浅谈初中最短路径问题的应用 论文

浅谈初中最短路径问题的应用摘要：一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于道线的对称点实现“折”转“道”。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。主要涉及到的知识点有：（1）平行四边形的判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；（2）平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；（3）对称轴垂直平分对应点所连线段；（4）垂直平分行的性质：垂直平分线上一点到线段两个断点距离相等；（5）两点之间，线段最短。关键词：轴对称、最短路径问题、“将军饮马问题”、“造桥选址问题”、坐标轴。引言：①“最值问题”是数学这门学科中的一类比较具有挑战性的问题，整个初中的数学学习中，有很多的经典的数学模型需要学生熟练的掌握并会应用。其中，利用轴对称来解决简单的最短路径问题就是其中一个重要的模型，这个模型是教学大纲中，要求每位初中生必须掌握的；②本篇论文的主要观点是：能将实际问题或对称背景图下的几何问题中，有关最短路径问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题来分析与求解；③最短路径问题的原型来源于“将军饮马问题”、“造桥选址问题”，还有可能扩展到一次函数问题中，应用广泛；④写作资料来源于初中人教版数学课本、与课本配套的练习册等；通常用于解决以直线、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景的一些数学问题。一、利用轴对称解决最短路径问题思路1．两点一线

（1）两点异侧

问题：如图1，A、B两点在直线L的异侧，在L上找一点P，使AP+BP的值最小。 图1作法：连接AB，与L的交点即为P，如图2 图2

原理：PA+PB的最小值为AB，两点之间，线段最短。也就是两点异侧，直接相连。 （2）两点同侧

问题：如图3，A、B两点在直线L同侧，在直线L上找一点P，是AP+BP的值最小. 图3

作法：作点A关于直线L的对称点A'，连接A'B，与L的交点即为点P，如图4图4原理：AP+BP的最小值为A'B，两点之间，线段最短。也就是两点同侧，就需要对称到异侧。2．一点两线以及两点两线

（1）一点两线

问题：如图5，在直线L1、L2上找两点M、N，使△PMN的周长最小.图5 作法：分别作点P关于直线L1、L2的对称点P1、P2，连接P1P2，与直线两交点为M、N，如图6.图6（2）原理：PM+PN+MN的最小值为P1P2的值，两点之间线段最短。一点两线需要将那一点对称到两直线的异侧。（3）两点两线问题:如图7，在直线L1、L2上分别找点M、N，使四边形PMNQ的周长最小。图7作法：作点P、Q分别关于直线L1、L2的对称点P1、P2，连接P1P2，与两直线的交点M、N，如图8。图8原理：PM+MN+NQ的最小值为P1P2的值，两点之间线段最短。两点两线问题需要将两点分别对称到两直线的异侧，再根据两点之间线段最短来解决。二、利用轴对称解决最短路径问题的实际应用例题1【1】如图9，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边L饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 图9 图10

分析：如果把河边L近似地看成一条直线（如图10），C为在直线上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在什么位置时，AC与BC的和最小。如果能把点B移到L的另一侧B'，同时对直线L上的任一点C，都保持CB与CB'的长度相等，就可以把问题转化为“直线异侧两点间最短”的问题。 解：作出点B关于L的对称点B'，连接AB'，与直线L交于点C，此时，交点C所在的位置，便是使AC+BC的和最小的位置。结果如图11.图11 例题2.如图12，正方形ABCD的边长为4，M在DC上，且DM=1，N是AC上的动点，则DN+MN的最小值为多少？ 图12

解析：这个问题可以看成是“两点同侧”问题。D、M是线段AC所在直线同侧动点两个固定点，线段AC所在直线就是那条固定的线。那么，我们就可以将点D或点M对称到线段AC所在直线的另外一侧，至于具体将哪个点对称过去，要尽量遵循计算简便的原则，尽量使问题简单化。因为正方形有对称性，所以我们应该找点D的对称点B。解：∵正方形有对称性

