思妙想的回答，比如“我会向他打手语”、“我会画画，把我想说的话都画下来”、“我会唱一首歌，音乐无国界”等等。教师把话题收回来，“我们的数学家华罗庚也曾建议用一幅图片作为与外星人交流的语言”,于学，所以，不同学校的学生之间的学习能力也存在是用ppt展示这幅图[1]。较为明显的差异。因此一个“普遍适用”的教学方案是不合适的。本文将以勾股定理的引入为例，针对教学对象的不同数学能力采用不同的教学方案，并给出相应的分析。1学习能力较弱的学生为教学对象1.1学生学习能力较弱的界定

学生的学习能力较弱是指学生学习时缺乏专接着，教师把焦点转向本节课的主要内容勾股定理，“同学们，你们看上面的图形是由你知道的哪些简单图形构成的呢？”学生很容易回答出来“由三个正方形和一个直角三角形构成。”进一步地，教师问：“这四个图形边长有什么关系？”教师将学生分成多个小组，让同学们在小组里讨论刚给出的问题。学生会得到这样的答案，“图中的三个正方形的边长分别与直角三角形的三条边的长人也是一直的热点问题，让学生知道数学不是远离生活而是源于生活、用于生活，知道学好数学是很有用的。用数格子的方式引出三个正方形面积的关系，即两直角边的平方和与斜边平方的关系。再运用几何画板来验证这个结论在一般直角三角形（边长不一定都是整数）的适用性。学生在这一系列自度相等。” 然的过渡中，体会到数学的逻辑性；在亲自经历由教师总结“也就是说以直角三角形的三条边的长度为边长得到三个正方形。下面同学们来探究一下这三个正方形的面积之间有怎样的关系呢？”请学生在小组内部讨论。学生用数格子的方式不难发现，两个较小正方形的面积和为25，恰好等于大正特殊（边长为3、4、5和5、12、13的直角三角形）到一般（边长为任意值的直角三角形）的过程中，体味到学好数学并非难事，只要有适合的学习方法，也是可以达到理想程度的；学生在查阅与勾股定理有关的数学史实时会知道数学文化是多么的方形的面积。 博大精深；在整个勾股定理引入的学习中，学生会教师请学生在草稿纸上用直尺画出直角边长为5、12厘米，斜边长为13厘米的直角三角形，再仿照ppt展示的图片，以直角三角形的三条边为边，画出三个正方形。小组讨论三个正方形的面积之间有怎样的关系。学生首先要得出三个正方形的面积分别是多少，这次他们会使用正方形面积的计算公式，而不是数格子。然后会发现两个较小正方形的面积和为169，恰好等于大正方形的面积。教师引导学生提出一个大胆的猜想，“是不是所有直角三角形都有这个结论呢？也就是说是不是所有直角三角形的两条直角边的平方和都等于斜边的平方呢？”为了验证这个猜想，教师邀请几位同学到讲台前，用几何画板画出几个任意的直角三角形（教师告诉学生几何画板的使用方法）。借助几何画板这个软件可以容易的计算出直角三角形边长的平方，进而可以验证我们的猜想，即得出了本节课的重要内容——勾股定理，即在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。最后，教师请学生课下在书籍或网络上查找“勾股定理”名字的由来。学生通过自主地查阅资料了解与勾股定理有关的数学史实，比如大禹治水的故事、毕达哥拉斯的故事及历史上多种证明勾股定理的方法等等，这样，不仅加深了学生对勾股定理的认识，也让他们感受到数学文化的丰富多彩、博大精深。1.3分析对于初中学生而言，遇到外星人是一件非常有趣的事情，所以他们会主动地思考教师提出的问题发现数学的奥妙与学习数学的趣味。2学习能力中等的学生为教学对象2.1学生学习能力中等的界定学生的学习能力中等是指学生学习时有一定的专注性与较强的自控力、教师引导下能进行一般的数学逻辑推理、理解能力较强。2.2适合学习能力中等学生的教学设计教师首先用ppt展示一幅大树的图片（图一），让学生仔细观察图中大树的构成。学生经过观察会发现这课奇特的大树是由许多个基本图形（图二）组成的。基本图形是由三个正方形和一个直角三角形构成的。进一步地，教师问：“这四个图形边长有什么关系？”学生容易发现图中的三个正方形的边长分别与直角三角形的三条边的长度相等。 教师再用ppt展示一幅地砖的图片（如下图），并介绍一段有趣的数学史。——怎样与外星人交流，进而展示重要的“数格子”

图，再引导学生亲自动手动脑、探索讨论，逐步得

出勾股定理。有趣生动的场景假设可以吸引学生的注意力，

让学生积极主动地思考，迅速进入上课状态。外星古希腊数学大师毕达哥拉斯有次应邀参加一个盛大的宴会，由于迟迟不开席，所以有些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言，而这位善于观察的数学家却凝视脚下这些规则、美丽的正方形大理石地砖。毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到其中所蕴含的数学奥秘。于是拿出了画笔蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线AB为边画一个正方形（如下图）。他有一个伟大的发现，甲、乙和丙三个正方形在面积上存在特殊的关系。那一顿饭，毕达哥拉斯的视线都一直没有离开地面。他们留出广阔的思考、探索的空间。此教学设计体现了数学教育的返璞归真[2]和探究式学习，适合学习能力中等的学生。奇特的“大树”让学生注意到由直角三角形三边产生的三个正方形；再由毕达哥拉斯的故事引出勾股定理的产生；最后让学生亲自体验勾股定理的发现过程。在整个教学过程中，学生学习并体验历史上数学家发现问题的独特视角和创新思维，了解一定的数学史。学生在数学的学习中开拓了眼界，逐步经历“了解数学文化—喜爱数学文化—陶醉数学文化”的过程。3学习能力较强的学生为教学对象3.1学生学习能力较强的界定学生的学习能力较强是指学生学习时有很好的专注性、数学逻辑推理能力较强、理解能力与应用能力强、有创新意识与质疑精神。学习能力较强的学生会有出促进学习的表现：课堂上专注认真，思维紧跟教师节奏；对课本、教师的方法大胆质疑，并仔细思考得出“属于自己”的答案；课下钻研于某一问题，全面考虑其适用范围、使用条件等使之更为完善的“教材背后”的内容。教师请学生拿出课前准备好的20×20的格子纸，“同学们，我们手里拿的纸就相当于毕达哥拉斯观察的地砖。请大家穿越到毕达哥拉斯提出猜想的那一天，我们也来探究。毕达哥拉斯以一个小正方形的对角线为斜边、相邻两边为直角边构成一个直角三角形，再以这个直角三角形的三条边作为边长分别构成一个正方形。现在大家仿照毕达哥拉斯，在图中任意选择矩形，以矩形的对角线为斜边、相邻两边为直角边构成一个直角三角形，再以这个直角三角形的三条边作为边长分别构成一个正方形，这三个正方形的面积是什么关系呢？”接着让学生小组讨论，得出规律。学生经过动手、讨论会得出直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个由学生自己得出的规律就是著名的“勾股定理”。2.3分析

苏霍姆林斯基说过，“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是发现者、研究者和探索者。而在青少年的精神世界中，这种3.2适合学习能力较强学生的教学设计教师首先用ppt展示2002年的国际数学大会的会徽（如下图），让学生注意图片右方的红色正方形，问学生，“这个大正方形是有哪些已经学过的简单图形组成的？”学生不难回答：“是由4个完全一样的直角三角形和1个小的正方形组成。”紧接着，教师提供每个小组一套拼板（如左下图），即两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形（全等的直角三角形的斜边等于等腰直角三角形的直角边），请各小组用这套拼板拼成一个直角梯形，并且计算出这个直角梯形的面积。学生不难拼出下右方的图形，且会使用梯形公式需要特别强烈。”一个学生感兴趣的教学情境，能1(ab)ab)直接算出面积。使学生百分百地投入最佳的学习状态。因此，使用2初中学生所熟悉和喜欢的“穿越”，来为他们营造当时毕达哥拉斯发现探索勾股定理的情境，可以给简等式，学生自己得到直角三角形边长的重要关系式。学生又自己完善认知结构，善于发现c2a2b2问题，提出是否只有直角三角形才满足此等式，且使用几何画板探究自己所提的问题。在整个过程中，学生自主学习、合作探究，最终得教师进一步引导学生，“除了使用梯形公式计算面积，还可以怎样计算面积呢？”于是学生想到还可以用三个三角形的面积和来表示直角梯形的出结论。此教学设计可以充分调动学习能力较强的学生的主观能动性，培养数学的探索精神。面积2 12ab1c2，接着可列出等式4结论2本文以勾股定理的引入为例，说明不同学习能力的学生应使用不同的教学方案，即分层教学。其实，在中国对于中学数学教学应该普遍实施分层教1(ab)(ab)=2 12ab1c2。整理、化简等式22学。因为在有限时间里达到预期效果——学生达到课程标准的要求，这就要求教师使用最适合所教对象的教学方法。而且，不同学习能力的学生在达到课标要求的基础上还应有不同的发展。这不仅符合了学生自身发展的需要，还满足了社会进步的需要。分层教学要求教师对学生进行正确的学情分析，并按照因材施教的原则根据所教对象的特点选得到c2a2b2。教师引导学生观察等式c2a2b2和边长分别为a,b,c的直角三角形，说明在直角三角形中，满足这个等式，即两直角边的长度的平方和等于斜边长的平方，这就是著名的勾股定理。学生可能会有疑问，“只有直角三角形才有这个等式吗？一般三角形是否也满足呢？”此时，教师可以请几位同学到讲台前