∴点D关于线段AC的对称点是点B

故连接BM，BM与AC的交点为点N，连接DN，如图13图13

∵（DN+MN）最小值=（BN+MN）最小值

且BN=DN

∴（DN+MN）最小值=（BN+MN）最小值=BM又∵BC=CD=4，DM=1

∴CM=3在Rt△BCM中，由勾股定理得：BM=BC2+CM2=42+32=5即（DN+MN）最小值=5例题3.如图13是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的A处，它想吃到盒内表面对侧中点B处的食物，已知盒高h=10cm，底面周长32cm，A距下底面3cm，请计算爬行的最短路程。 图13

解析：曲面上的最短路程要先把侧面展开，圆柱的侧面展开是矩形，点B在点A的对侧，若点A在矩形的边上，则点B应该在矩形长的正中间。展开图及标注信息如图14所示。此时曲面最短路径问题就转化成了直线同侧两固定点的问题。将线段EF所在直线看成直线L，点A、B看成直线L同侧固定的两点。只需将点A或点B对称到L的另一侧即可，这种题目还是很常见的。图14

解：将圆柱形延点A所在的高出剪开，相应的信息标注如图14.过EF作点B的对称点B'，连接AB'交EF于点P，连接PB，过点A作AM⟂BH则B'G=BG

∵点A距下底面3cm，AM⟂BH

∴AC=MH=3cm

∵点B在点A的对侧中点,h=10cm 1

∴BG=B'G=2ℎ=5cm，B'M=12cm 1

∴AM=CH=CD=16

2

在Rt△AB’M中，由勾股定理得：AM2+B'M2=AB'2即162+122=AB'2，得AB'=162+122=20cm∵（AP+PB）min=(AP+PB')min=AB'∴（AP+PB）min=20cm

即爬行的最短路程是20cm。 例4.已知点A（1，2），点B（4，1），在x轴上找一点P，使AP+BP的值最小，求出这个最小值。解析：这一题和前面的题目解决办法一样，先作对称转化图像，把AP或BP中的一条翻到x轴的另一侧，于是，第一步，作出A点关于x轴的对称点A1，有坐标系的好处就是A1的位置也能用坐标表示出来，再连接PA1，所求折线就转化成了A1PB，第二步，连接A1B，与x轴交于点P，这样A1PB就被拉成了直的A1B，它的长就是折线长度的最小值。解：过点A作关于x轴的对称点A1，连接A1B，交x轴于点P，如图15 图15

∵点A（1，2）

∴点A1（1，-2）

∵（AP+BP）min=（A1P+BP）min=A1B

A1B= （1−4）2+（−2−1）2=32

∴

（AP+BP）min32 即AP+BP的最小值是32

反思：这一题还可以结合一次函数来考察，可以再让学生求出点P的坐标，这样，就要先求出直线A1B的解析式，再求出解析式与x轴的交点坐标即可。由此可见，最短路径问题考查面广，经常结合其他知识点进行考查，可能只是作为一大题中的一小问来考。由于本篇内容讲的是最短路径问题，所以没有在这里对一次函数的求法和点的坐标的求法进行展开。三、浅谈感悟现在的数学教学遵循“标准”的理念，经常将“生活与数学”、“活动与思考”作为主线开展课程内容，注重数学与生活之间的联系。其中最短路径问题就是这一联系的综合体现，原型出自于“将军饮马问题”、“造桥选址问题”，着重培养学生的创造性学习能力。与轴对称有关的最短路径问题，重点在于理解轴对称以及线段垂直平分线的性质，将本来是折线的路径，转化到同一条直线上，再根据两点之间线段最短，即可得出所求的点。以上内容就是对上述类型做一个简单的归纳。但是在日常教学中，学生对这一知识点的掌握并不理想，原因可能如下：一是学生练习较少，所见题目类型不多，这样的话需要教师有丰富的经验，整理出常见常考的题型，让学生能够用较短的时间掌握该知识点；二是学生群体不同，我教学所面对的学生均是来自农村的孩子，这就涉及到农村孩子数学知识薄弱的问题